основные зависимости и некоторые задачи теории пластичности

ГЛАВА 7
ОСНОВНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ И НЕКОТОРЫЕ
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ
7.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. УСЛОВИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ
Для большинства материалов закон Гука справедлив лишь в области малых деформаций. Диаграмма напряжение–деформации при растяжении часто
имеет вид, показанный на рис. 7.1 (а), (б).

T
O

B
A
(a)


B
T
 O
B
T
A
C
(б)

O
C
(в)
T

O
A
(г)

Рис. 7.1
Выше точки А линейное соотношение между напряжением и деформацией
нарушается. Соответствующее напряжение  т называется пределом пропорциональности (текучести).
Если диаграмма разгрузки совпадает с диаграммой нагружения ОАВ
(рис.7.1, (а)), то такие материалы называют нелинейно-упругими. Если диаграмма разгрузки совпадает с прямой ВС (рис.7.1, (а)), почти параллельной
участку ОА, то после удаления нагрузки в образце появляются остаточные деформации (отрезок ОС). Такие материалы называются упруго-пластическими.
Теория пластичности решает главным образом те же задачи, что и теория
упругости, но с учетом упругопластического деформирования материала. Полученные ранее уравнения равновесия и зависимости между деформациями и
перемещениями сохраняются, только вместо закона Гука в теории пластичности применяются другие зависимости.
ОСНОВНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ И НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ
183
В теории пластичности рассматривается также задача определения несущей способности, исследующая лишь предельное состояние тела, без изучения
предшествующего деформирования.
При решении задач теории пластичности необходимо знать, при каких
условиях материал переходит из упругого состояния в пластическое. При одноосном растяжении напряжениями  1 пластические деформации возникают,
когда
(7.1)
1   Т .
При чистом сдвиге условие пластичности
(7.2)
  Т .
В этих формулах  Т – первоначальный предел текучести при растяжении,
 Т – предел текучести при сдвиге. Эти величины постоянны для каждого материала. Они устанавливаются экспериментальным путем.
В случае трехосного напряженного состояния для множества вариантов
соотношений между напряжениями и деформациями, экспериментальное
определение условий пластичности невозможно. Логично выразить условия
пластичности через главные напряжения, либо через максимальные касательные напряжения.
Сен-Венан, основываясь на опытах Треска высказал предположение, что
в случае трехосного напряженного состояния, при достижении пластичности,
максимальные касательные напряжения имеют для данного материала одно и
то же постоянное значение
 max   Т .
(7.3)
Если 1   2   3 , то согласно (1.19)
2  max   1   3   Т .
(7.4)
Формула (7.4) выражает условие пластичности Треска – Сен-Венана.
Экспериментальные данные свидетельствуют о том, что при всестороннем растяжении или сжатии материал деформируется упруго. Можно поэтому
принять, что условие пластичности зависит от второго инварианта девиатора
напряжений (1.25).
(7.5)
i  Т .
Здесь  i – интенсивность напряжений
i 
1
2
2
2
( x   y ) 2  ( y   z ) 2  ( z   x ) 2  6( xy
  yz
  xz
).
2
(7.6)
Формула (7.5) выражает условие пластичности Губера-Мизеса. Критерий получен ими, исходя из условия постоянства энергии формоизменения. При чистом
сдвиге из (7.4) имеем  max  0,5 Т , а из (7.6) –  max  0,58 Т . Результаты не
различаются существенно, причем последний ближе к опытным данным.
Приведенные критерии позволяют зафиксировать момент появления первых пластических деформаций. Они достаточны для решения задач пластично-
ГЛАВА 7
184
сти, если деформирование материала описывается диаграммой Прандтля (рис.
7.1, (г)). Если материал описывается диаграммой с линейным упрочнением, состоящей из двух наклонных прямолинейных участков (рис.7.1, (б), (в)), то после разгрузки, при повторном нагружении, материал деформируется упруго до
тех пор, пока напряжения окажутся равными  B .
7.2. УРАВНЕНИЯ ДЕФОРМАЦИОННОЙ ТЕОРИИ
В основу деформационной теории пластичности положены следующие
допущения.
Объемная деформация материала является упругой. Между средними деформациями  и средними напряжениями  существует зависимость

1  2
.
E
(7.7)
Уравнение (7.7) справедливо для состояния всестороннего равномерного растяжения или сжатия. Эксперименты подтверждают, что при таком напряженном состоянии деформации упруги. Ответственными за появление пластических деформаций являются касательные напряжения.
Второе допущение деформационной теории пластичности сводится к
утверждению, что тензор-девиатор деформаций (1.32) пропорционален тензору-девиатору напряжений (1.23)
(7.8)
D   kD .
Cуммы компонентов главных диагоналей девиаторов деформаций и напряжений
 x   y   z  3  0,  x   y   z  3  0 ,
поэтому понятно, почему для описания пластичности используются именно девиаторы напряжений и деформаций. Коэффициент пропорциональности k
уравнения (7.8) удобно представить в следующем виде
k 
1 
,
E
(7.9)
где  – безразмерная функция, называемая параметром пластичности. Из тензорного равенства (7.8) вытекают следующие шесть скалярных равенств
1 
 x   ,
E
1 
 y   ,
 y   
E
1 
 z   ,
 z   
E
1
1 
 xy  
 xy ,
2
E
1
1 
 xz  
 xz ,
(7.10)
2
E
1
1 
 yz  
 yz .
2
E
Если материал находится в упругом состоянии, то   1 и уравнения
 x   
(7.10) соответствуют уравнениям (2.14). Уравнения (7.7) и (7.10) называют
уравнениями Генки-Ильюшина.
ОСНОВНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ И НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ
185
7.3. ИНТЕНСИВНОСТЬ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ. ОБОБЩЕННАЯ КРИВАЯ
ДЕФОРМИРОВАНИЯ
Понятия интенсивности напряжений и интенсивности деформаций занимают центральное место в деформационной теории пластичности, так как позволяют установить взаимосвязь между сложным напряженно - деформированным состоянием и диаграммой материала при одноосном растяжении.
Интенсивность напряжений  i определена формулой (7.6). Сравнивая
(1.21) и (7.6) можно показать, что интенсивность напряжений пропорциональна
касательному напряжению  окт на октаэдрической площадке:
 i  3 окт 2 .
(7.11)
Интенсивность деформаций  i определяется при помощи второго инварианта девиатора деформаций I 2D
2
3
2
i 
( x   y ) 2  ( y   z ) 2  ( z   x ) 2  ( xy2   yx
  xz2 ) . (7.12)
3
2
Зависимость между интенсивностью деформаций  i , и деформацией сдвига на
октаэдрической площадке аналогична зависимости (7.11). Отметим, что для
любого напряженно-деформированного состояния величины  i и  i , являющиеся модулями векторов {} и {} (2.10) и (2.11), положительны.
Соотношения между  i и  i можно получить из уравнений пластичности
(7.10) если каждое из шести равенств возвести в квадрат, сложить их, предварительно удвоив равенства, связывающие  и , и извлечь из суммы квадратный
корень:
i 
2 1 
 i .
3 E
(7.13)
Таким образом, в рамках деформационной теории между  i и  i при любом
напряженном состоянии имеет место обобщенная кривая деформирования
описываемая формулой (7.13).
С помощью обобщенной кривой деформирования можно выяснить значение и физический смысл параметра пластичности  (рис. 7.2).
3E  i  i*


,
2(1   )  i  i
(7.14)
где  i* – значение интенсивности напряжений в идеально упругом теле, соответствующее интенсивности деформаций  i в упругопластическом теле. Однако построение обобщенной кривой диаграммы  i   i не обязательно. Ее можно заменить обычной диаграммой  0   0 деформирования материала при растяжении, понимая под  0 и  0 эквивалентные деформации и напряжения.
ГЛАВА 7
186
.
0 = i
A
i
.

A
 = arctg E
 1 = arctg Ec
 i*
i
1
 


O i р iе
i
i
O
0
е
0
0е

0 =  i 
(б)
(a)
1 2  i
3 E
Рис. 7.2
Если считать, что в уравнениях пластичности коэффициент Пуассона
 *  0,5 , то пластические составляющие деформации при растяжении такие:
 xp   0p ,  yp  0,5 0p ,  zp  0,5 0p , а деформации сдвига равны нулю. Воспользовавшись формулой (7.12), получим, что  ip   0p . Тогда интенсивность
деформаций  i
 i   ip   ie   0p 
или

2(1   )
2(1   )
 0  0  0 
0
3E
E
3E
i  0 
(7.15)
1  2  0
.
3 E
Интенсивность напряжений в опытах на растяжение  i   0 . Эквивалентные
деформации в этих условиях определяются следующим образом:
0  i 
1  2  i
.
3 E
(7.16)