Площадь ромба

Геометрия – это легко!
Выполнили:
ученицы 8 «В» класса
МОУ «УТЛ им. Г.В. Рассохина»
Коземаслова Наталья,
Егорова Елизавета
План работы:
Актуальность работы:
Систематизация основных понятий по
четырехугольникам и треугольникам для
подготовки учащихся к ОГЭ.
Цели работы:
1. Выделение простейших геометрических конструкций;
2. Формирование и анализ их опорных свойств - ключей к
решению задач повышенной сложности;
3. Привести решение экзаменационных задач средней и
повышенной сложности;
4. Создание памятки для учащихся.
Геометрические фигуры:
● Треугольник;
● Параллелограмм;
● Трапеция;
● Ромб;
● Квадрат;
● Прямоугольник.
Треугольник
- геометрическая фигура, состоящая из трех точек
не лежащих на одной прямой и трех отрезков
соединяющих эти точки.
Признаки равенства треугольников:
1.
По двум сторонам и углу между ними;
2.
По стороне треугольника и прилежащим к
ней двум углам;
3.
По трем сторонам треугольника.
Признаки подобия треугольников:
1.
По равенству двух углов;
2.
По пропорциональности двух сторон и
равным углам между ними;
3.
По пропорциональности трех сторон.
Свойства равнобедренного треугольника:
1. В равнобедренном треугольнике углы при
основании равны;
2. В равнобедренном треугольнике
биссектриса, проведенная к основанию,
является медианой и высотой.
Площадь треугольника
Синус, косинус, тангенс,
котангенс.
Задача: Площадь треугольника ABC равна 136. DE —
средняя линия. Найдите площадь треугольника CDE.
Решение:
Средняя линия треугольника отсекает от
него подобный треугольник с
коэффициентом 0,5. Площади подобных
фигур относятся как квадрат
коэффициента подобия, поэтому площадь
отсеченного треугольника вчетверо
меньше площади исходного. Таким
образом, площадь
треугольника CDE равна 34.
Задание 10 № 55353 тип B4
Ответ: 34.
Параллелограмм
- четырехугольник, в котором противоположные
стороны попарно параллельны .
Свойства параллелограмма:
1.
Противоположные стороны и противоположные
углы равны;
2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения
делятся пополам.
Признаки параллелограмма:
Если в четырехугольнике:
1. Две стороны равны и
параллельны
2. Противоположные
стороны попарно равны
3. Диагонали пересекаются и
точкой пересечения
делятся пополам
этот
четырехугольникпараллелограмм
Площадь параллелограмма
Задача: Две стороны параллелограмма относятся
как 3:17 , а периметр его равен 40. Найдите большую
сторону параллелограмма.
Решение:
Пусть одна из сторон равна 3a,
тогда другая равна 17a, поэтому
периметр параллелограмма равен
2(3a + 17a) = 40a. Периметр равен
40, откуда, a = 1, следовательно одна
сторона равна 3, а вторая — 17.
Ответ: 17.
Задание 16 № 49923 тип B4
Трапеция
- четырёхугольник, в котором две противоположные
стороны параллельны (основания трапеции), а две
другие - нет (боковые стороны трапеции).
Трапеция
● Средняя линия трапеции равна полусумме
оснований.
● Площадь трапеции:
Задача: Перпендикуляр, опущенный из вершины
тупого угла на большее основание равнобедренной
трапеции, делит его на части, имеющие длины 38 и
23. Найдите среднюю линию этой трапеции.
Решение:
Средняя линия трапеции равна
полусумме оснований:
Ответ: 38.
Задание 11 № 50527 тип B4
Ромб
- параллелограмм,
у которого все стороны равны.
Свойства ромба
● Диагонали ромба взаимно перпендикулярны
и делят его углы пополам;
● Диагонали являются биссектрисами его
внутренних углов.
Площадь ромба
S  a sin  ;
2
d1d 2
S
;
2
S  ah
Задача: Середины последовательных сторон
прямоугольника, диагональ которого равна 24,
соединены отрезками. Найдите периметр
образовавшегося четырехугольника.
Решение:
Четырехугольник EHGF - ромб, значит,
его периметр равен 4EF . Стороны
искомого четырехугольника равны
средним линиям треугольников,
образуемых диагоналями и сторонами
данного четырехугольника. Таким
образом, стороны искомого
четырехугольника равны половинам
диагоналей. Соответственно, имеем:
Задание 3 № 50277 тип B4
Ответ: 48.
Квадрат
- четырёхугольник, у которого все стороны и все
углы равны друг другу.
Задача: Найдите сторону квадрата, диагональ
которого равна 5 2.
Решение:
По теореме Пифагора
значит,
Ответ: 5.
AC 2  AB 2  BC 2  2AB 2
AC 2  AB 2  BC 2  2AB 2
Задание 4 № 49539 тип B4
Прямоугольник
- параллелограмм, у которого все углы равны 90
градусов.
Особое свойство прямоугольника:
● Диагонали прямоугольника равны.
Площадь прямоугольника
Задача: Периметр прямоугольника равен 42, а
площадь 98. Найдите большую сторону
прямоугольника.
Решение:
Площадь прямоугольника равна произведению его
длины на ширину. Периметр прямоугольника равен
сумме длин всех сторон. Пусть одна из сторон
прямоугольника равна a, вторая равна b. Площадь и
периметр прямоугольника будут соответственно
равны S = a b = 98, P = 2 a + 2 b = 42. Решая
одновременно эти два уравнения, получаем,
что a1 = 7, a2 = 14, b1 = 14, b2 = 7. Поэтому большая
сторона равна 14.
Задание 8 № 27604 тип B4
Ответ: 14.
Задача С4
Задача С4
Задача С4
● В прямоугольный треугольник АВС с прямым углом А
и катетами АВ=2; АС=6 вписан квадрат АDEF. А)
докажите, что треугольники BDE и EFC подобны; б)
найдите отношение площади треугольника EFC к
площади квадрата ADEF.
● Решение:
А) т.к. ADEF – квадрат, то угол BDE равен углу EFC
равен 90°. DE|| AC, т.к. сумма односторонних углов EDA
и FAD равна 180°.
Угол BED равен углу ECF как соответственные углы при
пересечении параллельных прямых DE и AC секущей ВС
BED~ EFC по двум углам.
Вывод:
В ходе нашего исследования мы проработали
теорию и создали памятку для учащихся. Мы
надеемся,
что
наша
работа
поможет
подготовиться к сдаче итоговых экзаменов по
математике (ЕГЭ и ОГЭ). Мы представили вам
задачи из части B, и несколько задач из части C.
Более сложные мы оставляем на дальнейшее
рассмотрение для работы на будущий год.
Источники:
● http://live.mephist.ru/show/mathege-solutions/C4/10/
● http://reshuege.ru/test?theme=170
● Л.Д. Лаппо, М.А. Попов справочное издание «ЕГЭ
математика»
● Р.К. Гордин «Решение задачи С4»
● В.А. Гусев, И.Б. Кожухов, А.А. Прокофьев
«Геометрия. Полный справочник»
● И.Ф. Шарыгин «Факультативный курс по
математике»
● Б.Г. Зив «Задачи по геометрии»
Спасибо за внимание.