Лекция №8 Теория пластичности Прандтля

Лекция 8
Теория пластичности Прандтля-Рейтса
В отличии от двух предыдущих эта теория формулируется в терминах приращений
деформаций по времени, а не в терминах деформаций или скоростей деформаций.
Задача ставиться обычным образом: заданы деформации (траектория
•
деформирования) и надо найти необходимые для этого напряжения: δ ε i j =
δt .
εij
Рассмотрим гипотезы теории Прантля-Рейса:
1. Деформации могут быть представлены в виде суммы упругих и пластических,
тогда для приращений справедливо: δ ε i j = δ ε ie j + δ ε ipj . Приращение
упругих деформаций выразим из закона Гука, а приращения пластических
представим как в теории пластического течения (см. формулу (5.8) ) с учётом
того, что s i j = σ i j − δ i j σ . Тогда
δ ε i j = δ ε ie j δ ε ipj =
3ν
1
) + δ λ (σ i j − δ i j σ )
(δ σ i j + δ i j
1+ν
2I
Напомним, что в пластической области материал считается несжимаемым.
Последнее равенство можно переписать в девиаторном виде:
δ εij =
1
δ s i j + δλ s i j
2I
компонентами
S=
ei j и
. Как и ранее введём вектора
ei j соответственно, тогда
E=
EиS
с
1
1
|E| = ei j ei j
2
2
и
1
1
|S| |=
si j si j .
2
2
2. Известна интенсивность касательных напряжений как функция длины кривой
деформирования:
σ
S = S (L) , причём ΔL =
σ
1
Δ ei j Δ ei j .
2
Кроме того задана диаграмма деформаций, рис 8.1, из которой можно определить упругую и пластическую
0
составляющие полной деформации. Например, при напряжении
полная деформация образца составляет
0
σ
величину
εp
ε0
рис (8.1)
ε
ε 0 . Проводя прямую, параллельную другому
участку диаграммы , получаем пластическую составляющую деформации p , и следовательно, упругую:
ε
ε e =ε 0 −ε p .
Раз известны
ε e и ε p , то
воспользовавшись траекторией деформирования, можно найти её длины
соответствующие упругому и пластическому состояниям.
L
eи
L
p,
Итак, в начальный момент времени t=0, известны интенсивности упругих и
пластических деформаций. Зная их, находим соответствующие интенсивности
касательных напряжений e и p . То есть в начальный момент времени в теле
S
E
S
δE
e
o
δE
Ee
p
которые изображены на рис 8.2 вектором
E
p
E
E
имеются некоторые деформации ,
0
. Полные деформации есть сумма со-
отсветствующих векторов
0
E
0
p
E
0
и
E
p
0
.
Теперь дадим приращения полным
деформациям:
ei j
Рис (8.2)
E
δ E . Тогда полные
деформации изобразятся вектором E .
А как при этом изменятся упругая и
пластическая составляющие и, соответственно, напряжения?
Из выражения для приращений деформаций в девиаторной форме видно, что
упругие деформации пропорциональны напряжениям, следовательно, новый вектор
упругих деформаций
E e будет параллелен старому E
e
o
. Понятно, что вектор
E
p
описывает новые пластические деформации, а вектор δ E есть изменение пластических
деформаций.
Принципиальная трудность в теории Прандтля-Рейтса заключается в том, что если
задана траектория деформирования, то это ещё не позволяет найти напряжения. Вернёмся
несколько назад. Для чего требовалось рассматривать деформируемое тело? В систему из
трёх уравнений равновесия Коши входило шесть неизвестных: шесть компонент тензора
деформаций. Таким образом задача становилась статически неопределимой. Получив
закон Гука, мы выразили из него напряжения через перемещения и подставили в
уравнения равновесия, получив тем самым уравнения Ламе. Система из трёх уравнений
Ламе содержала уже три неизвестные величины – три компоненты вектора перемещений.
В данной же теории подобная подстановка напряжений в уравнения равновесия не
проходит, так как сами напряжения нам не известны, а известны лишь их приращения.
p
Принцип максимума Мизеса.
Закон Гука изначально был введён как феноменологический, однако, как было
показано выше, его можно получить, если постулировать, что работа является
квадратичной формой инвариантов тензора деформаций. Аналогичным образом из общих
соображений получим соотношения теории пластичности. Удельная работа
Рис (8.3)
при пластических деформациях: δa = σ i jδ ε ipj
Пусть рассматриваемый материал идеально
пластичен. В пространстве напряжений построим
Δσ
σ
поверхность текучести:
f (σ
ij
) = k . Для описния
этой поверхности введём следующую функцию:
σ
x
σij
F (σ i j) ≡ f (σ i j) − k = 0 .
Эта поверхность изображена
σ
∗
ij
на рис (8.3), (σ и σ
x
-вектора с компонентами σ i j и
соответственно), внутренность поверхности текучести, то есть упругая область
находится слева от кривой. Максимальная работа: δ a m = σ i j δ ε ipj , где σ i j напряжения, вызывающие текучесть, т.е. лежащие на поверхности текучести
(F (σ i j)) .
Это и есть принцип минимума Мизеса. Его можно сформулировать так: работа на
поверхности текучести больше работы упругих напряжений в виде неравенства:
δ a m > σ ∗i jδ ε ipj или (σ 23 − σ ∗i j)δ ε ipj > 0
причём F (σ ∗i j ) < 0 , т.е. σ ∗i j - напряжения в упругой области (та что слева от кривой).
Действительно, это заочно является задачей на условный экстремум, т.е. надо найти
максимальную работу a m при условии пластичности F (σ i j ) = 0 .
δ
Составляем функцию Лагранжа: Ф =
σ i j δ ε i j − δλ F (σ i j) , δ λ - множитель
Лагранжа. Дифференцируем функцию Лагранжа Ф и решим систему:
δ ε i j =δ λ
∂ F (σ i j)
∂σ i j
(6.0(л8))
F (σ i j) =0
Откуда следует, что максимум работы достигается на поверхности текучести. Таким
образом, если принцип Мизеса верен, то, зная условие пластичности, можно найти
приращение пластических деформаций.
Далее выясним, как из этого принципа можно получить соотношения теории
пластического течения, но сперва рассмотрим одно следствие принципа максимума.
Рассмотрим вектор
производные
∂ F (σ i j)
∂σ i j
Δσ
рис(8.3) с компонентами σ i j − σ i j . Частные
∗
есть не что иное, как направляющие косинусы нормали к
поверхности текучести. Таким образом принцип Мизеса утверждает, что вектор
пластических деформаций перпендикулярен поверхности пластических текучести
(см. формулу 6.0(л8)). Далее, так как он может быть записан в виде:
(σ i j −σ ∗i j)δ ε ipj >0 , то справедливо и такое неравенство: Δσ δ ε p > 0 , из
которого следует, что угол между векторами
Δσ
и
δ ε p должен быть меньше П/2.
Однако, если поверхность текучести имеет форму, изображённую на рис (8.4), то легко
видеть, что возможна ситуация, при которой угол
между нормалью к поверхности и и
σ
α
вектором Δ больше П/2, что запрещено принципом Мизеса. Итак, поверхности
текучести могут быть только выпуклыми. Вспомним, что когда рассматривались условия
пластичности Сен-Венана, была получена выпуклая поверхность.
n
α
σ
Δσ
σ
∗
σij
Рис(8.4)
Ассоциативный закон течения.
Теперь получим соотношения теории пластического течения. Будем предполагать
идеальную пластичность материала. Условие пластичности возьмём в виде условия
1
s i j s i j = K μ . Тогда поверхностью текучести будет являться
2
∂F
, входящую в формулу
поверхность S = const . Вычислим производную
∂σ i j
Мизеса:
S=
(6.0(л8)), в нашем случае:
∂F
∂S si j
=
= . Подставляем найденную производную
∂σ i j ∂ s i j 2S
δ ε i j δ λ si j
=
. Материал в пластической области
δ t δ t 2S
•
δλ 1
≡ α , тогда ε i j =α s i j .
несжимаем, поэтому ε i j = ei j . Обозначим
δ t 2S
и делим обе части на δt :
Посдендее равество гласит, что девиатор скоростей дефораций пропорционален девиатору
напряжений, то есть получено утверждение теории пластического течения. Итак, принцип
Мизеса при условии пластичности Мизеса приводит к соотношениям тероии течения СенВенана.