§7 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 7.1 Первообразная и неопределенный интеграл Основная задача интегрального исчисления состоит в том, чтобы по заданной функции f(x) найти такую функцию F(x), что F ( x) f ( x). . Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a, b), если F(x) дифференцируема на (a, b) и F ( x) f ( x) для х(a, b). Пример: Функция F(x)=x3+7 является первообразной для функции f(x)=3х2, т.к. x3 7 3x 2 . Теорема 1: Пусть F(x) – первообразная для функции у = f(x) на (a, b), тогда у = F(x)+с, где с – const, есть общий вид первообразной для функции у = f(x) на (a, b). Совокупность всех первообразных для функции f(x) на (a, b) называется неопределенным интегралом от f(x) и обозначается f ( x)dx. В силу теоремы 1 f ( x)dx F ( x) c. Неопределенным интегралом от функции f(x) на (a, b) называется такая функция F(x)+с, где с – const, дифференциал которой равен подынтегральной первообразных функции. или Операция неопределенного нахождения интеграла операцией интегрирования данной функции. Пример: В силу предыдущего примера 2 3 3 x dx x c. всех называется Свойства неопределенного интеграла: 1. d f ( x)dx f ( x)dx; 2. dF ( x) F ( x) c; 3. f ( x) g ( x)dx f ( x)dx g ( x)dx c, 4. Если F(x) – первообразная для f (x), то F (ax b) f (ax b)dx c. a , R. Основные неопределенные интегралы: 1. 0 du c, 7. sin u du cos u c, 2. 1 du u c, 8. cos u du sin u c, 9. du cos 2 u tgu c, u n 1 c, 3. u dx n 1 n du 4. ln u c, u du 10. 2 ctg u c, sin u u a u a c, 5. du 11. ln a 6. u u e du e c, 12. tgu du ln cos u c, ctgu du ln sin u c. 13. 14. 15. u u arcsin c arccos c, 2 2 a a a u du du 1 u 2 arcsin u c arccos u c, du 1 1 u u u 2 a 2 a arctg a ñ a arcctg a c, du arctg u c arcctg u c, 16. 2 1 u du 1 ua u 2 a 2 2a ln u a c, 17. 18. du u2 a2 ln u u 2 a 2 c. Пример: 1 n 1 u 12 4 n 2 2 9 x x x 2 dx 9 x 12 x 4 x dx u du n 1 c 1 4 9 x 2 x2 c x 2 24 x c. 9 12 x 2 4 1 x 2 1 2 1 du sin u du cos u c , tg u c , cos 2 u 1 3 x sin 7 x e cos 2 4 x dx u F (ax b) u e du e c , f ( ax b ) dx c . a cos 7 x e 3 x tg 4 x c. 7 (3) 4 7.2 Нахождение неопределенного интеграла методом подстановки t ( x) f (( x))( x)dx f (t )dt dt ( x)dx Для вычисления интеграла (x)под t ( x ) ñ, (1) f (( x))( x)dx нужно «подвести» знак дифференциала, получив при этом d(x), и осуществить подстановку (x)=t. Затем нужно вычислить интеграл f (t )dt и в окончательном результате вернуться к исходной переменной х по формуле t=(x). Пример: (sin x) cos x, cos x d (sin x) dx sin 3 x (sin x)dx cos xdx d (sin x) sin 3 x dt t 2 sin x 1 3 3 t dt c c c. 2 t 2 2 2 sin x 2 t sin x, dt d (sin x) Поменяв в формуле (1) переменную интегрирования x на t, а t на x, получим x (t ) f ( x)dx f ((t ))(t )dt dx (t )dt t 1 ( x ) ñ, (2) где (t)–непрерывно дифференцируемая функция, такая, что существует обратная функция t = –1(x). Для вычисления интеграла f ( х)dх нужно ввести замену х = (t), dx (t )dt , вычислить интеграл f ((t ))(t )dt и в окончательном результате вернуться к исходной переменной х по формуле t = –1(x). Пример: 2 t x , x t , dx 2tdt 2tdt x x dx t 2 dt 2tdt t 2 t t (t 1) 2dt 2 ln t 1 c 2 ln t 1 x 1 c. 7.3 Интегрирование по частям Пусть u=u(x) и v=v(x)–непрерывно дифференцируемые на некотором интервале функции. тогда Формулой udv uv v du . (3) целесообразно пользоваться (3) тогда, когда подынтегральное выражение можно разбить на два множителя u и dv так, чтобы интегрирование выражений dv и vdu являлось задачей более простой, чем интегрирование исходного выражения udv. Пример: udv uv vdu. 1 u ln x, du (ln x) dx x dx x2 x2 1 dx 2 ln x x ln xdx 2 2 x dv xdx, v dv xdx x 2 x2 x x2 1 x2 1 x2 ln x dx ln x xdx ln x c 2 2 2 2 2 2 2 x2 x2 ln x c. 2 4