Определение: Функция F(х) называется первообразной функции f(х) на промежутке Х, если x X F ( x) f ( x) Теорема: Если функция f(х) непрерывна при x X ,то для f(х) существует первообразная F(х) на Х. Замечание 1: Условие непрерывности не является необходимым для существования первообразной. Пример разрывной функции, имеющей первообразную: Пусть х 0, 0, f ( x) 1 1 2 х sin cos , х 0. x x х 0, 0, F ( х) 2 1 х sin , х 0. x Пример: f ( x) x 1 2 x 1 на R. Найдите первообразную функции Решение. Данная функция может быть записана в виде: 2 x 2 3 x 1, если x 1, f x 2 x 2 3 x 1, если x 1. 2 3 F1 ( x) x 3 x 2 x C1 , если x 1; 3 2 2 3 3 2 F2 ( x) x x x C2 , если x 1. 3 2 Найдем соотношение между С1 и С2 , при котором F1 (1) F2 (1) : 1 С1 С2 . 3 1 2 3 3 2 3 x 2 x x 3 C , если x 1, F ( x) 2 x3 3 x 2 x C, если x 1. 3 2 Замечание 2: Если функция f(х) определена на промежутке Х и в точке то есть x0 X имеет разрыв в lim f ( x) lim f ( x) x x0 0 виде скачка, x x0 0 , то функция f(x) не имеет первообразной на любом промежутке, содержащем точку x0 . Теорема 2: Если F(x) одна из первообразных функции f(x), на промежутке Х, то любая первообразная на этом промежутке имеет вид F(x)+C. Определение: Множество всех первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается f ( x) dx Основные свойства неопределенного интеграла. 1. f ( x)dx f ( x). 2. f x dx f ( x) C. 3. kf ( x) dx k f ( x) dx. 4. f1 x f 2 ( x) dx f1 ( x) dx f 2 ( x) dx. 1 5. f kx b dx F kx b C. k 6. f x d g x f x g x g x d f x . 1.Табличный. 2.Сведение к табличному преобразованием подынтегрального выражения в сумму или разность. 3.Интегрирование с помощью замены переменной (подстановкой). 4.Интегрирование по частям. Нахождение интеграла методом преобразования подынтегральной функции в сумму или разность. 1. sin 3 x cos x 1 1 1 sin 4 x sin 2 x dx cos 4 x cos 2 x C. 2 8 4 dx cos 2 5 x sin 2 5 x dx 1 1 2. 2 dx 2 2 2 2 2 sin 5 x cos 5 x sin 5 x cos 5 x sin 5 x cos 5 x 1 1 ctg 5 x tg 5 x C. 5 5 x 4 3x 2 1 1 1 3 2 3. dx x 2 dx x 2 x arctg x C. 2 2 x 1 x 1 3 Интегрирование методом замены переменной. 1 3 2 1 2 1 t 1 2 2 1. x 3x 1 dx t dt C 3x 1 3x 2 1 C. 6 6 3 9 2 1 2 Пусть 3 x 1 t , тогда 6 x dx dt , т . е . x dx dt . 6 sin 2 x dx 1 7 1 t 6 1 2. t dt C C. 7 6 cos 2 x 2 2 6 12 cos 2 x 1 Пусть cos 2 x t , тогда dt 2 sin 2 x dx , т . е . sin 2 x dx dt . 2 е x dx dt x 3. tg t C tg e 1 C. 2 x 2 cos e 1 cos t Пусть e x 1 t , тогда dt e x dx . Интегрирование выражений, содержащих радикалы, методом подстановки. t 2 1 1 4 2 1 5 1 3 1. x 2 x 1 dx t t dt t t dt t t C 2 2 10 6 1 1 2 2 x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 C. 10 6 Пусть t 2 1 2 x 1 t , тогда x , dx t dt . 2 x dx 2t 2. 3 2 x 2 3t dt 3 4t 4t t 3 2 2 4 t 7 dt 12 5 3 8 6t t t C 5 8 12 3 2 2 2 2 3 3 6 2 x 2 x 2 x 2 x 3 2 x C. 5 8 2 Пусть 3 2 x t , тогда x 2 t 3 , т. е. dx 3t 2 dt . Интегрирование алгебраических дробей. x3 1 5 1 1 1. 2 dx dx 5 ln x 2 ln x 2 C. x 4 4 x2 x2 4 x3 a b ; 2 x 4 x2 x2 x 3 ax 2 bx 2 ; x 3 a b x 2a 2b; 5 a 4 ; а b 1; 2 a 2 b 3 . b 1 ; 4 x3 1 5 1 . 2 x 4 4 x2 x2 Интегрирование по частям. 1. x cos x dx x d sin x x sin x sin x dx x sin x cos x C. 2. x e 2 x dx 1 1 1 2x 1 2x 2x 2x 2x x de x e e dx x e e C. 2 2 2 4 1 2 1 2 2 x d cos 2 x x cos 2 x cos 2 x dx 2 2 1 2 1 2 1 x cos 2 x x cos 2 x dx x cos 2 x x d sin 2 x 2 2 2 1 2 1 x cos 2 x x sin 2 x sin 2 x dx 2 2 1 2 1 1 x cos 2 x x sin 2 x cos 2 x C. 2 2 4 3. x 2 sin 2 x dx 4. e x sin x dx sin x de x e x sin x e x d sin x e x sin x e x cos x dx e x sin x cos x d e x e x sin x e x cos x e x d cos x e x sin x cos x e x sin x dx. Получили : x x x e sin x dx e sin x cos x e sin x dx. Таким образом : 2 e x sin x dx e x sin x cos x C , x e значит e x sin x dx sin x cos x C. 2