Полный_нуль_в_математике

ПРОЕКТНАЯ РАБОТА
ПО МАТЕМАТИКЕ
Полный нуль
в математике
Тепикин Виктор
6 «Б» школа № 167
2014г.
Цели работы
Основная цель работы: исследование основных свойств и правил вычисления
с использованием числа нуль.
Цели:
•
образовательные: сформировать у учащихся основные ИКТ- компетентности:
умения и навыки исследовательской, проектной деятельности; работать над
повышением мотивации школьников к изучению математики и проектной
деятельности; развитие навыков самостоятельного получения информации,
формирование умения отбирать и структурировать материал.
•
воспитательные: формирование таких качеств личности, как познавательная
активность, самостоятельность, упорство в достижении поставленной цели.
•
развивающие: развитие творческих способностей учащихся (воображения,
наблюдательности, памяти), монологической речи, самоанализа и рефлексии;
способности выявлять причинно – следственные связи, развитие логического
мышления.
Содержание
1.
1.1.
1.2.
1.3.
2.
2.1.
2.2.
2.3.
2.3.1.
2.3.1.1.
2.3.1.2.
2.3.2.
2.3.2.1.
2.3.2.2.
2.3.3.
2.3.3.1.
2.3.3.2.
3.
3.1.
3.2.
4.
История нуля
Значение нуля в позиционной системе счисления
Возникновение нуля
Появление нуля в Европе
Свойства нуля
Нуль в числовых системах
Аксиомы Пеано
Действия с нулем
Операции для нуля на множестве натуральных чисел
Сложение
Умножение
Операции для нуля на множестве целых чисел
Вычитание
Деление с остатком
Операции для нуля на множестве рациональных чисел
Деление
Возведение в степень
Нуль в двоичной системе счисления
Перевод из двоичной системы в десятичную
Перевод из десятичной системы в двоичную
Нуль в компьютерных системах
1. История нуля
Нуль к нам пришел из Индии вместе с десятичной
системой счисления. Почему же такая система возникла именно в
Индии? У многих народов буквам алфавита присваивались
числовые значения – алфавитная система нумерации или
группировка, или же специальные знаки обозначали степень
(разряд) и ставились над числом или после него. Такие системы
не нуждались в символе 0. Только в системе, не имеющей
символов для обозначения степеней, нужно было каким-то
образом обозначить отсутствие степени.
1.1. Значение нуля в позиционной
системе счисления
Для записи чисел в десятичной позиционной системе счисления
используется 10 цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 0. Счет ведется десятками. 10 единиц
одного разряда образуют 1 единицу старшего разряда. Три разряда (единицы,
десятки и сотни) составляют класс.
Класс единиц:
Разряд единиц – числа от 1 до 9
Разряд десятков – числа от 10 до 99
Разряд сотен – числа от 100 до 999
Структура цифровой записи:
записываются только единицы (цифры от 1 до 9 и 0), степени обозначаются
положением цифры в записи или их позицией (разрядом). Нуль обозначает
отсутствующий разряд.
сотни
десятки
единицы
сотни
десятки
единицы
сотни
десятки
единицы
Единицы
единицы
Тысячи
десятки
Миллионы
сотни
Миллиарды
Разряды
Классы
Цифра
2
5
0
3
0
6
7
3
8
0
2
5
1.2. Возникновение нуля
Около 600 г. н.э. появилась индийская позиционная абстрактная
система счисления. В ней использовались только первые 9 брахмийских цифр,
т.е. цифры обозначающие единицы. Позиционный принцип возник после того
как каждому из первых девяти чисел была присвоена своя цифра
(монографирование).
Индусы производили вычисления на
табличках, покрытых слоем песка.
Сначала
отсутствующую
цифру
обозначали точкой, затем символом 0
или крестиком.
Первые достоверные свидетельства о
записи нуля относятся к 876 году н.
э.: в тексте, написанном на стене
храма недалеко от Гвалиора (Индия),
упоминается число 270 (нуль
изображен в виде кружочка).
Почему для обозначения нуля был выбран символ 0? Возможно символ 0
произошел от слова «обол» - монета не имеющая ценности. Или же символ 0
возникал, когда подсчеты вели, используя песочную доску. Предполагается, что
после того как монеты удалялись из песка, оставался круглый отпечаток в виде
нуля.
У майя символом нуля похож на
раковину улитки (спираль).
В поздней вавилонской системе символ
отсутствия цифры обозначался двумя
маленькими наклонными клиньями.
1.3. Появление нуля в Европе
В 712 году арабы захватили часть Индии. Персидский математик Мухаммед
аль-Хорезми в своем труде «Числа индийцев» первым из арабов описал эту новую
систему счисления. Он советовал ставить в расчетах пустой кружок на то место, где
должно было помещаться «ничто».
Арабы приспособили индийские
цифры к арабскому письму.
Существует
два
различных
арабских варианта индийских
цифр, которые применяются до
сих пор.
Восточно-арабскими цифрами
пользуются все народы Востока,
пишущие с помощью арабского
алфавита (египтяне, сирийцы,
турки, персы). У них эти цифры
называются индийскими.
Западно-арабские
цифры
–
прямые предки наших цифр,
которые
и
называются
арабскими.
Для всей Европы главным распространителем культуры долгое время
была арабская Испания. Там труды аль-Хорезми об индийских цифрах были
переведены на латынь. В Европе десятичная система начинает использоваться
только в XII веке.
Знаменитый итальянский математик Леонардо Пизанский (Фибоначчи) в
1202 году впервые изложил правила действий с нулем и отрицательными числами,
а также появились знаменитые «числа Фибоначчи». Новые цифры
распространялись благодаря купцам, торговцам, арифметикам, счетчикам. Лишь с
XVII века нуль получил широкое распространение в Европе.
В России десятичная нумерация закрепилась только после издания в
1703 году «Арифметики» Леонтия Магницкого. Русское слово «цифра» произошло
от арабского слова «нуль» (as–sifr).
2. Свойства нуля
2.1. Нуль в числовых системах
Нуль (или ноль, от лат. nullus — никакой) — название первой (по
порядку) цифры в стандартных системах исчисления, а также математический
знак, выражающий отсутствие значения данного разряда в записи числа в
позиционной системе счисления.
Иногда, в иностранной и переводной литературе 0 считается
натуральным числом, и в аксиомах Пеано 0 - первое число натурального ряда. В
русской литературе обычно 0 исключён из числа натуральных чисел и входит в
систему целых чисел.
В международной математической литературе во избежание
неоднозначностей, множество 1, 2, 3, …
обычно называют множеством
положительных целых чисел и обозначают Ζ+ . Множество 0, 1, 2, … зачастую
называют множеством неотрицательных целых чисел и обозначают Ζ≥0 .
2.2. Аксиомы Пеано
Формальное определение натуральных чисел дал итальянский математик
Джузеппе Пеано. В 1889 году он сформулировал аксиомы арифметики, которые
позволили формализовать арифметику. После введения аксиом стали возможны
доказательства основных свойств натуральных и целых чисел.
Системой Пеано называется множество N (naturalis — естественный) c
определенной на нем функцией следования « ′ » (т.е. прибавление к числу 1), если
выполнены условия (аксиомы Пеано):
1) 1 ∈ 𝑁 (1 есть натуральное число);
2) Для любого натурального числа 𝑛 ∈ 𝑁 существует единственное следующее
за ним натуральное число 𝑛′ ∈ 𝑁 ;
3) ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝑛′ ≠ 1 (для всех n единица не следует ни за каким натуральным
числом).
4) Для любых натуральных чисел n, m ∈ N из условия m’=n’ следует, что m=n.
5) Если множество M (𝑀 ⊂ 𝑁) содержит 1 и вместе с каждым натуральным
числом n содержит следующее за ним натуральное число n', то оно содержит
все множество N.
2.3. Действия с нулем
Алгебраической (бинарной) операцией, определенной на множестве M,
называется отображение, ставящее в соответствие каждой паре элементов
множества M, взятых в заданном порядке, единственный элемент этого же
множества.
Натуральные
числа
Целые числа
Рациональные
числа
Действительные числа
Сложение
+
+
+
+
Умножение
+
+
+
+
Вычитание
+ (при
положительной
разности)
+
+
+
+ (с остатком)
+
+
+ (целая степень)
+
Операции
Деление
Возведение
в степень
2.3.1. Операции для нуля на множестве
натуральных чисел
Система натуральных (естественных) чисел 𝒩 = 𝑁 , + , ∙ , > , 1 . В
русской математической литературе в аксиомах Пеано заменяют «0» на «1».
Почему же нуль некоторые математики убирают из натуральных чисел?
Натуральные порядковые числа получаются при счете предметов. Число 0 при
порядковом счете не используется. Нуль используется при количественном
обозначении числа, как показатель отсутствия разряда. Нуль не имеет знака, он
делит двусторонний натуральный ряд на отрицательные и положительные числа.
В системе натуральных чисел всегда выполнимы операции сложения и
умножения. Вычитание определено при положительной разности. Выведем
свойства действий с 0 из определений и свойств сложения и умножения на
множестве натуральных чисел.
2.3.1.1. Сложение
Сложением натуральных чисел называется определенная на множестве N
алгебраическая операция, обозначаемая символом «+» и обладающая следующими
свойствами:
1) 𝑚 + 1 = 𝑚’ (например, 2+1=2’=3),
2) 𝑚 + 𝑛’ = (𝑚 + 𝑛)’ (например, 2+4’=(2+4)’ =7).
Числа m и n слагаемые, m+n их сумма.
Отсюда следуют сочетательный и переместительный законы сложения.
Исходя из определения сложения, для 0 получим:
0 + 1 = 0′ = 1
и 0 + 𝛼 ′ = 0 + 1 + 𝛼 = 1 + 𝛼 = 𝛼′.
Проверим: 0 + 5′ = (0 + 5)′ = (0 + 1 + 4)′ = (1 + 4)′ = 5′ .
Следовательно, от прибавления нуля количественное значение числа не
изменяется.
0+𝛼 =𝛼+0=𝛼 .
2.3.1.2. Умножение
Умножением натуральных чисел называется определённая на множестве N
алгебраическая операция (обозначаемая символом «∙»), обладающая следующими
свойствами: (∀𝑛, 𝑚 ∈ 𝑁):
1) 𝑚 ⋅ 1 = 𝑚 ,
2) 𝑚 ⋅ 𝑛’ = 𝑚 ⋅ 𝑛 + 𝑚 .
При умножении m на n называются также сомножителями, а число m∙n – их
произведением. Символ «∙» в математической литературе может заменяться на «×».
Умножение – это последовательное многократное сложение одинаковых слагаемых.
Исходя из определения умножения, для 0 получим:
0 ⋅ 1 = 0 и 0 ⋅ 𝛼 ′ = 0 ⋅ (1 + 1 + ⋯ + 1 + 1)+ 0 = 0 .
𝛼
Проверим: 3 ⋅ 0 = 1 + 1 + 1 ⋅ 0 = 1 ⋅ 0 + 1 ⋅ 0 + 1 ⋅ 0 = 0 + 0 + 0 = 0 .
Следовательно, при умножении любого число на нуль всегда получается нуль.
𝛼⋅0=0⋅𝛼 =0 .
Что происходит при умножении чисел, оканчивающихся на 0? При
умножении на 10 перемещаем знак десятичной запятой на разряд вправо. При
умножении на 100 запятая переносится на два разряда вправо, при умножении на 1000
– на три разряда вправо и т.д.
2.3.2. Операции для нуля на
множестве целых чисел
В системе натуральных чисел не всегда возможно вычитание. Поэтому возникла
необходимость в расширении путем ввода 0 и отрицательных натуральных чисел.
После расширения получаем:
1) 0 = 1′ ( 1 следует за 0) за 1 следуют положительные числа,
2) ′1 = 0 0 прешествует 1 ,
3) ′0 = −1 (−1 предшествует 0) − 1 предшествуют отрицательные числа.
Для любого 𝑛 ∈ 𝑁 имеется противоположный элемент, который обозначается
– 𝑛 или 𝑛. Нуль не имеет знака, т.к. является нейтральным элементом множества.
Получился двусторонний натуральный ряд с нейтральным элементом 0. Это
система целых чисел 𝒵 = 𝑍 , + , ∙ , > , 0, 1 .
Операция сложения для 0 на множестве целых чисел такая же, как и на множестве
натуральных: 0 + 𝛼 = 𝛼 + 0 = 𝛼
0 + −𝛼 = −𝛼 + 0 = −𝛼 .
Операция умножения для 0 на множестве целых чисел такая же, как и на множестве
натуральных: 𝛼 ⋅ 0 = 0 ⋅ 𝛼 = 0
(−𝛼) ⋅ 0 = 0 ⋅ (−𝛼) = 0.
0 ⋅ ∞ не определено.
2.3.2.1. Вычитание
Вычитанием натуральных чисел называется операция (обозначаемая
символом «−»), обратная сложению, и обладающая следующими свойствами:
1) 𝑚 − 1 = ′𝑚 ,
2) 𝑚 − 𝑚 = 0
3) (𝑚 − 𝑛) + 𝑛 = 𝑚 .
При этом m называется уменьшаемым, n – вычитаемым, m−n – их
разностью (для натуральных чисел m>n, для целых чисел таких ограничений нет).
Исходя из определения вычитания, для 0 получим:
0 − 1 =′ 0 = −1
𝛼 − 0 = 𝛼 0 − 𝛼 = −𝛼 𝛼 − 𝛼 = 0 .
При вычитании нуля из числа количественное значение числа не
изменяется. При вычитании числа из нуля получается противоположное число с
отрицательным знаком.
2.3.2.2. Деление с остатком
Делением называется алгебраическая операция, (обозначаемая символом
«:»), обратная умножению, и обладающая следующими свойствами:
1) 𝑚 = 1 ⋅ 𝑚,
2) 𝑚 = 𝑛 ⋅ 𝑝 + 𝑟 причем 0 ≤ 𝑟 < 𝑝 и 𝑛 ≠ 0
Где m – делимое, n – делитель, p – частное, r – остаток.
Именно это условие запрещает деление на ноль, так как иначе m
(отличное от нуля) можно представить в виде 𝑚 = 0 ⋅ 𝑝 + 𝑟, так как 𝑝 ⋅ 0 = 0 при
любом 𝑝, то получается 𝑚 = 𝑟 , а это невозможно, так как остаток не может быть
равен делимому. При делении без остатка (𝑟 = 0) получается 𝑚 = 0 ⋅ 𝑝, в то время
как 𝑝 ⋅ 0 при любом 𝑝 равно 0.
Следовательно, для нуля не существует обратного числа (дроби с нулем в
знаменателе) в пространстве рациональных чисел.
Исходя из определения деления:
0: 𝛼 = 0
𝛼: 0 − запрещено
0: 0 − не определено.
2.3.3. Операции для нуля на
множестве рациональных чисел
В системе целых чисел выполнимы операции сложения, умножения и
вычитания, но не всегда возможно деление без остатка. Поэтому возникла
необходимость в расширении путем ввода числа 𝑛−1 или
отличного от 0.
1
,
𝑛
обратного n и
Это система рациональных чисел,
которая
включает:
целые
числа,
обыкновенные
дроби,
десятичные
конечные
дроби,
бесконечные
периодические дроби.
Множество
рациональных
чисел
обозначается Q (Quotient - частное) и
может быть записано в таком виде:
𝑄=
𝑚
𝑛
𝑚 ∈ 𝑍, 𝑛 ∈ 𝑁 .
2.3.3.1. Деление
Операция деления на множестве рациональных чисел (ratio —
отношение, деление, дробь) понимается как умножение 𝑚 на 𝑛−1 , где числитель m
— целое число, а знаменатель n ≠ 0 - натуральное число.
1) 𝑚 × 𝑚−1 = 1 (Любое ненулевое рациональное число имеет обратное
рациональное число, умножение на которое даёт 1),
2) 𝑚 × 𝑛−1 = 𝑝 𝑛 ≠ 0 .
Деление на 0 также запрещено.
Что происходит при делении на число, оканчивающееся на 0?
Деление на 10 сводится к действию, обратному умножению, т.е. к
перемещению знака десятичной запятой влево на один разряд. При делении на 100
запятая переносится на два разряда влево, при делении на 1000 – на три разряда
влево и т.д.
Необходимо очень тщательно следить за положением запятой в
десятичной дроби. В Америке и Англии 0 перед десятичной запятой обычно
опускают.
2.3.3.2. Возведение в степень
Возведение в степень - алгебраическая операция, происходящая из
многократного умножения натурального числа на самого себя:
𝑐 = 𝑚 × 𝑚 × ⋯ × 𝑚 записывают как 𝑐 = 𝑚𝑛 , где m – основание степени, n –
𝑛 раз
показатель степени, c – n-я степень числа m.
Целая степень:
1) 𝑚𝑛 при 𝑛 > 0 ,
2) 𝑚0 = 1 при 𝑛 = 0 𝑚 ≠ 0 ,
1
3) 𝑚𝑛 при 𝑛 < 0 𝑚 ≠ 0 , 4) 𝑚1 = 𝑚 .
𝑚0 = 1 Почему результат равен 1, а не 0? Так решили математики, чтобы не
𝑎𝑏 𝑎𝑐
𝑎𝑏+𝑐 и
нарушать правила сложения
=
вычислениях получится b+c=0 или b-c=0.
Например: 23:23 = 23-3 = 20 =1 (8:8=1).
00 не определено,
вычитания
𝑎𝑏
𝑎𝑐
= 𝑎 𝑏−𝑐 степеней, если при
∞0 не определено.
Что происходит при возведении в степень числа, оканчивающегося на 0?
При 𝑛 > 0 десятичная запятая переносится вправо на количество разрядов, равных
значению показателя степени: 103=1000. При 𝑛 < 0 десятичная запятая переносится
влево на количество разрядов, равных по модулю значению показателя степени:
1
1
10−3 = 103 = 1000 = 0,001 .
3. Нуль в двоичной системе
счисления
В 1673 году немецкий математик Готфрид Лейбниц построил механический
калькулятор, который выполнял умножение, деление, сложение и вычитание. В 1697
Лейбниц разработал двоичною арифметику, описал правила выполнения
арифметических операций в двоичной системе счисления. Чтобы отличать числа в
разных системах счисления, стали приписывать основание системы в конце числа.
Например: 110112=2710 .
В двоичной системе есть только две цифры 0 и 1. В двоичной системе очень простые
правила сложения и умножения:
0+0=0
0+1=1
1+1=10
0×0=0 0×1=0
1×1=1
3.1. Перевод из двоичной
системы в десятичную
Перевод из двоичной системы в десятичную довольно лёгок. Рассмотрим
число 1110010100001001. Начнём нумеровать позиции чисел справа налево:
1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1.
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
Номера позиций, на которых стоят единицы - это степени числа 2. Нули
мы не берём во внимание, поскольку нуль в любой степени равен самому себе.
Единицам соответствуют позиции 0, 3, 8, 10, 13, 14, 15, значит нужно возвести
двойки в эти степени – 20, 23, 28, 210, 213, 214, 215, а потом сложить эти числа:
20+23+28+210+213+214+215 = 1+8+256+1024+8192+16384+32768 = 58733.
Значит 11100101000010012 = 5873310
3.2. Перевод из десятичной
системы в двоичную
Перевод числа из десятичной в двоичную систему тоже простой, но
более долгий. Предположим, что число 1562 нужно перевести в двоичную
систему. Нужно найти наибольшее число, соответствующее двойке, возведённой в
степень, и меньше чем 1562, - это 210 (1024).
1562-210=538
538-29=26
26-24=10
10-23=2
2-21=0
Степени двоек означают номера позиций, на которых стоят единицы. Позиции
нумеруются с права на лево. На пустые места ставим 0. Получилось число
11000011010, значит 10000110102 = 156210.
4. Нуль в компьютерных
системах
С развитием компьютерной техники современные ученые стали
пользоваться двоичной системой счисления. В 1938 году немецкий инженер Конрад
Цузе сконструировал первую электронно-механическую вычислительную машину
«Z1», которая оперировала цифрами 1 и 0. Нуль означал, что ток в цепи отсутствует,
единица – то ток есть.
В конце 1945 года был создан
первый универсальный электронный
цифровой
компьютер
«ЭНИАК», в котором использовалась десятичная система, где
каждый разряд представлялся
десятью электронными лампами.
В 1949 году был создан EDSAC первый компьютер с хранимой в
памяти программой. Вычисления
производились
в
двоичной
системе со скоростью от 100 до
15 000 операций в секунду.
Список литературы
1) Азимов А. Числа: от арифметики до высшей математики. -М.: Эксмо,
2012. -288с.
2) Арнольд И.В. Теоретическая арифметика. -М.: Учпедгиз, 1939. -482с.
3) Депман И. Я., Виленкин Н. Я. За страницами учебника математики:
Пособие для учащихся 5-6 классов средней школы.- М.: Просвещение,
1989.-287с.
4) Кессельман В.С. Удивительная история математики. –М.: ЭНАСКНИГА, 2013. -232с.
5) Меннингер К. Числа, символы, слова. –М.: ЗАО Центрполиграф, 2011.
-543с.
6) Смолин Ю.Н. Числовые системы: учеб. Пособие. –М.: Флинта: Наука,
2009. -112с.
СПАСИБО ЗА
ВНИМАНИЕ!