konkursnaya_rabota_CV

Понятие
случайной величины
Бурятский филиал МЭСИ
Преподаватель: Асалханова Лариса Ильинична
Содержание
Дискретная
случайная
величина
Случайная
величина
Непрерывн
ая
случайная
величина
Сокращения
Ряд
распределения
Математическ
ое ожидание
Функция
распределения
Дисперсия
Функция
плотности
вероятности
Литература
«Теория вероятностей есть в
сущности не что иное, как здравый
смысл, сведенной к исчислению»
Лаплас
Цели

Образовательная - формирование знаний и
представлений о случайной величине.

воспитательная - формирование памяти,
внимания и мышления студентов.

развивающая - развивать умение анализировать,
сопоставлять, устанавливать взаимосвязи.

Случайная величина, которая случайно принимает
одно из множества возможных значений.

Переменная величина называется случайной, если в
результате опыта она может принимать
действительные значения с определёнными
вероятностями.
Дискретная случайная величина это величина
которая принимает только счётные значения.
Пример
Количество долек, на которые
разрезан пирог.
Пример
Количество черных кошек в
черной комнате.
Пример
Количество листьев растения.
Непрерывная случайная величина это
величина которая принимает любое
значения из определенного интервала.
Пример
Количество осадков, выпавших
за сутки.
Пример
Длина, пойманной рыбы.
Пример
Дальность полета пчелы.
Закон распределения СВ
.
Законом распределения случайной величины
называется всякое соотношение, устанавливающее
связь между возможными значениями случайной
величины и соответствующими им вероятностями.
Закон распределения может быть задан виде
формулы, таблицы или графика.
Ряд распределения

ДСВ принимает значение: х1, х2, … хn.
Обозначим
вероятности
этих
событий
Р(Х=х1)=р1, Р(Х=х2)=р2, …, Р(Х=хn)=рn
Х
Р
х1
х2
…
хn
p1
p2
…
pn
𝒏
𝒑𝒊 = 𝟏
𝒊=𝟏
Многоугольник распределения

Графическое изображение ряда
распределения называется многоугольником
распределения.
Многоугольник
распределения, так же
как и ряд распределения,
полностью характеризует
случайную величину; он
является одной из форм
закона распределения.
Пример 1
Монету подбрасывают 3 раза. Построить
распределения СВ числа выпадений герба.
ряд
Решение: Х- число выпадения герба. Оно может
принимать значения: х=0, х=1,х=2, х=3.
p=g=1/2 - выпадение орла и решки события
равновозможные. Для определения вероятности
появления конкретного числа воспользуемся
формулой Бернулли
Решение
3 0
0
1 1
P ( х  0)  C    
 0,125
 2 1  2 31
1 1   1 
P ( х  1)  C3    
 0,375
2 2
2
3 2
2 1   1 
P ( х  2)  C3    
 0,375
 2  3  2  3 3
3 1   1 
P ( х  3)  C3    
 0,125
2 2
0
3
х
0
1
2
3
Р
0,125
0,375
0,375
0,125
Функция распределения

Вероятность того, что случайная величина Х
(дискретная или непрерывная) принимает значение,
меньшее х, называется функцией распределения
случайной величины Х и обозначается F(x):
𝑭 𝒙 = 𝑷(𝑿 < 𝒙)
Основные свойства функции
распределения
F(x) неубывающая функция, т.е. при х2 > х1
𝐹 𝑥2 > 𝐹 𝑥1 ;




F(x) – ограниченная функция 0 ≤ 𝐹 𝑥 ≤ 1;
lim 𝐹 𝑥 = 0 ,
𝑥→−∞
lim 𝐹 𝑥 = 1 ;
𝑥→+∞
𝑃 𝛼 ≤ 𝑋 ≤ 𝛽 = 𝐹 𝛽 − 𝐹(𝛼).
Найти функцию распределения по данным Примера1

при х<0 F(x)=P(X<0)=0;

при 0<х<1, F(x)=P(X<1)=P(X=0)=0,125;

при 1<х<2, F(x)=P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)=0,125+0,375=0,5;

при 2<х<3, F(x)=P(X<3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=
0,0,125+0,375+0,375=0,625;

при x>3, F(x)=P(X>3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+Р(Х=3)=
0,0,125+0,375+0,375+0,125=1.
Функция распределения по данным
примера 1
Х
F(x)
(-∞,0]
0
1
(0,1)
(1,2)
0,125
0,5
Функция распределения
любой дискретной СВ
всегда есть разрывная
ступенчатая функция.
0.8
0.6
F ( x)
0.4
0.2
0
1
1
(2,3)
(3, +∞)
0,625
1
0
1
2
x
3
4
4
Функция плотности вероятности
Функция плотности распределения
вероятностей это первая производная функции
распределения
𝒇 𝒙 = 𝑭/ (x)
Основные свойства
 𝒇(𝒙) ≥ 𝟎,

+∞

𝒇
−∞
𝒙 𝒅𝒙 = 𝟏,
𝛽
𝑓
𝛼
𝑃 𝛼≤𝑋≤𝛽 =
𝑥 𝑑𝑥 ,
 Вероятность любого отдельно взятого значения НСВ
равна 0.

Пример 2

Случайная величина Х задана
функцией распределения
0, при 𝑥 < 1
F(x)=

𝑥−1
, при
2
1≤𝑥≤3
1, при 𝑥 > 3
Найти функцию плотности вероятности
1
0, при 𝑥 < 1
f(x)=
1
, при
2
1≤𝑥≤3
0, при 𝑥 > 3
f ( x) 0.5
0
1
2
x
3
4
Числовые характеристики СВ

Числовые характеристики случайной величины,
выражают
различные
свойства
закона
распределения.
Основными
числовыми
характеристиками
являются
математическое
ожидание,
дисперсия
и
среднее
квадратическое
отклонение.
Математическое ожидание


Математическое ожидание СВ это некоторое
среднее значение случайной величины, около
которого группируются все ее возможные значения.
Математическим ожиданием ДСВ Х ,
принимающей конечное число значений хi с
вероятностями рi , называется сумма:
𝑛
𝑀𝑋 = 𝑥1 𝑝1 + 𝑥2 𝑝2 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝑝𝑛 =
𝑥𝑖 𝑝𝑖
𝑖=1

Математическим ожиданием НСВ Х называется
интеграл от произведения ее значений х на плотность
распределения вероятностей f(x):
+∞
𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥
−∞
Основные свойства
математического ожидания

M(c*X)=c*MX;

M(X-MX)=0;

М(X+Y)=MX+MY;

M(X*Y)=MX*MY для независимых
случайных величин Х и Y.

Вычисление математического ожидания по данным
примера 1
3
𝑀𝑋 =
𝑥𝑖 𝑝𝑖 = 0 ∗ 0,125 + 1 ∗ 0,375 + 2 ∗ 0,375 + 3 ∗ 0,125 = 1,5
𝑖=0

Вычисление математического ожидания по данным
примера 2
+∞
𝑀𝑋 =
3
𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
−∞
1
1
1 𝑥2 3 9 1
𝑥𝑑𝑥 =
= − =2
2
2 2 1 4 4
Дисперсия
Дисперсия
и
среднее
квадратическое
отклонение характеризуют рассеивание случайной
величины,
разброс
ее
возможных
значений
относительно математического ожидания.
 Дисперсией
CВ
называется
математическое
ожидание квадрата отклонения случайной величины
от ее математического ожидания 𝐷𝑋 = 𝑀(𝑋 − 𝑀𝑋)2 .
 Для ДСВ дисперсия выражается суммой:
𝐷𝑋 = 𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 −𝑀𝑋)2 𝑝𝑖 .
 Для НСВ дисперсия выражается интегралом:

+∞
−∞
𝑥 − 𝑀𝑋 2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥.
Основные свойства дисперсии
 D(c*X)=𝑐 2 *DX;
 Dc=0;
 D(X+Y)=DX+DY для независимых случайных
величин Х и Y.
𝐷𝑋 = 𝑀 𝑋 2 − 𝑀𝑋 2 .
Среднее квадратическое отклонение
 Дисперсия имеет размерность квадрата случайной
величины. Характеристикой
рассеивания, совпадающей по размерности со
случайной величиной, служит среднее
квадратическое отклонение.


Вычисление дисперсии среднего квадратического отклонения
и по данным примера 1
3
(𝑥𝑖 − 𝑀𝑋)2 𝑝𝑖 = (0 − 1,5)2 ∗ 0,125 + 1 − 1,5
𝐷𝑋 =
𝑖=0
+ 2 − 1,5

2
∗ 0,375 +
2
∗ 0,375 + 3 − 1,5 2 ∗ 0,125 = 0,75
𝜎 = 𝐷𝑋 = 0,75 = 0,866
Вычисление дисперсии среднего квадратического отклонения
по данным примера 2
+∞
3
(𝑥 − 𝑀𝑋)2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
𝐷𝑋 =
−∞
1 1 1
= + = .
6 6 3
1
𝜎 = 𝐷𝑋 =
1
3 3
1
1
(𝑥
−
2)
(𝑥 − 2)2 𝑑𝑥 =
2
2
3
1
3 = 0,577
Сокращения и примечания
СВ - случайная величина
ДСВ- дискретная случайная величина
НСВ – непрерывная случайная величина
Равновозможные – события, по условиям испытания, нет
основания считать из какое-либо них более возможным,
чем любое другое.
m
m nm
n
!
m
Формула Бернулли Pn ( m)  Cn p q
, где Cn 
m!(n  m)!
p+q=1, р- вероятность появления события в единичном
испытании, q –вероятность противоположного события.
МХ – математическое ожидание СВ.
DX – дисперсия СВ.
Источники информации

Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая
статистика. - М.: Высшая школа, 2002.
 http://www.simumath.net
 http://www.exponenta.ru