Тема 11. Лекция 1 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Лектор доц. ЧИКИНА ТАТЬЯНА ЕВГЕНЬЕВНА 1.1 Первообразная функции и неопределённый интеграл Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной f’(х) или дифференциала f’(х)dх данной функции f(х). В интегральном исчислении решается обратная задача: • Дана функция f(х); требуется найти такую функцию F(х), производная которой равна f(х) в области определения функции f(х), то есть, в этой области функции f(х) и F(х) связаны соотношением F’(х) = f(х) или dF(х)= F’(х)dх = f(х)dх. Определение 1 • Функция F(х) называется первообразной функцией для данной функции f(х) на некотором промежутке, если для любого х из этого промежутка F(х) непрерывна, дифференцируема в каждой точке этого промежутка и выполняется равенство F’(х) = f(х) или dF(х) = f(х)dх. Примеры: • 1) Пусть f(х) = cos х. • Решение: Тогда F(х) = sin х, так как F’(х) = cos х = f(х) или dF(х) = cos х dх = f(х)dх 2) Пусть f(х) = х2. Решение: Тогда F(х) = х3 3, так как F’(х) = х2 = f(х) или dF(х) = х2dх = f(х)dх. СВОЙСТВА первообразных: • Известно, что если две функции f(х) и g(х) отличаются друг от друга на постоянную величину, то производные или дифференциалы этих функций равны, то есть, если f(х) = g(х) + С, то f’(х) = g’(х) или f’(х)dх = g’(х)dх. • Известно также, что и наоборот, если две функции f(х) и g(х) имеют одну и ту же производную или один и тот же дифференциал, то они отличаются друг от друга на постоянную величину, то есть, если • f’(х) = g’(х) или df(х) = dg(х), то • f(х) = g(х) + С. ЗАМЕЧАНИЕ • Действительно, если производная f’(х) обращается в нуль для любых значений х в (а,в), то в этом интервале f(х) = С. • В самом деле, если х1 ϵ(а,в) и х2 ϵ(а,в), то в силу теоремы Лагранжа, имеем f(х2) – f(х1) = (х2–х1) f’(х0), где х1 <х0 <x2 . Но, так как f’(х0) = 0, то f(х2) – f(х1) = 0. • Отсюда непосредственно следует что, если в формуле у = F(х) + С мы будем придавать постоянной С все возможные значения, то получим все возможные первообразные функции для функции f(х). ОПРЕДЕЛЕНИЕ • Множество F(х) +С всех первообразных функций для функции f(х), где С принимают все возможные числовые значения, называется неопределённым интегралом от функции f(х) и обозначается символом • ∫ f(х)dх • Таким образом, по определению, ∫f(х)dх = F(х) + С ∫ f (x)dx≝F(x)+ C . • ∫ – знак интеграла (квадратура), • ► f (x) – подынтегральная функция, • ► f (x)dx – подынтегральное выражение ( f (x) умножено на dx ), • ► x – переменная интегрирования (может быть обозначена любой буквой), • ► dx – дифференциал переменной интегрирования • Неопределённым интегралом называют не только множество всех первообразных, но и любую функцию этого множества. • Определение. Нахождение первообразной по данной функции f(х) называется интегрированием. Геометрический смысл неопределённого интеграла • Пусть задан неопределённый интеграл F(х) + С для функции f(х) в некотором интервале. При фиксированном значении С = С1 получим конкретную функцию у1 = F(х) + С1, для которой можно построить график; его называют интегральной кривой. Изменив значение С и положив С = С2, получим другую первообразную функцию С соответствующей новой интегральной кривой. Аналогично можно построить график любой первообразной функции. Следовательно, выражение у = F(х) + С можно рассматривать как уравнение семейства интегральных кривых неопределённого интеграла F(х) + С. Величина С является параметром этого семейства – каждому конкретному значению С соответствует единственная интегральная кривая в семействе. Интегральную кривую, соответствующую значению параметра С2, можно получить из интегральной кривой, соответствующей значению параметра С1, параллельным сдвигом в направлении оси Оу на величину /С2 – С1/. На рис. 1 изображены интегральные кривые от функции f(х) = 2х, то есть, семейство парабол. 5 4 3 2 1 рис. 1 Основные свойства неопределённого интеграла. • 1)Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, то есть, ∫ [ f(х)dх ]’ = f(х) (1) • Доказательство. Согласно определению неопределённого интеграла, ∫ f(х)dх = F(х) + С, где F’(х) = f(х) • Дифференцируя обе части равенства (1), имеем [F(х) + С ]’, • откуда (∫f(х)dх )’ = [∫ f(х)dх ]’ = F’(х) + С1 = F’(х) = f(х) . 2) Дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению, то есть d ∫ f(х)dх = f(х)dх • Доказательство. Согласно определению неопределённого интеграла, • • ∫ f(х)dх = F(х) + С d f(х)dх = d(F(х) + С) = dF(х) + dС = F’(х)dх = f(х)dх 3)Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции F(х) равен самой функции с точностью до произвольной постоянной С, то есть ∫ dF(х) = F(х) + С, • Доказательство. Продифференцировав оба равенства (3), будем иметь d ∫ dF(х) = dF(х) (по свойству 2) • d(F(х) + С) = dF(х) • Следовательно, функции ∫ dF(х) и F(х) отличаются друг от друга на постоянную величину, то есть ∫ dF(х) = F(х) + С 4) Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла, то есть ∫ а f(х)dх = а ∫ f(х)dх (а ≠ 0) • Доказательство. Продифференцируем обучение части равенства. Тогда получим d ∫а f(х)dх = а f(х)dх (по свойству 2) и d [ a ∫f(х)dx ] = ad ∫ f(х)dх =а f(х)dх (в силу свойства дифференциала). Таким образом, дифференциалы функций ∫а f(х)dх и а ∫f(х)dх равны, а потому эти функции отличаются друг от друга на постоянную величину, то есть, ∫а f(х)dх = = а ∫ f(х)dх dх + С. Но постоянную С можно считать включённой в состав неопределённого интеграла, следовательно, ∫ а f(х)dх = а ∫ f(х)dх. 5)Интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций, например: ∫[f1(х) + f2(х) – f3(х)]dх = ∫ f1(х)dх + ∫ f3(х)dх – ∫f3(х)dх (5) • Доказательство: Продифференцируем обе части равенства. Дифференцирование любой части равенства даёт: d ∫ [f1(х) + f2(х) – f3(х)]dх = [f1(х) + f2(х) – f3(х)]dх В результате дифференцирования правой части равенства (5), получается дифференциал алгебраической суммы нескольких функций, который как известно равен алгебраической сумме дифференциалов слагаемых функций. Следовательно, • d[∫ f1(х)dх + ∫ f2(х)dх - ∫ f3(х)dх] = • = d ∫ f1(х)dх + d ∫ f2(х)dх -d ∫ f3(х)dх • Применяя свойство 1, в правой части последнего равенства получаем f1(х)dх + f2(х)dх -f3(х)dх = [ f1(х) + f2(х) - f3(х)]dх Итак, после дифференцирования обеих частей равенства (5) получены тождественные результаты, следовательно, справедлива формула (5) (см. доказательство свойства 3). ЛЕКЦИЯ 2 Метод непосредственного интегрирования • Определение. Непосредственным интегрированием называется интегрирование заключающееся в прямом применении формул таблицы основных интегралов. • Чтобы найти неопределённый интеграл от какой–нибудь функции f(х), нужно прежде всего отыскать в таблице интегралов формулу, в левой части которой стоит интеграл такого же вида, как данный, и записать ответ в соответствии с правой частью этой формулы. ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПРИМЕРЫ: 1) ∫ х7dх • Решение. ∫ х7dх = х8 8 + С. • 2) ∫ 2 3 √х2 dх • Решение. Имеем ∫ 2 3 √х2 dх = ∫ 2х2/3dх • Применяя формулы, получаем ∫ 2х2/3dх = 2 ∫ х2/3dх = 6 х5/3 +C . 5 • 3)∫ 3dх • cos23х • Так как 3dх = d(3х), а потому ∫ 3dх = ∫ d(3х) . • cos23х cos23x • Применяя формулу, получаем tg3х + С Метод замены переменной в неопределенном интеграле • Наиболее общим приёмом интегрирования функций является способ подстановки, который применяется тогда, когда искомый интеграл ∫ f(х)dх не является табличным, но путём ряда элементарных преобразований он может быть сведён к табличному. • Метод подстановки основан на применении следующей формулы: ∫ f(х)dх = f[g(t)]g’(t)dt, (!) • где х = g(t) – дифференцируемая функция от t, производная которой g’(t) сохраняет знак для рассматриваемых значений переменных. • Сущность применения этой формулы состоит в том, что в данном интеграле f(х)dх переменная х заменяется переменной t по формуле х = g(t) и, следовательно, dх произведением g’(t)dt. • Справедливость формулы (!) будет доказана если после дифференцирования обеих её частей получатся одинаковые выражения. Продифференцировав левую часть формулы, имеем d [∫ f(х)dх ] = f(х)dх = f [g(t)] g’(t)dt • Продифференцировав правую часть формулы, имеем d ∫ f [g(t)] g’(t)dt = f [ g(t) ] g’(t)dt • Таким образом, формула (!) справедлива. Часто употребляется обратная замена переменной, то есть, подстановка t = g(t), dt = g’(t)dх. • Важно подчеркнуть, что если дифференцирование элементарной функции вновь приводит к элементарной функции, то обратная операция интегрирования этим свойством не обладает. Именно, известны элементарные функции, первообразные которых, хотя и существуют, но не могут быть выражены конечным числом алгебраических операций и/или суперпозиций над элементарными функциями. ЛЕКЦИЯ 4. Интегрирование иррациональных и тригонометрических функций • Продолжение примера 1 Л.3: 1 A B ( A B) x ( A 2 B) ( x 2)( x 1) x 2 x 1 ( x 2)( x 1) Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях. Поэтому: A-2B=1, -3B=1, B=-1/3 x: A+B=0, A=-B, A=1/3. 1/ 3 1/ 3 1 dx 1 dx 1 1 ( x 2 x 1 )dx 3 x 2 3 x 1 3 ln x 2 3 ln x 1 C 1 x2 ln C 3 x 1 Интегрирование иррациональных выражений • Иррациональным относительно переменной x (буква может быть любая) алгебраическим выражением будем считать такое выражение, значение которого получается из x в результате конечного числа основных арифметических операций и операции извлечения корня. • Далее рассматриваются простейшие иррациональные выражения, а именно такие, которые хотя и являются иррациональными относительно x , но рационально зависят от образующих их частей. • Всюду ниже буквой R обозначена рациональная функция своих аргументов. Изложение носит рецептурный характер с указанием типа подынтегрального выражения и возможной рационализирующей подстановки (строгие доказательства всех «рецептов» интегрирования можно найти в фундаментальных курсах математического анализа) . 1. Интегралы вида: R( x, x , x ,..., x )dx , ,..., Z x t , N наименьший Замена: общий знаменатель дробей , , . N Пример: x 2 6 5 dx x t , dx 6 t dt 3 x( x 1) t3 2 5 6 6 2 t dt t (t 1) t3 2 t2 6 2 6( dt 3 dt ) t (t 1) t t t2 6t 6 2 dt 6t 12 ln t 6 ln(t 2 1) 6arctgt C t (t 1) 6 6 x 12 ln 6 x 6 ln( 6 x 1) 6arctg 6 x C. • 2. Интеграл вида: ax b ax b ax b R( x, cx d , cx d ,..., cx d dx, где , ,..., рациональные, дробные числа. ax b N Замена: t , где N- наим.общий знаменатель cx d дробей , ,..., . Пример: x 2 dx x 2 2 2 2t 2 4t (1 t 2 ) 2t (2 2t 2 ) ( t ,x , dx )dt 2 2 2 x2 x x2 1 t (1 t ) 1 t t dt ) 8 t dt 4 dt 2 2 2 2 2 2 2 1 t (1 t ) 1 t 1 t 2 2t 8t t 2 t 4 dt ... 2 1 t (t 1)(1 t ) 2 2 3. Интегрирование биномиальных дифференциалов(дифференциальных биномов) • Выражение вида x ( a bx ) • называется дифференциальным биномом m n p относительно переменной x , где , a,b – действительные числа, m,n,p- любые рациональные числа. • Интеграл от диф.бинома сводится к интегралу от рациональной функции в следующих 3-х случаях: • 1. P- целое число; рационализирующая подстановка: x t N , N наим. общий знаменатель дробей m,n • 2. m 1 Z , замена : a+bx t , n n N знаменатель дроби р. N • 3. m 1 n N ( p) Z , замена : a x b t , n N знаменатель дроби р. Пример: 6 dx 1 1 ( p 2 Z , m , n , 6 3 x ( 3 x 1) 2 замена : x t , dx 6t dt ) 6 5 t dt 6 2 ... 2 t (t 1) 5 4. Интегралы, сводящиеся к интегралам от тригонометрических функций R ( x, R ( x, R ( x, a x )dx : замена : x a sin t или x aсost 2 2 a x )dx : замена : x a sin t или x aсost 2 2 a x )dx : замена : x a / sin t или x a / сost 2 2 Пример: dx 4 x 2 3 ( x 2 sin t , dx 2 cos tdt ) cos tdt cos tdt 2 2 3 3 2 3 2 cos t ( (4 4 sin t )) 1 dt 1 1 tgt C 2 4 cos t 4 4 x 4 x 2 c. 5.Подстановки Эйлера: Примеры: Интегрирование тригонометрических функций Примеры: Примеры: Немного истории Интеграл» - латинское слово integro – “восстанавливать” или integer – “целый”. Одно из основных понятий математического анализа, возникшее в связи потребностью измерять площади, объемы, отыскивать функции по их производным. Впервые это слово употребил в печати шведский ученый Я. Бернулли (1690 г.). Немного истории • Знак ∫ - стилизованная буква S от латинского слова summa – “сумма”. Впервые появился у Г.В. Лейбница в 1686 году. Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646-1716) « Общее искусство знаков представляет чудесное пособие, так как оно разгружает воображение… Следует заботиться о том, чтобы обозначения были удобны для открытий. Обозначения коротко выражают и отображают сущность вещей. Тогда поразительным образом сокращается работа мысли.» Лейбниц Применение интеграла Площадь фигуры Объем тела вращения Работа электрического заряда Работа переменной силы Центр масс Формула энергии заряженного конденсатора