Наибольшее и наименьшее значения функций. У=(х-1)2 У=-(х-2)2+1 У=√х 5 у х Критических точек нет [0;4] [-6;-2] Гильманова Л.М.МОУ СОШ 7 [1;4] Критические точки имеются Теорема Вейерштрасса: Непрерывная на отрезке функция принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения. Гильманова Л.М.МОУ СОШ 7 Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции Функция не имеет критических точек Функция имеет конечное число критических точек а а в Гильманова Л.М.МОУ СОШ 7 в Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее значение функции. Примеры. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у(х)= -х3+1,5х 2+6х+1 на отрезке [-1;1] Критические точки: у !(х)=-3х 2+3х+6; у !(х)=0; х 1=-1, х2=2 х1 1;1, х2 1;1 Находим значение функции в точках х1=-1 и х2=1. У(-1)=-(-1)3+1,5(-1)2+6(-1)+1=-2,5 У(1)=-13+1,5.12+6.1+1=7,5 Наибольшее значение функции достигается в точке 1 и равно 7,5; наименьшее – в точке –1 и равно –2.5. Коротко : max у( х )=у( 1 )=7,5 ; min у( х )=у( -1 )= -2,5 [-1;1] [-1;1] Гильманова Л.М.МОУ СОШ 7 Метод математического моделирования Формализация. Решение полученной математической задачи. Интерпретация найденного решения. Гильманова Л.М.МОУ СОШ 7 Схема поиска наибольших и наименьших значений в прикладных задачах. Выбирается удобный параметр х, через который интересующая величина выражается как функция f(x). Ищется наибольшее или наименьшее значение функции на некотором промежутке. Выясняется практический смысл полученного результата. Гильманова Л.М.МОУ СОШ 7 Пример 2. Из прямоугольного листа жести размером 5 х 8 надо изготовить открытую коробку наибольшего объема, вырезая квадратные уголки так, как показано на рисунке. Обозначим через х длину стороны вырезаемого квадрата. Тогда длины сторон уменьшатся на 2х и объем коробки будет равен: V=x(8-2x)(5-2x) =4x3-26x2+40x. При этом х принадлежит (0;2,5). Т.о. мы свели пример 2 к задаче: найти наибольшее значение функции V=x(8-2x)(5-2x) на интервале (0; 2,5) Критические точки : х1=1 и х2=10/3, х2 не принадлежит Л.М.МОУ СОШмаксимален:V 7 области определения.Гильманова При х=1 объем max=18. Подводя итоги… Сформулируйте правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функций на отрезке. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке. у=0,8х5-4х3 , [-1; 0] 0,8.5х4-12х2=0, 4х4-12х2=0, 4х2(х2-3)=0, х=0 или х= ± √ 3 ± √ 3 не принадлежит [-1; 0] . У(-1)=0,8 - 4 =-3,2 У(0) = 0, значит, max у(х)=у(0)=0, min у(х) = у(-1)=-3,2 Л.М.МОУ СОШ [-1; Гильманова 0] [-1;7 0] Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x)= х3-3х2 на отрезке [-1; 4] 1. 2. 3. 4. 5. f´(x)= (х3-3х2)´= 3х2-6х=3х(х-2). 3х(х-2)=0, х1=0, х2=2 х1 [-1; 4], х2 [-1; 4]. f(-1)=-4, f(0)= 0, f(2)=-4, f( 4)=16. Max f(x)= f( 4)=16, min f(x)= f(-1)= f(2)=-4 [-1; 4] [-1; 4] Гильманова Л.М.МОУ СОШ 7 Гильманова Л.М.