Дифференциальное уравнение гармонических колебаний

Колебаниями
называются
движения
или
процессы, которые характеризуются определенной
повторяемостью во времени.
Колебания
называются
свободными
(собственными), если они совершаются за счет
первоначально
сообщенной
энергии
при
последующем отсутствии внешних воздействий на
колебательную систему.
Гармонические колебания – колебания, при
которых колеблющаяся величина изменяется со
временем по закону синуса (косинуса).
Колебания, встречающиеся в природе и технике,
часто близки к гармоническим, различные
периодические процессы можно представить как
наложение гармонических колебаний.
Гармоническое колебание описывается уравнениями типа
x  A cos(0 t   ) или
x  A sin (ω0 t  ) ,
где x – смещение от положения равновесия
колеблющейся точки, A – амплитуда колебаний,
ω0 - круговая (циклическая частота),
 - начальная фаза колебаний (определяет смещение
колеблющейся величины от положения равновесия в
начальный момент времени),
(ω0t  )- фаза колебаний в момент времени t
(определяет смещение колеблющейся величины от
положения равновесия в данный момент времени).
Уравнение гармонического колебания можно записать и в
в комплексной форме:
Период колебаний – это промежуток времени, за
который происходит одно полное колебание (фаза
колебания получает приращение 2π):
(с)
Частота - величина, обратная периоду колебаний – это
число колебаний, совершаемых системой в единицу
времени:
(Гц)
Скорость
колеблющейся
точки
первая
производная по времени от гармонически
колеблющейся величины х:
Ускорение
колеблющейся
точки
вторая
производная по времени от гармонически
колеблющейся величины х:
d 2x
2
2
a


A

cos(

t


)

A

0
0
0 cos(t     )
2
dt
dx
dt
d 2x
dt 2
Амплитуда величин
и
соответственно равны
A 0 и A 02 . Фаза отличается от фазы х на π/2, а
dx
d x
фаза
отличается от фазы х на π, т.е. dt имеет
dt
наибольшие значения, когда х=0; когда же х
достигает
максимального отрицательного значения,
2
d x
принимает
наибольшее
положительное
dt 2
значение.
Дифференциальное
уравнение
гармонических
колебаний:
2
2
Гармонические колебания изображаются графически
методом вращающегося вектора амплитуды, или
методом векторных диаграмм. Для этого из
произвольной точки О, выбранной на оси х, под углом φ,
равным начальной фазе колебания, откладывается вектор
, модуль которого равен амплитуде А рассматриваемого
колебания. Если вектор привести во вращение с угловой
скоростью
, равной циклической частоте колебаний, то
проекция конца вектора будет перемещаться по оси x и
принимать значения от -А до +А, а колеблющаяся
величина будет изменяться со временем по закону:
x  A cos(0 t   )
φ
O
x
Кинетическая энергия колеблющейся точки массы m:
потенциальная энергия:
полная энергия:
m A 2 02
E
2
http://www.youtube.com/watch?v=EUEMAApyUA&feature=&p=C5973AA564483F43&index=0&playnext=1
Гармонический осциллятор
Гармоническим осциллятором называется система,
совершающая колебания описываемые уравнением
вида:
Пружинный маятник – груз массой m, подвешенный
на абсолютно упругой пружине и совершающий
гармонические колебания под действием упругой
силы :
http://www.youtube.com/watch?v=wkGcWzUa2UY&feature=related
Физический маятник – твердое тело, совершающее
под действием силы тяжести колебания вокруг
неподвижной горизонтальной оси, проходящей
через точку О, не совпадающую с центром масс
тела.
Математический маятник – идеализированная
система, состоящая из материальной точки массой
m, подвешенной на нерастяжимой невесомой
нити, и колеблющаяся под действием силы
тяжести.
http://www.youtube.com/watch?v=je3BV5MHJ60
Затухающие колебания
Свободные затухающие колебания - колебания,
амплитуды которых из-за потерь энергии реальной
колебательной
системой
с
течением
времени
уменьшается.
Дифференциальное уравнение затухающих колебаний:
x  2x   02 x  0
где x – колеблющаяся величина,
– коэффициент
затухания.
Решение дифференциального уравнения:
x  A0 e t cos(t   )
A  A0 e t - амплитуда затухающих колебаний, А –
0
 0 - собственная частота
начальная амплитуда,
колебательной системы.
Характеристики затухающих колебаний
Циклическая частота :
   02   2
Период затухающих колебаний:
T
2
2


 02   2
Декремент затухания:
A(t )
 e T
A(t  T )
где А(t) и A(t+T) – амплитуды двух последовательных
колебаний,
соответствующих
моментам
времени,
отличающимся на период.
http://www.youtube.com/watch?v=IAcmfnIAQE4
Время релаксации - промежуток времени, в течение
которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в
1
е раз.
 

Логарифмический декремент затухания:
  ln
A(t )
T
1
 T  
A(t  T )
 Ne
где τ – время релаксации, Ne – число колебаний,
совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз.
Добротность колебательной системы:
Q

 0
 N e 


T0 2
Так как затухание мало ( 2   02), то Т принято равным Т0.
Вынужденные колебания
Вынужденные
колебания
–
это
колебания,
возникающие под действием внешней периодически
изменяющейся силы.
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:
F0
2
x  2x   0 x 
cos t
m
Решение дифференциального уравнения:
x  A cos(t   )
где
A
F0 m
( 02   2 ) 2  4 2 2
,   arctg
http://www.youtube.com/watch?v=BAyt7KVtG58
2
 02   2
Резонанс – это явление резкого возрастания
амплитуды вынужденных колебаний при приближении
частоты вынуждающей силы к частоте, равной или
близкой собственной частоте колебательной системы.
Резонансная частота:
 рез  02  2 2
Резонансная амплитуда:
A
F0 2m
 02   2
•Курс физики. Учебник для вузов/под. ред.
проф. В.Н. Лозовского. СПб: Лань, 2009. Т.1
•Т.И. Трофимова. Краткий курс физики.
Учебное пособие для вузов. М: КноРус,
2010.
•Лозовский В.Н., Лозовский С.В.
Концепции современного естествознания.
Учебное пособие для вузов. - СПб: Лань,
2006.
•Википедия http://ru.wikipedia.org/