Метод математической индукции. Вычисление конечных сумм

Занятие №4
Тема: «Метод математической индукции. Вычисление конечных сумм»
Цели:
1) Формировать представление о методе математической индукции.
2) Способствовать формированию навыков использования метода математической индукции для
вычисления конечных сумм.
Структура занятия:
1.
2.
3.
4.
5.
Оргмомент
Объяснение нового материала
Применение полученных знаний для
решения примеров
Домашнее задание
Подведение итогов
Ход занятия.
1 Оргмомент.
2 Метод математической индукции
Введем два новых понятия: дедукция и индукция.
def║Переход от общих утвер ждений к частным называется
дедукцией.
def║ Переход от частных утверждений к общим называется
индукцией.
Индукция может привести как к верным, так и к неверным выводам.
Например, число 140 делится на 5. Все числа, оканчивающиеся нулем,
делятся на 5. Это верное утверждение.
Все трехзначные числа делятся на 5 –
это неверно.
Рассмотрим еще один пример.
1
1
1
.

 ... 
1* 2 2 * 3
n(n  1)
1
2
3
Легко проверить, что S1  , S 2  , S 3  и т.д.
2
3
4
Пусть S n 
На основании полученных результатов утверждаем, что при всяком n
Sn 
n
n 1
def║
Принцип математической индукции гласит:
Утверждение справедливо для всякого натурального n,
если:
1) оно справедливо для n=1
и
2) из
справедливости
утверждения
для
какого -либо
произвольного
натурального
n=k
следует
его
справедливость для n=k+1.
Доказательство:
Предположим противное, т.е., что существует m такое, что для него не
справедливо утверждение, для всякого n меньшего m утверждение справедливо.
Преподаватель
Авдеева Е.В.
Белгородский педагогический колледж
Занятие №4
Очевидно, что m>1, т.к. n=1 утверждение справедливо. Следовательно, для
m-1 утверждение справедливо, тогда оно должно быть справедливо и для
следующего за m-1 натурального числа по условию 2), т.е. для m, а это
противоречит предположению.
Докажем, используя метод математической индукции, справедливость
формулы в примере, рассмотренном выше.
Для n=1 эта формула справедлива.
Пусть она верна для n=k, т.е. S k 
k
k 1
Найдем S k+1:
S k 1  S k 
1
k
1
k (k  2)  1
(k  1) 2
k 1
,





(k  1)(k  2) k  1 (k  1)( k  2) (k  1)( k  2) (k  1)(k  2) k  2
ч.т.д.
Метод математической индукции позволяет в поисках общего закона
испытывать возникающие при этом гипотезы, отбрасывать ложные,
утверждать истинные.
Важно, чтобы предпосылки (гипотезы) были верными.
Задачи.
№1 Выпишем в порядке возрастания нечетные положительные числа 1, 3, 5, 7
…Составить формулу выражающую нечетное число un через номер n.
Решение
u1=2·1-1
u2=2·2-1
…
т.е. un=2·n-1
Докажем это:
1) для n=1, верно
2) Пусть верно для n=k, uk=2·k-1
3) n=k+1,
uk+1=uk+2= 2·k-1+2= 2·(k+1)-1, ч.т.д.
№2
Вычислить сумму n нечетных чисел.
Решение
Sn=1+3+5+…+(2n-1)
S1=1=12
S2=1+3=4=22
…
т.е. Sn=n2
Докажем это:
4) для n=1, верно
5) Пусть верно для n=k, Sk=k2
6) n=k+1,
Sk+1=Sk+2(k+1)-1= k2+2k+2-1= k2+2k+1=(k+1)2, ч.т.д.
№3
Найти un, если известно, что u1=1 и что при всяком натуральном k>1
uk= uk-1+3
Решение
Заметим, что u1=31-2, u2=32-2 и т.д.
Преподаватель
Авдеева Е.В.
Белгородский педагогический колледж
Занятие №4
Таким образом, un=3n-2
Докажем это:
1) Для n=1, верно
2) Пусть верно для n=k, uk=3k-2
3) Для n=k+1, uk+1=uk+3= 3·k-2+3 =3·(k+1)-2, ч.т.д.
№4
Найти сумму Sn=1+2+22+23+…+2n-1
Решение
1
S1=1=2 -1
S2=1+2=3=22-1
…
т.е. Sn=2n-1
Докажем это:
1) для n=1, верно
2) Пусть верно для n=k, Sk=2k-1
3) n=k+1,
Sk+1=Sk+2k= 2k -1+2k= 2·2k –1= 2k+1 –1, ч.т.д.
№5
Доказать, что сумма n первых чисел натурального ряда равна
n(n  1)
2
Решение
=1+2+3+…+n.
1) При n=1, S1=
n(n  1)
=1- гипотеза верна.
2
2) Пусть
k (k  1)
2
(k  1)( k  2)
3) Покажем, что Sk+1=
.
2
k (k  1)
k (k  1)  2(k  1) (k  1)( k  2)

Sk+1= Sk+k+1=
+ k+1=
, ч.т.д.
2
2
2
Sk=1+2+…+k=
№6
Доказать, что
Sn =1-22+32-42+…+(-1)n-1n2= (1) n1
n(n  1)
2
Решение
1) При n=1, S1= (1) n1
n(n  1)
=1- гипотеза верна.
2
2) Пусть
k (k  1)
2
(k  1)( k  2)
3) Покажем, что Sk+1= (1) k
.
2
k (k  1)
k (k  1)  2(k  1) 2
Sk+1= Sk+(-1)k( k+1)2= (1) k 1
+(-1)k( k+1)2= (1) k 1
=
2
2
(k  1)( k  2(k  1))
(k  1)( k  2)
(k  1)( k  2)
= (1) k 1
= (1) k 1
= (1) k
, ч.т.д.
2
2
2
Sk=12-22+…+(-1) k-1k2= (1) k 1
Преподаватель
Авдеева Е.В.
Белгородский педагогический колледж
Занятие №4
№7
Доказать, что сумма квадратов n первых чисел натурального ряда равна
n(n  1)( 2n  1)
.
6
Решение
1) При n=1, S1=
n(n  1)( 2n  1)
=1- гипотеза верна.
6
2) Пусть
k (k  1)( 2k  1)
6
(k  1)( k  2)( 2(k  1)  1)
3) Покажем, что Sk+1=
.
6
k (k  1)( 2k  1)
k (k  1)( 2k  1)  6(k  1) 2
Sk+1= Sk+( k+1)2=
+( k+1)2=
=
6
6
3
(k  1)2(k  2)( k  )
(k  1)( k (2k  1)  6(k  1)) (k  1)( 2k 2  7k  6)
2 =
=
=
=
6
6
6
(k  1)( k  2)( 2k  3)
=
, ч.т.д.
6
Sk=12+22+…+k2=
№8
Доказать, что
x n1  1
Sn=1+x+x +x +…+x =
, (x1).
x 1
2
3
n
Решение
1) При n=1, S1=
x
n 1
1
=1- гипотеза верна.
x 1
2) Пусть
x k 1  1
Sk= 1+x+x +x +…+x =
,
x 1
x k 2  1
3) Покажем, что Sk+1=
x 1
x k 1  1
x k 1  1  x k 1 ( х  1) x k  2  1
Sk+1= Sk+xk+1=
+ xk+1=
=
, ч.т.д.
x 1
x 1
x 1
2
Преподаватель
Авдеева Е.В.
3
k
Белгородский педагогический колледж