Некоторые применения метода математической индукции Подготовил: учитель математики Назарбаев Интеллектуальной школы физико–математического направления г. Актобе, Медведева Е.А.. План: Введение Применение метода математической индукции в задачах на суммирование. Доказательства тождеств Доказательство неравенств методом математической индукции Применение математической индукции к решению вопроса о делимости Применение метода математической индукции при изучении свойств числовых последовательностей Таблица часто используемых формул Заключение Введение Метод математической индукции можно сравнить с прогрессом. Мы начинаем с низшего, в результате логического мышления приходим к высшему. Человек всегда стремился к прогрессу, к умению развивать свою мысль логически, а значит, сама природа предначертала ему размышлять индуктивно. В основе всякого математического исследования лежит дедуктивный и индуктивный методы. Дедуктивный метод рассуждений от общего к частному, т.е. рассуждение, исходным моментом которого является общий результат, а заключительным моментом – частный результат. Индукция применяется при переходе от частных результатов к общим. По своему первоначальному смыслу слово «Индукция» применяется к рассуждениям, при помощи которых получает общие выводы, опираясь на ряд частных утверждений. Простейшим методом рассуждения такого рода является полная индукция. Многие интересные математические утверждения охватывают бесконечное число частных случаев, а провести проверку для бесконечного числа случаев человек не может, тут как раз таки на помощь и приходит метод математической индукции. Принцип математической индукции: Если предложение A(n), зависящее от натурального числа n, истинно для n=1 и из того, что оно истинно для n=k (где k – любое натуральное число), следует, что оно истинно и для следующего числа n=k+1, то предложение A(n) истинно для любого натурального числа n. Применение метода математической индукции в задачах на суммирование. Пример1: Доказать, что , x n 1 1 1 x x x ... x x 1 2 где 3 n x 1 Решение: x2 1 S1 1 x x 1 верна. , следовательно, при n=1 формула Пусть k – любое натуральное число и пусть формула верна при n=k, т.е. x k 1 1 Sk 1 x x ... x x 1 Докажем, что тогда 2 k Sk 1 1 x x 2 ... x k x k 1 В самом деле, Sk 1 Sk x k 1 xk 2 1 x 1 x k 1 1 k 1 x k 2 1 x x 1 x 1 Значит по принципу математической индукции формула верна для любого натурального n. Доказательства тождеств. Пример2: Доказать верность тождества 12 22 n2 n(n 1) ... 1* 3 3 * 5 (2n 1) * (2n 1) 2(2n 1) для любого натурального . Решение: 1) при n=1 тождество верно 12 1(1 1) 1 * 3 2(2 1) 2) Предположим, что при n=k 12 k2 k (k 1) ... 1* 3 (2k 1) * (2k 1) 2(2k 1) 3)Докажем, что тождество верно при n=k+1. 12 k2 (k 1) 2 k (k 1) (k 1) 2 ... 1* 3 (2k 1)( 2k 1) (2k 1)( 2k 3) 2(2k 1) (2k 1)( 2k 3) k 1 k k 1 (k 1)( k 2)( 2k 1) (k 1)( k 2) ( )*( ) 2k 1 2 2k 3 2(2k 1)( 2k 3) 2(2(k 1) 1) Из приведенного доказательства видно, что утверждение верно при любом натуральном n. Доказательство неравенств методом математической индукции Пример3: Доказать Неравенство Бернулли, что если Решение: 1) 2) n 2, x 0 то справедливо (1 x) n 1 n * x При n=2, неравенство справедливо, так как (1 x) 2 1 2 x x 2 1 2 x значит А(2) истинно. Докажем, что A(k) A(k 1) справедливо неравенство. если k 2 . Предположим, что А(к) истинно, т.е., что (1 x) k 1 k * x (1) Докажем, что тогда и А(к+1) истинно, т.е., что справедливо неравенство (1 x)k 1 1 (k 1) * x В самом деле, умножив обе части неравенства (1) на положительное число (1 x)k 1 (1 k * x)(1 x) 1 x получим Рассмотрим правую часть последнего неравенства; имеем (1 k * x)(1 x) 1 (k 1) * x k * x 2 1 (k 1) * x В итоге получаем, что (1 x)k 1 1 (k 1) * x Итак, A(k) A(k 1) На основании принципа математической индукции можно утверждать, что неравенство Бернулли справедливо для любого n 2. Применение математической индукции к решению вопроса о делимости. Условимся вместо фразы «делится нацело на» пользоваться знаком Пример4: Доказать, что (32 n 1 40n 67)64 Решение: Если n 1 , то 33 40 67, а 064 Пусть утверждение справедливо при Докажем, что тогда n k т.е. (32 k 1 40k 67)64 (32 k 3 40(k 1) 67)64 В самом деле, 32 k 3 40(k 1) 67 9 * 32 k 1 40k 27 9(32 k 1 40k 67) 320k 576 9(32 k 1 40k 67) 64(9 5k ) Но 9(32 k 1 40k 67) 64(9 5k )64 Утверждение доказано Применение метода математической индукции при изучении свойств числовых последовательностей Пример5: Доказать, что ряд Фибоначчи обладает следующим свойствам: an2 an 1 * an 1 (1) n Решение: Для n 1 утверждение справедливо. Предположим, что при n k ak2 an 1 * an 1 (1) k и докажем, что тогда ak21 ak * a 2 (1) k 1 В самом деле, ak21 ak * ak 2 ak21 ak (ak ak 1 ) ak 1 (ak 1 ak ) ak2 (ak2 ak 1 * ak 1 ) (1) k (1) k 1 Тем самым интересующее нас свойство доказано. Пример6: Доказать, что справедливо неравенство (1 a a 2 ) m 1 m * a (m * Решение: 1) При m 1 m 1 ) * a2 , a 0 2 (1 a a 2 )1 1 a (2 / 2) * a 2 обе части равны. 2) Предположим, что при m k (1 a a 2 ) k 1 k * a k (k 1) 2 *a 2 3) Докажем, что при m k 1 неравенство верно (1 a a 2 ) k 1 1 (k 1) * a (k 1)( k 2) 2 *a 2 (1 a a 2 ) k 1 (1 a a 2 )(1 a a 2 ) k (1 a a 2 )(1 k * a k (k 1) 2 *a ) 2 k (k 1) k (k 1) k 1) * a 2 ( k ) * a3 2 2 k (k 1) 4 (k 1)( k 2) 2 * a 1 (k 1) * a *a 2 2 1 (k 1) * a ( Мы доказали справедливость неравенства при m k 1 , следовательно, в силу метода математической индукции, неравенство справедливо для любого натурального m Вычислить предел: Таблица часто используемых формул: Заключение Данную научную работу можно использовать при проведении факультативов в школьном курсе математике, а также при чтении спецкурсу для студентов специальности математики.