Выполнил работу Мирошниченко Вячеслав

Выполнил работу Мирошниченко Вячеслав
Ученик 10 класса МБОУСОШ №1 х. Маяк
Изучить определения и свойства
вневписанной окружности.
 Исследовать приёмы решения задач на
вневписанную окружность.
 Составить сборник задач на вневписанную
окружность.

Вписанная окружность
Описанная окружность
Если все стороны треугольника касаются Если все вершины треугольника лежат на
окружности, то окружность называется вписанной окружности, то окружность называется описанной
в треугольник
около треугольника
Центр вписанной в треугольник окружности лежит Центром описанной около треугольника окружности
на пересечении биссектрис внутренних углов является
точка
пересечения
серединных
треугольника.
перпендикуляров к сторонам треугольника.
Радиус вписанной в треугольник окружности равен Для любого треугольника справедливо равенство:
отношению площади треугольника и его
,
полупериметра: r=S/р , где S - площадь
треугольника, а p=(a+b+c)/2 - полупериметр
где R- радиус описанной окружности.
треугольника.
В
С
А
О
В
А
М
К
С
N
О





Каждый из отрезков касательных, проведённых из вершины треугольника,
противоположной стороне касания вневписанной окружности, равен полупериметру
треугольника.
Длины сторон треугольника и радиусы вписанной и вневписанной окружностей
связаны соотношением
Радиус вневписанной окружности, касающейся данной стороны треугольника, равен
отношению площади треугольника к разности полупериметра и этой стороны :
S
S
S
ra= p  a , rb= p  b , rc= p  c.
Сумма радиусов вневписанных окружностей равна сумме радиуса вписанной
окружности и удвоенного диаметра описанной окружности, т. е. ra + rb + rc = r + 4R
Сумма величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, равна величине,
1
1
1
1
обратной радиусу вписанной окружности:
ra


rb

rc

r
Сумма всех попарных произведений радиусов вневписанных окружностей равна
квадрату полупериметра треугольника: rarb+rbrc+rcra=p2
Дано: ∆АВС
Вневписанная окр. (Оа; ra )
Доказать, что
АВ1 = АС1 = p
В1
В
Доказательство:
А1
Т.к. Оа - центр вневписанной
α/2
окружности. Касательные, прове α/2
денные к окружности из
одной точки, равны между собой,
поэтому ВВ1 = ВА1 , СА1 = СС1 , АВ1 = АС1.
Значит,
2p = (AC + СА1) + (AB + ВА1) = (AC + CC1) + (AB + BB1) = AC1 + AB1 = 2AC1 = 2AB1
т.е. АВ1 = АС1 = p.
Дано:
Треугольник АВС,
<А=300,
R-радиус окр.
В
О2
О1
О1О2-?
А
Н
С
M
Решение:
Пусть О1 и О2 – центры данных окружностей (R – радиус первой). По свойству
вневписанной окружности, центр вневписанной окружности лежит на пересечении
биссектрис внешних углов, поэтому МСО2=<О2СВ, аналогично АСО1=О1СВ =>
треугольник О1СО2 – прямоугольный.
Так как АО1 биссектриса, то <О1АС=150. Из ∆АО1H ,
<АО1Н= 900-150= 750.
Из ∆О1НС <НО1С= 900:2=450, <О2О1С=1800-(450+750)=600.
Следовательно,
О1О2С=750-450=300.
Из ∆ О2О1С, катет О1С лежит против угла в 300, значит О1О2=2О1С=2R.
Ответ: 2R
Дано:
Точка О – центр вписанной окружности треугольника АВС,
а точка О1 – центр окружности, касающейся стороны ВС
и продолжений сторон АВ и АС.
Найдите расстояние между точками О и О1, если радиус
описанной окружности треугольника АВС = 6, а sin<
ВОС =