неопр и опр интеграл - Томский государственный

Понятие и свойства
неопределенного/определенного
интеграла.
Шульц Денис Сергеевич
План занятия.
 Понятие первообразной
 Неопределенный интеграл (понятие, свойства)
 Определенный интеграл (понятие, свойства)
 Формула Ньютона-Лейбница
 Геометрический смысл
 Таблица интегралов
Что должны знать?
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ↔ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
1. Вспомнить таблицу производных
2. Уметь находить табличные производные, производные сложных функций
Понятие первообразной
F ′ x = f(x)
Ж.Л. Лагранж (1736 – 1813)
Определение №1. Функция F(x) называется первообразной функцией для
функции f(x) на интервале (a,b), если F(x) дифференцируема на (a,b) и F’(x)=f(x)
Если f(x) имеет на интервале (a,b) первообразную F(x), то и все функции вида:
F(x) + C будут для неё первообразными на том же промежутке
Понятие первообразной
F ′ x = f(x)
Ж.Л. Лагранж (1736 – 1813)
Определение №1. Функция F(x) называется первообразной функцией для
функции f(x) на интервале (a,b), если F(x) дифференцируема на (a,b) и F’(x)=f(x)
Если f(x) имеет на интервале (a,b) первообразную F(x), то и все функции вида:
F(x) + C будут для неё первообразными на том же промежутке
x3 является первообразной для функции …..???
Понятие первообразной
F ′ x = f(x)
Ж.Л. Лагранж (1736 – 1813)
Определение №1. Функция F(x) называется первообразной функцией для
функции f(x) на интервале (a,b), если F(x) дифференцируема на (a,b) и F’(x)=f(x)
Если f(x) имеет на интервале (a,b) первообразную F(x), то и все функции вида:
F(x) + C будут для неё первообразными на том же промежутке
x3 является первообразной для функции 3x2, т.к. (x3)’ = 3x2
Неопределенный интеграл
Определение №2. Совокупность всех первообразных функции f(x)
на интервале (a,b) называется неопределенным интегралом от функции f(x)
и обозначается:
f x dx = F x + C
– значок интеграла
f(x) – подынтегральная функция
dx
– дифференциал независимой переменной
f x dx – подынтегральное выражение
Неопределенный интеграл
f x dx = F x + C
Найти (взять, решить) неопределенный интеграл – это значит найти
определенную функцию F(x) + C (множество всех первообразных), пользуясь
некоторыми правилами, методами, таблицей.
𝐹 𝑥 +𝐶
Интеграл
3x 2 dx = x 3 + C
′
= 𝑓(𝑥)
проверка:
𝑥3 + 𝐶
′
= 3𝑥 2
Геометрический смысл
неопределенного интеграла
f x dx = F x + C
Семейство кривых (график) – геометрическая иллюстрация неопределенного
интеграла
Свойства
неопределенного интеграла
1. d
f x dx = f x dx
2.
dF x = F x + C
3.
kf x dx = k
4.
f(x) ± g(x) dx =
f x dx
f x dx ±
g x dx
Таблица интегралов
Определенный интеграл
Определение №3. Пусть функция f(x) задана на отрезке [a, b] и имеет на нём
первообразную F(x) . Разность F(b) – F(a) называется определенным интегралом
функции f(x) по отрезку [a, b] и обозначается:
b
f x dx = F b − F(a)
a
a, b – пределы интегрирования
формула Ньютона-Лейбница
Определенный интеграл
b
f x dx = F b − F(a)
a
Алгоритм нахождения определенного интеграла:
• Находим неопределенный интеграл, пользуясь таблицей интегралов,
различными приёмами интегрирования
• Не подставляем константу С при нахождении определенного интеграла
• Применяем формулу Ньютона-Лейбница
2
2
2
3𝑥 2 𝑑𝑥
1
𝑥 2 𝑑𝑥
=3
1
𝑥3
=3
3
= 23 − 13 = 8 − 1 = 7
1
Геометрический смысл
определенного интеграла
b
f x dx = F b − F(a)
a
y=0
x=a
y = f(x)
x=b
Sкриволинейной трапеции =
𝑏
𝑓
𝑎
𝑥 𝑑𝑥
Свойства
определенного интеграла
b
a
f x dx = −
1.
f x dx
a
b
b
c
f x dx =
2.
a
b
f x dx +
f x dx
a
c
b
b
f(x) ± g(x) dx =
3.
a
b
f x dx ±
a
b
b
kf x dx = k
4.
a
f x dx
a
g x dx
a
Неопределенный и
определенный интеграл
Неопределенный
функция (выражение)
нахождение функции по производной
(известна скорость движения точки.
Можно найти выражение для координаты)
𝑑𝑥
𝑣=
𝑑𝑡
Определенный
число
Площадь фигур
Объёмы фигур
Длины дуг
Неопределенный и
определенный интеграл
Неопределенный
функция (выражение)
нахождение функции по производной
(известна скорость движения точки.
Можно найти выражение для координаты)
𝑑𝑥
𝑣=
𝑑𝑡
Определенный
число
Площадь фигур
Объёмы фигур
Длины дуг
может ли определенный интеграл быть <0, =0, ∞?
всегда ли существует определенный интеграл?
Вебинары «Интегральное исчисление». Февраль 2014 г.
№
Тема вебинара
2
Методы нахождения неопределенных интегралов.
Подведение под знак дифференциала
3
Интегрирование по частям
Дата проведения
.02.14 в 14:30
(время московское)
.02.14 в 14:30
(время московское)
На вебинар №2:
 Ознакомиться со списком методов нахождения неопределенных интегралов
 вспомнить таблицу производных
(помня, как находятся производные, легко составить таблицу основных
дифференциалов. А значит легко применить метод подведения под знак
дифференциала)
Вебинары на тему «Дифференцирование» (март – июнь 2012)
 электронный курс «Высшая математика (Байбакова)»
 консультация по математике (тема: «Дифференцирование»)
Спасибо за внимание!!!
Шульц Денис Сергеевич
Кафедра прикладной математики и
информатики
Факультет дистанционного обучения
Томский государственный университет
систем управления и радиоэлектроники
sds@pmii.tusur.ru
sds@2i.tusur.ru