03.Вероятности случайных событий

Вероятности случайных
событий
Теория вероятностей
математическая наука, изучающая
закономерности случайных явлений
Принцип сложения
• Принцип сложения 1: Если объект a можно получить
n способами, объект b можно получить m
способами и эти способы различны, то объект «a или
b» можно получить n+m.
• Принцип сложения 2: Если объект a можно получить
n способами, объект b можно получить m
способами, то объект «a или b» можно получить
n+m-k способами, где k – это количество
повторяющихся способов.
Перестановки
• Число всех перестановок обозначается Pn
• Итак, Pn  n!
Пример
В команде 6 человек. Сколькими способами они
могут построиться для приветствия?
Решение
Число способов построения равно числу
перестановок 6 элементов, т.е.
P6  6! 1 2  3  4  5  6  720
Размещения
• Определение 1
Размещением из n элементов по k называется
всякая перестановка из k элементов, выбранных
каким-либо способом из данных n.
Пример
Дано множество A  a; b; c . Составим все 2размещения этого множества.
a; b; b; a; a; c; c; a; b; c; c; b
Число размещений
•
Теорема 1 Число всех размещений из n элементов по
k вычисляется по формуле
Ank  n(n  1)( n  2)...( n  k  1).
•
Доказательство. Каждое размещение можно
получить с помощью k действий:
• 1) выбор первого элемента n способами;
• 2) выбор второго элемента (n-1) способами;
• и т. д.
• k) выбор k –го элемента (n-(k-1))=(n-k+1) способами.
По правилу умножения число всех размещений будет
n(n-1)(n-2)…(n-k+1). Теорема доказана.
Число размещений
• Замечание. Формулу для числа размещений
можно записать в виде
Ank 
n!
.
(n  k )!
• Действительно
Ank 
n!
(n  k )!(n  k  1)  ...  (n  1)n

 (n  k  1)  ...  (n  1)n.
(n  k )!
(n  k )!
Сочетания
• Определение 1
• Сочетанием из n элементов по k называется
всякая совокупность попарно различных k
элементов, выбранных каким-либо способом из
данных n элементов.
• Другими словами k-сочетание – это kэлементное подмножество n элементного
множества.
A  a; b; c
• Пример. Дано множество
.
{a; b};{a; c};{b; c}
Составим 2- сочетания:
Сочетания
•
•
Теорема 1
Число k- сочетаний n-элементного множества
вычисляется по формуле
C nk 
•
n!
k!(n  k )!
Доказательство. Из каждого k-сочетания,
переставляя его элементы всевозможными
способами, получим k! размещений. Значит,
k!Cnk  Ank
•
Отсюда
k
A
n!
k
n
Cn 

k! k!(n  k )!
Свойства сочетаний
1)
Сn0  Cnn  1
Доказательство:
Сn0 
n!
n!
 1
0!(n  0)! n!
Сnn 
n!
n!
 1
n!(n  n)! n!
Cn1  Cnn 1  n
2)
Доказательство:
n!
(n  1)! n
С 

n
1!(n  1)! (n  1)!
1
n
Сnn 1 
n!
n!
(n  1)! n


 n.
(n  1)!(n  (n  1))! (n  1)!1! (n  1)!
Свойства сочетаний
3) С nk  C nn  k
Доказательство:
Сnk 
n!
k!(n  k )!
Сnn k 
n!
n!

(n  k )!(n  (n  k ))! (n  k )! k!
 Cnk  Cnn  k
4) C nk11  C nk 1  C nk
Доказательство:
Сnk11 
(n  1)!
(n  1)!

(k  1)!(n  1  (k  1))! (k  1)!(n  k )!
Сnk 1  Cnk 
n!
n!
n!(n  k )  n!(k  1)
n!(n  1)
(n  1)!




(k  1)!(n  k  1)! k!(n  k )!
(k  1)!(n  k )!
(k  1)!(n  k )! (k  1)!(n  k )!
Бином Ньютона
n
( а  b)   C a
n
k 0
k
n
nk
b
k
Классическое определение
вероятности
• Определение: Вероятностью события А
называется отношение числа
благоприятных этому событию случаев
к общему числу всех случаев
m
P( A) 
n
Свойства вероятности
1.
P ( A) 
m n
 1
n n
2.
0
P ( A)   0
n
3.
0≤P(A)≤1
- вероятность достоверного события;
- вероятность невозможного события;
- вероятность любого события.
Относительная частота
• Определение: Относительной частотой
называется отношение числа испытаний, в
которых событие появилось к общему числу
фактически произведенных испытаний
m
P
(
A
)

•
- относительная частота события А
n
или статистическая вероятность, m- число
появлений события,n – общее число
испытаний.
• Отличие вероятности от относительной
частоты: вероятность вычисляют до опыта, а
относительную частоту – после опыта.

• Опр. Событие называется случайным
по отношению к данному испытанию
(опыту), если при осуществлении этого
испытания (опыта) оно может наступить
или не наступить.
• Событие обозначается:
A, B, C ,....
Определения.
1.Событие , которое в результате
опыта обязательно произойдет
называется достоверным.
2.Событие, которое в результате
опыта никогда не наступит называется
невозможным.
3. Если одновременно одно
событие влечет за собой другое и
наоборот, такие события называются
равносильными.
4. События называются несовместными,
если наступление одного из них исключает
наступление любого другого.
5. События называются
равновозможными, если в результате
испытания по условиям симметрии ни одно
из этих событий не является объективно
более возможным.
6. События называются
единственно возможными, если появление в
результате испытания одного и только
одного из них является практически
достоверным событием.
7. Несколько событий образуют
полную группу, если они являются
единственно возможными и
несовместными исходами испытания.
Это означает, что в результате
испытания обязательно должно
произойти одно и только одно из этих
событий.
A B
A
B
• Опр. Произведением событий A и B
называется событие AB , состоящее в
одновременном появлении этих
событий.

A
B
AB
• Опр. Событие А называется
противоположным событию A , если
оно считается наступившим тогда и
только тогда, когда A не наступает.
А
A
Опр. Разностью A  B двух событий
A и B называется событие, которое
состоится, если событие A произойдет, а
событие B не произойдет.
A B
A
B
Правило сложения
вероятностей.
Если события несовместны, то
вероятность их суммы равна
сумме
вероятностей этих событий:
P A  B   P A  PB 
P A  B  P A  PB  P(AB)
• Опр. Условной вероятностью PB  A 
события A относительно события B
называется вероятность осуществления
события A при условии, что событие B
уже произошло.
P AB 
PB  A 
PB 
P AB   PB   PB  A
• Опр. События называются
независимыми, если наступление одного
не меняет шансов появления другого .
Если события
A
и
B
независимы, то
P AB   P A  PB 
ЗАМЕЧАНИЯ.
• Для совместных событий:
P( А  В)  P( А)  P( В)  P( АВ);
• Для несовместных событий:
P( А  В)  P( А)  P( В);
• Для независимых событий:
P( AB)  P( A)  P( B);
• Для зависимых событий:
P AB   P A  PA B 
• Предположим, что событие A может наступить
только вместе с одним из нескольких попарно
несовместных событий
Н1 ,..., Н n
тогда имеет место формула
n
P( А)   P( H i )  PH ( A)
i 1
i
• Эта формула решает следующую
задачу: пусть произведен опыт, и в
результате него наступило событие A.
Сам по себе этот факт ещё не позволяет
сказать, какое из событий Н1 ,..., Н n имело
место в проделанном опыте. Можно
поставить следующую задачу: найти
вероятности PA H i
 
ФОРМУЛА БАЙЕСА
PA H i  
PH i   PH  A
P  A
i