СТАТИСТИКА Громова Т.В. ст. преподаватель Кафедра менеджмента ИСГТ 176 - НТБ Тема: Показатели вариации и анализ частотных распределений Вариация признака в совокупности • Величины признаков колеблются, варьируют под действием различных причин и условий, которые называют факторами. • Вариация, порождаемая существенными факторами, носит систематический характер, т.е. наблюдается последовательное изменение вариантов признака в определенном направлении. Такая вариация называется систематической. 2 Тема: Показатели вариации и анализ частотных распределений Определение вариации • Вариацией называется колеблемость, многообразие, изменяемость величины признака у единиц совокупности. 3 Тема: Показатели вариации и анализ частотных распределений • Под вариацией в пространстве понимается колеблемость значений признака по отдельным территориям. • Вариация во времени – изменение значений признака в различные периоды (или моменты) времени. 4 Тема: Показатели вариации и анализ частотных распределений Все показатели в зависимости от характеризуемых ими особенностей можно разделить на 3 группы 1. Показатели центра распределения средняя арифметическая мода медиана 2. Показатели типа (формы) распределения квартили децили показатели асимметрии и эксцесса кривые распределения 5 Тема: Показатели вариации и анализ частотных распределений 3. Показатели степени вариации Абсолютные показатели размах вариации среднее линейное отклонение дисперсия средне квадратическое отклонение Относительные показатели коэффициент осцилляции линейный коэффициент вариации коэффициент вариации 6 Тема: Показатели вариации и анализ частотных распределений Модой распределения – величина изучаемого признака, которая наиболее часто встречается в данной совокупности. Для упорядоченного дискретного ряда распределения модой будет варианта, имеющая наибольшую частоту. 7 Тема: Показатели вариации и анализ частотных распределений f Mo f Mo1 M O xMo hMo f Mo f Mo1 f Mo f Mo1 f Mo - частота модального интервала; f Mo1 - частота предмодального интервала; f Mo1 - частота послемодального интервала; xMo - нижняя граница модального интервала; hMo - величина модального интервала. 8 Тема: Показатели вариации и анализ частотных распределений Медиана – величина изучаемого признака, которая располагаются в середине упорядоченного вариационного ряда. Me xMe 1 f 2 i S Me1 f Me hMe f Me - частота медианного интервала; S Me1 - сумма накопленных частот предшествующая медианному интервалу; xMe - нижняя граница медианного интервала; hMe - величина медианного интервала. 9 Тема: Показатели вариации и анализ частотных распределений Квартили делят ранжированную совокупность на 4 равные части. Различают квартиль нижний (Q1), отделяющий 1/4 часть совокупности с наименьшими значениями признака. квартиль верхний (Q3) отсекающий 1/4 часть совокупности с наибольшими значениями признака. 10 Тема: Показатели вариации и анализ частотных распределений Нижний квартиль Q1 xQ1 1 f 4 i SQ1 1 f Q1 hQ1 f Q1 - частота интервала содержащего нижний квартиль; SQ1 1 - сумма накопленных частот предшествующих интервалу содержащему нижний квартиль; xQ1 - нижняя граница интервала содержащего нижний квартиль; hQ - величина интервала содержащего нижний квартиль. 1 11 Тема: Показатели вариации и анализ частотных распределений Q3 xQ3 f Q3 3 f 4 i S Q3 1 f Q3 hQ3 - частота интервала содержащего верхний квартиль; SQ3 1 - сумма накопленных частот предшествующих интервалу содержащему верхний квартиль; xQ3 - нижняя граница интервала содержащего нижний квартиль; hQ3 - величина интервала содержащего верхний квартиль. 12 Тема: Показатели вариации и анализ частотных распределений • Децили делят ранжированную совокупность на десять равных частей. • В ряду распределения выделяют девять децилей. • Первый дециль 1 f S i D1 1 10 D1 xD1 hD1 f D1 f D1 - частота интервала содержащего первый дециль; S D1 1- сумма накопленных частот предшествующих интервалу содержащему первый дециль; x D1- нижняя граница интервала содержащего первый дециль; 13 Тема: Показатели вариации и анализ частотных распределений Моменты распределения • Способ моментов разработал П. Л. Чебышев • Применил А.А. Марков для рассмотрения возможностей использования закона нормального распределения при изучении сумм большого, но конечного числа независимых случайных величин. 14 Тема: Показатели вариации и анализ частотных распределений Кривые распределения. Показатели асимметрии и эксцесса • Кривая распределения выражает графически закономерность распределения единиц совокупности по величине варьирующего признака. 15 Тема: Показатели вариации и анализ частотных распределений КРИВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭМПИРИЧЕСКАЯ КРИВАЯ фактическая кривая распределения, полученная по данным наблюдения, в которой отражаются как общие, так и случайные условия, определяющие распределения. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ КРИВАЯ кривая, выражающая функциональную связь между изменением варьирующего признака и изменением частот и характеризующая определенный тип распределения. 16 Тема: Показатели вариации и анализ частотных распределений СИММЕТРИЧНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Мо=Ме=Х 17 Тема: Показатели вариации и анализ частотных распределений Коэффициент асимметрии 3 As 3 As 6(n 1) (n 1) (n 3) 18 Тема: Показатели вариации и анализ частотных распределений Асимметрия положительная As>0 Мо<Ме<Х 19 Тема: Показатели вариации и анализ частотных распределений Асимметрия отрицательная As<0 Мо>Ме>Х 20 Тема: Показатели вариации и анализ частотных распределений Эксцесс 4 Ek 4 3 Ek 24n (n 2) (n 3) 2 (n 1) (n 3) (n 5) 21 Тема: Показатели вариации и анализ частотных распределений 22 Тема: Показатели вариации и анализ частотных распределений Абсолютные показатели вариации Размах вариации - разность между экстремальными значениями признака в совокупности; это разность между наименьшей и наибольшей вариантой. Имеет единицу измерения, совпадающую с единицей измерения признака у единиц совокупности R xmax xmin 23 Тема: Показатели вариации и анализ частотных распределений Среднее линейное отклонение - представляет собой среднюю из абсолютных значений отклонений вариант от их средней. Для несгруппированных данных x x d i n Для сгруппированных данных x x f d f i i i 24 Дисперсия – это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от средней величины. 2 x x 2 2 2 x x f f i i n для несгруппированных для сгруппированных данных данных Среднее квадратическое отклонение – показатель степени однородности изучаемой совокупности. x x n для несгруппированных данных x x f f 2 2 i i для сгруппированных данных 25 Тема: Показатели вариации и анализ частотных распределений Относительные показатели вариации • 1. Относительный размах вариации R VR 100% (коэффициент осцилляции). x • 2. Относительное линейное отклонение (линейный коэффициент вариации). d Vd 100% x • 3. Коэффициент вариации. V x 100% 26 Тема: Показатели вариации и анализ частотных распределений Дисперсия альтернативного признака • Признаки, которыми обладают одни единицы совокупности и не обладают другие, называются альтернативными. Количественно вариация альтернативного признака проявляется в значении 0 (p) у единиц, которые им не обладают, или в значении 1 (q) у единиц, которые им обладают 27 Тема: Показатели вариации и анализ частотных распределений Среднее значение альтернативного признака x f x f p 1 q 0 p pq 28 Тема: Показатели вариации и анализ частотных распределений Среднее квадратическое отклонение альтернативного признака p pq Коэффициент вариации альтернативного признака p pq q Vp xp p p 30 Тема: Показатели вариации и анализ частотных распределений Дисперсия альтернативного признака x x f 0 p q 1 p p f pq 2 2 2 p p q q p p q pq pq 2 2 Максимальное значение дисперсии альтернативного признака 0,25 26 Тема: Показатели вариации и анализ частотных распределений Энтропия распределения • Мера неопределенности данных наблюдения, которая может иметь различные результаты. • Энтропия зависит от числа градаций признака и от вероятности каждой из них. • Энтропия показывает, имеется ли закономерность в концентрации отдельных градаций у наименьшего числа позиций или, напротив, заполненность распределения одинаковая. 31 Тема: Показатели вариации и анализ частотных распределений Показатель энтропии Нх H x log 2 pi • Если все варианты равновероятны, то энтропия максимальна. • Если все варианты, за исключением одного, равны 0, то энтропия равна 0. 32 Тема: Показатели вариации и анализ частотных распределений Виды дисперсий в совокупности разделенной на группы • 1. Общая дисперсия. измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию. • Общая дисперсия отражает вариацию признака за счет всех условий и причин, действующих в совокупности. x x f f 2 2 i i i 33 Тема: Показатели вариации и анализ частотных распределений • 2. Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине изучаемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. x x f f 2 2 i i i 34 Тема: Показатели вариации и анализ частотных распределений • 3. Внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, возникающую под влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. x x f 2 2 i i 35 Тема: Показатели вариации и анализ частотных распределений • Средняя из внутригрупповых дисперсий – это средняя арифметическая, взвешенная из дисперсий групповых 2 f f 2 i i i 36 Тема: Показатели вариации и анализ частотных распределений Правило сложения дисперсий • Общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсий. • С его помощью, зная два вида дисперсий, можно определить третий. 2 2 2 • Позволяет выявить зависимость результата от определяющих факторов с помощью соотношения межгрупповой дисперсии и общей дисперсии. 37 Тема: Показатели вариации и анализ частотных распределений Эмпирический коэффициент детерминации 2 2 2 • Эмпирический коэффициент детерминации показывает долю общей вариации изучаемого признака, обусловленную вариацией группировочного признака 38 Тема: Показатели вариации и анализ частотных распределений Эмпирическое корреляционное отношение 2 2 • Эмпирическое корреляционное отношение характеризует влияние группировочного признака на вариацию результативного признака. • Если η=0, то группировочный признак не оказывает влияние на результативный признак • Если η=1, то результативный признак, изменяется только в зависимости от группировочного признака, а влияние прочих факторных признаков равно 0. 39