ЛЕКЦИЯ 8 «АНАЛИЗ ВАРИАЦИИ» 8.1 Теоретические сведения

ЛЕКЦИЯ 8
«АНАЛИЗ ВАРИАЦИИ»
8.1 Теоретические сведения
Информация о средних уровнях исследуемых показателей обычно
бывает недостаточной для глубокого анализа изучаемого процесса или явления.
Необходимо учитывать и разброс или вариацию значений отдельных единиц,
которая является важной характеристикой изучаемой совокупности.
Вариация, т.е несовпадение уровней одного и того же показателя у
разных объектов, имеет объективный характер и помогает определить сущность
изучаемого явления.
В наибольшей степени вариации подвержены курсы акций, объемы
спроса и предложения, процентные ставки в разные периоды и в разных местах.
Основными показателями, характеризующими вариацию, являются размах,
дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.
Простейшим показателем является размах вариации. Он представляет
собой разность максимального и минимального значений признака, формула
(8.1):
R  X max  X min
(8.1)
Размах вариации показывает лишь крайние значения признака.
Повторяемость промежуточных значений здесь не учитывается. Размах выборки
дает лишь самое общее представление о размерах вариации, так как показывает
насколько располагаются друг от друга крайние значения, но не указывают
насколько велики отклонения вариант друг от друга внутри этого промежутка.
Более точным будет такой показатель, который учитывает отклонение каждой из
вариант от средней величины.
Для измерения вариации чаще всего применяют показатель дисперсии.
Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных
значений признака от их средней величины. Вычисляется по формулам простой
невзвешенной (8.2) и взвешенной (8.3).
 2
(
x

x)

i
2 
n
2 
 2
 (x i  x)  f i
 fi
(8.2)
(8.3)
Наиболее удобным и широко распространенным на практике
показателем является среднее квадратическое отклонение. Оно определяется
как квадратный корень из дисперсии и имеет ту же размеренность, что и
изучаемый признак. Вычисляется по формулам невзвешенной (8.4) и
взвешенной (8.5).



2
 (x i  x)
n

2
 (x i  x)  f i
 fi
(8.4)
(8.5)
Среднее квадратическое отклонение показывает, на сколько в среднем
колеблется величина признака y единиц исследуемой совокупности. Показывает,
как расположена основная масса единиц совокупности относительно средней
арифметической. В соответствии с теоремой П.Л. Чебышева, 75% значений


признака попадают в интервал x  2 , 89% – в интервал x  3
Рассмотренные показатели позволяют получить абсолютное значение
вариации, т.е. оценивают ее в единицах измерения исследуемого признака. В
отличие от них, коэффициент вариации измеряет колеблемость в относительном
выражении, относительно среднего уровня, формула (8.6).
V

 100%

x
(8.6)
Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не
превышает 33%.
Показатели вариации могут быть использованы не только в анализе
колеблемости или изменчивости изучаемого признака, но и для оценки степени
воздействия одного признака на вариацию другого признака, т.е. в анализе
взаимосвязей между показателями. При проведении такого анализа исходная
совокупность должна представлять собой множество единиц, каждая из которых
характеризуется двумя признаками – факторным и результативным.
Для выявления взаимосвязи исходная совокупность делится на две или
более групп по факторному признаку. Выводы о степени взаимосвязи
базируются на анализе вариации результативного признака. При этом
применяется правило сложения дисперсий, формула (8.7):
2
 02     2 ,
(8.7)
где  02 – общая дисперсия,
2
 – средняя из внутригрупповых дисперсий,
 2 – межгрупповая дисперсия.
Межгрупповая дисперсия отражает ту часть вариации результативного
признака, которая обусловлена воздействием признака факторного. Это
воздействие проявляется в отклонении групповых средних от общей средней,
формула (8.8):
2 
2
 (x  x ) n i
i
0
 ni
,
(8.8)
где x i – среднее значение результативного признака по i-ой группе;
x – общая средняя по совокупности в целом;
0
n i – объем (численность) i-ой группы.
Если факторный признак, по которому производилась группировка, не
оказывает никакого влияния не признак результативный, то групповые средние
будут равны между собой и совпадут с общей средней. В этом случае
межгрупповая дисперсия будет равна нулю.
Средняя из внутригрупповых дисперсий отражает ту часть вариации
результативного признака, которая обусловлена действием всех прочих
неучтенных факторов, кроме фактора, по которому осуществлялась
группировка, формула (8.9):
 i n i
2
2
 
 ni
(8.9)
2
где  – дисперсия результативного признака в i-й группе.
Теснота связи между факторным и результативным признаком
оценивается на основе эмпирического корреляционного отношения, формула
(8.10):
э 
2
 02
(8.10)
Данный показатель может принимать значения от 0 до 1. Чем ближе к 1
будет его величина, тем сильнее взаимосвязь между рассматриваемыми
признаками.