Тема 7. Показатели вариации признака Вопросы: 1. Понятие вариации признака. Система показателей вариации и порядок их расчета. 2. Дисперсия и ее математические свойства. 3. Дисперсия альтернативного признака 4. Виды дисперсий. Правило сложения дисперсий и его использование в анализе связи. Вариация – это количественные различия уровней признака у отдельных единиц совокупности. Абсолютные показатели вариации: № Показатель 1 Размах вариации 2 Среднее линейное отклонение 3 Формула расчета Простая Взвешенная Среднее квадратическое отклонение R X max X min Xi X l n 2 4 Дисперсия 2 ( X X ) i n 2 ( X X ) i n Xi X f l f 2 ( X X ) f i f 2 ( X X ) f i 2 f Относительные показатели вариации: № Показатель Формула расчета R 100 X 1 Коэффициент осцилляции kR 2 Относительное линейное отклонение l kl 100 X 3 Коэффициент вариации V 100 X Расчет показателей вариации в интервальном ряду распределения Группы заводов Число Середина по уровню производитель- заводов интервала ности труда, Xf (f) (X) млн. р. на чел. 3 До - 5 1 4 4 5 - 7 5 6 30 7 - 11 10 9 90 11 и -более 15 4 13 52 Итого 20 x 176 X i fi X fi 176 8,8 млн.р. 20 Расчет показателей вариации в интервальном ряду распределения Группы заводов Число по уровню работ- Середина производитель- ников интервала ности труда, Xf (f) (X) млн. р. на чел. 3 До - 5 1 4 4 5 - 7 5 6 30 7 - 11 10 9 90 11 и -более 15 4 13 52 Итого 20 x 176 1 ) R X max X min 15 3 12 млн.р. Расчет показателей вариации в интервальном ряду распределения Группы заводов Число по уровню работ- Середина производитель- ников интервала ности труда, (f) (X) млн. р. на чел. Xf XX XX f 3 До - 5 1 4 4 4,8 4,8 5 - 7 5 6 30 2,8 14,0 7 - 11 10 9 90 0,2 2,0 11 и -более 15 4 13 52 4,2 16,8 Итого 20 x 176 х 37,6 X 8,8 млн.р. 2) Xi X l f f 37 ,6 1,88 млн.р. 20 Расчет показателей вариации в интервальном ряду распределения Группы заводов Число по уровню работ- Середина производитель- ников интервала ности труда, (f) (X) млн. р. на чел. Xf X X X X f ( X X )2 f 3 До - 5 1 4 4 4,8 4,8 23,0 5 - 7 5 6 30 2,8 14,0 39,2 7 - 11 10 9 90 0,2 2,0 0,4 11 и -более 15 4 13 52 4,2 16,8 70,6 Итого 20 x 176 х 37,6 133,2 X 8,8 млн.р. 3) 4 ) 2 6 ,7 2 ( X X ) f i f 133,2 6,7 2,6 млн.р. 20 Математические свойства дисперсии 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю 2. Если все значения признака уменьшить (увеличить) на постоянную величину А , то значение дисперсии не изменится 3. Если все значения признака уменьшить (увеличить) в k раз, то дисперсия уменьшится (увеличится) в k 2 раз, а среднее квадратическое отклонение в k раз. 4. Средний квадрат отклонения от любой величины А будет всегда больше среднего квадрата отклонения от средней арифметической на квадрат разности между средней арифметической и постоянной величиной А 2 А 2 х ( х А) 2 2 А 2 х 2 ( х A ) i n 2 2 А ( х А) если А 0 2 х 2 ( х )2 х2 х2 хi2 n хi2 * f f Дисперсия альтернативного признака Наличие признака 1 Отсутствие признака 0 Доля единиц обладающих интересующим нас признаком р Доля единиц не обладающих интересующим нас признаком q p+q=1 p* q p* ( 1 p ) 2 Общая дисперсия n 2 ( общ ) (x i 1 i x) n n - число единиц в совокупности 2 Межгрупповая дисперсия k 2 x/ у (х i 1 i x) fi k f i 1 где 2 i хi - групповая средняя; f i - число единиц в группе; k - число групп. Внутригрупповая дисперсия n 2 i (x i i 1 xi ) 2 fi Средняя из внутригрупповых дисперсий k 2 i i 1 k i 1 2 i fi fi Правило сложения дисперсий: 2 ( общ ) 2 х / у ( межгр ) 2 i Эмпирический коэффициент детерминации: 2 2 x/ y 2 Эмпирическое корреляционное отношение: k x2/ y 2 2 ( x x ) i i 1 n 2 ( x x ) i i 1