   )

§7 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. МЕТОДЫ
ИНТЕГРИРОВАНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
7.1 Первообразная и неопределенный интеграл
Основная задача интегрального исчисления состоит в том, чтобы
по заданной функции f(x) найти такую функцию F(x), что
F ( x)  f ( x).
.
Функция F(x)
называется первообразной для функции f(x) на
интервале (a, b), если F(x) дифференцируема на (a, b) и F ( x)  f ( x)
для х(a, b).
Пример: Функция F(x)=x3+7 является первообразной для функции
f(x)=3х2, т.к. x3  7  3x 2 .
Теорема 1: Пусть F(x) – первообразная для функции у = f(x) на
(a, b), тогда у = F(x)+с, где с – const, есть общий вид первообразной
для функции у = f(x) на (a, b).
Совокупность всех первообразных для
функции f(x) на (a, b)
называется неопределенным интегралом от f(x) и обозначается
 f ( x)dx.
В силу теоремы 1
 f ( x)dx  F ( x)  c.
Неопределенным интегралом от функции f(x) на (a, b) называется
такая функция F(x)+с, где с – const, дифференциал которой равен
подынтегральной
первообразных
функции.
или
Операция
неопределенного
нахождения
интеграла
операцией интегрирования данной функции.
Пример: В силу предыдущего примера
2
3
3
x
dx

x
 c.

всех
называется
Свойства неопределенного интеграла:
1. d  f ( x)dx  f ( x)dx;
2.
 dF ( x)  F ( x)  c;
3.
 f ( x)  g ( x)dx    f ( x)dx   g ( x)dx  c,
4. Если F(x) – первообразная для f (x), то

F (ax  b)
f (ax  b)dx 
 c.
a
, R.
Основные неопределенные интегралы:
1.
 0  du  c,
7.
 sin u du   cos u  c,
2.
 1 du  u  c,
8.
 cos u du  sin u  c,
9.
du
 cos 2 u  tgu  c,
u n 1
 c,
3.  u dx 
n 1
n
du
4. 
 ln u  c,
u
du
10.  2  ctg u  c,
sin u
u
a
u
a
 c,
5.  du 
11.  tgu du   ln cos u  c, u   / 2  n, n  Z,
ln a
6.
u
u
e
du

e
 c,

12.  ctgu du  ln sin u  c, u  n, n  Z.
13.
14.
15.


u
u
 arcsin    c   arccos   c, u  a , a  0.
a
a
a2  u 2
du
du
1 u2
 arcsin u  c   arccos u  c, u  1.
du
1
1
u
u
 u 2  a 2  a  arctg  a   ñ   a  arcctg  a   c,
du
 arctg u  c  arcctg u  c,
16. 
2
1 u
17.
18.
du
1
ua
 u 2  a 2  2a  ln u  a  c, a  0.

du
u2  a2
 ln u  u 2  a 2  c, a  0, u  a ïðè "".
Пример:
1
n 1





u
12 4 

n
2
2
  9 x  x  x 2 dx    9 x  12 x  4 x dx   u du  n  1  c 
1
4
9
x
2
x2
 c  x 2  24 x   c.
 9   12 x 2   4 
 1
x
2
1
2
1
du


sin
u
du


cos
u

c
,

tg
u

c
,
 cos 2 u


1 

3 x

  sin 7 x  e  cos 2 4 x dx   u
F (ax  b)
u

e
du

e

c
,
f
(
ax

b
)
dx


c
.

 

a
cos 7 x e 3 x tg 4 x



 c.
7
(3)
4
7.2 Нахождение неопределенного интеграла методом
подстановки

где
 t  ( x) 
f (( x))( x)dx  
  f (t )dt

dt  ( x)dx 
f(t)–непрерывная
функция,
а
t=(x)
t ( x )
–
 ñ,
(1)
непрерывно
дифференцируемая функция, причем область значений функции
t=(x) принадлежит области определения функции f(t).
Для вычисления интеграла  f (( x))( x)dx нужно «подвести»
(x)под
знак дифференциала, получив при этом d(x), и
осуществить
подстановку
(x)=t.
Затем
нужно
вычислить
интеграл  f (t )dt
и в окончательном результате вернуться к
исходной переменной х по формуле t=(x).
Пример:
(sin x)  cos x,

cos x
d (sin x)
dx


 sin 3 x (sin x)dx  cos xdx  d (sin x)  sin 3 x

dt
t 2
sin x 
1
3
  3   t dt 
c 
c  
 c.
2
t
2
2
2 sin x
2
t  sin x,




dt  d (sin x)
Поменяв в формуле (1) переменную интегрирования x на t, а t на
x, получим

 x  (t ) 
f ( x)dx  
  f ((t ))(t )dt

dx  (t )dt 
t   1 ( x )
 ñ,
(2)
где (t)–непрерывно дифференцируемая функция, такая, что
существует обратная функция t = –1(x).
Для вычисления интеграла  f ( х)dх нужно ввести замену х = (t),
dx  (t )dt , вычислить интеграл
 f ((t ))(t )dt и в окончательном
результате вернуться к исходной переменной х по формуле
t = –1(x).
Пример:
2

t

x
,
x

t
, 
dx
2tdt
2tdt
 x  x  dx  t 2  dt  2tdt    t 2  t   t (t  1) 


 
2dt

2 ln t  1  c  2 ln
t 1
x  1  c.
7.3 Интегрирование по частям
Пусть u=u(x) и v=v(x)–непрерывно дифференцируемые на некотором
интервале функции.
(uv)  uv  uv,
тогда по определению неопределенного интеграла следует, что
 (uv  uv)dx  uv  c   uvdx  uv   uvdx
или
 udv  uv   vdu.
Формулой
(3)
целесообразно
пользоваться
(3)
тогда,
когда
подынтегральное выражение можно разбить на два множителя u и
dv так, чтобы интегрирование выражений dv
и vdu являлось
задачей более простой, чем интегрирование исходного выражения
udv.
Пример:
 udv  uv   vdu.
1



u  ln x, du  (ln x) dx  x  dx 
x2
x2 1
    dx 
2   ln x 
 x ln xdx  
2
2 x
dv  xdx, v  dv  xdx  x 
 
2

x2
x
x2 1
x2 1 x2
 ln x     dx  ln x    xdx  ln x     c 
2
2
2 2
2 2 2
x2 x2
 ln x    c.
2
4