ОДНОМЕРНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ НЕЛИНЕЙНО УПРУГИХ МИКРОПОЛЯРНЫХ ТЕЛ Л. М. Зубов Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия Определен класс конечных деформаций упругой микрополярной среды, при которых система уравнений равновесия сводится к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Найденные семейства деформаций описывают, в частности, изгиб и кручение микрополярных тел различной геометрической формы. Для физически линейного континуума Коссера получен ряд точных решений о больших деформациях трехмерных тел. 1. Уравнения равновесия в ортогональных криволинейных координатах. Микрополярная среда (или континуум Коссера) – это материальное тело, каждая частица которого имеет шесть степеней свободы абсолютно твердого тела, то есть характеризуется положением в пространстве и ориентацией. Взаимодействие частей микрополярного тела осуществляется не только обычными (силовыми), но и моментными напряжениями. Удельная потенциальная энергия деформации W континуума Коссера задается как функция двух тензорных аргументов [1, 2] W W Y, L , Y C HT , C gradR , (1.1) (1.2) L E gradH HT . Здесь Y – мера деформации, L – тензор изгибной деформации, C – градиент деформации, H – собственно ортогональный тензор микроповорота, E – единичный тензор, R – вектор положения частиц деформированного тела, grad – оператор градиента в лагранжевых координатах. Рассматривая задачу статики микрополярного тела, уравнения равновесия запишем в виде [2] divD b 0 , (1.3) divG CT D l 0 , (1.4) W W , K , (1.5) Y L В (1.3)–(1.5) D и G – тензоры напряжений и моментных напряжений типа Пиолы, P и K – тензоры напряжений и моментных напряжений типа Кирхгофа, div – оператор дивергенции в лагранжевых координатах, – плотность материала в отсчетной конфигурации, b – массовая сила, l – интенсивность массовой моментной нагрузки, индекс « » в (1.4) означает векторный инвариант тензора второго ранга [3]. Пусть uk , k 1, 2,3 – некоторые ортогональные криволинейные координаты в D P H, G K H, P отсчетной конфигурации материального тела (лагранжевы координаты), U s , s 1, 2,3 – какие-либо ортогональные криволинейные координаты в пространстве (эйлеровы координаты). Коэффициенты Ляме этих координат обозначим соответственно am uk , An U s , а ортонормированные векторные базисы, ассоциированные с указанными координатами, обозначим fm uk , Fn U s . Предполагается, что векторные базисы fm и Fn имеют одноименную ориентацию. Будем использовать следующие разложения введенных выше векторов и тензоров b bn Fn , l ln Fn , C Cmnf m Fn , H H mnf m Fn , Y Ymnf m f n , L Lmnf m f n , D Dmnf m Fn , (1.6) G Gmnfm Fn , P Pmnf m f n , K K mnf m f n . Из (1.1), (1.5), (1.6) следуют формулы Ymn Cmk H nk , Dmn Pmk H kn , Gmn K ms H sn . Пусть деформация среды Коссера задана при помощи функций (1.7) U s U s uk , H mn H mn uk . Справедливо представление (1.8) As U s (не суммировать по s , k ). ak uk Уравнения равновесия (1.3), (1.4) примут вид Cks g Csk Am A 1 Dsm k Dsk bm 0, Dsm as Am Ak U k U m g us (1.9) g a1a2 a3 , (1.10) g Csk Am A 1 Gsm k Gsk Ckn Dks ensm lm 0 . (1.11) Gsm as Am Ak U k U m g us В (1.10), (1.11) ensm – символ Леви-Чивиты и подразумевается суммирование по s, k , n от 1 до 3. По индексу m суммирования нет. 2. Частные решения, приводящие к одномерным краевым задачам. В дальнейшем предполагается, что массовыми силами и массовыми моментами можно пренебречь: bm lm 0 . Будем использовать такие координатные системы us , U k , коэффициенты Ляме которых зависят лишь от одной координаты: am am u1 , An An U1 . Этому условию удовлетворяют декартовы и круговые цилиндрические координаты. Рассмотрим следующие семейства конечных деформаций континуума Коссера U1 u1 , U 2 u1 p2u2 r2u3 , U3 u1 p3u2 r3u3 , H H mn u1 fm Fn . (2.1) (2.2) Здесь p2 , r2 , p3 , r3 – постоянные, H mn – элементы собственно ортогональной матрицы, общее представление которой можно взять в виде ( mn – символ Кронекера) H mn u1 4 2 4 2 mn 2 m n 4emns s , 12 22 32 , s s u1 , s 1, 2, 3. Из соотношений (1.1), (1.6), (1.7) видно, что при деформациях вида (2.1), (2.2) величины Cmn , Ymn , Lmn зависят только от координаты u1 . Если микрополярная среда однородна и изотропна, то доказывается, что компоненты напряжений Dsm и моментных напряжений Gsm также не зависят от координат u2 , u3 . Отсюда вытекает, что на семействах деформаций (2.1), (2.2) система уравнений равновесия (1.10), (1.11) сводится к системе шести обыкновенных дифференциальных уравнений для шести функций одной переменной: , , , m m 1, 2,3 . В силу указанного свойства данные деформации называются одномерными. В качестве граничных условий при одномерных деформациях на двух поверхностях u1 const могут быть заданы постоянные составляющие 1 напряжений D1m и моментных напряжений G1m m 1, 2,3 . Краевые условия на остальной части поверхности тела могут быть выполнены лишь в некотором интегральном (осредненном) смысле за счет подбора постоянных pk , rk . В частном случае, когда координаты uk – декартовы, а координаты U s – цилиндрические, формулы (2.1), (2.2) описывают изгиб прямоугольной плиты, при котором она превращается в сектор полого кругового цилиндра или замкнутый цилиндр (трубу). Указанный цилиндрический сектор подвергается затем кручению, растяжению и осевому сдвигу. В классе одномерных деформаций (2.1), (2.2) существуют такие, для которых часть из уравнений равновесия (1.10), (1.11) удовлетворяется тождественно. Например, если в (2.1) положить u1 u1 0 , а тензор микроповорота взять в виде (2.3) H f1 F1 cos u1 f2 F2 f3 F3 sin u1 f3 F2 f2 F3 , то в случае изотропного материала тождественно удовлетворяются уравнения (1.10) и (1.11) при m 2 и m 3 , и задача сводится к двум обыкновенным уравнениям относительно функций u1 и u1 . Отметим наиболее важные случаи деформации, которые можно описать соотношениями (2.1) при 0 и (2.3): изгиб прямоугольного параллелепипеда, цилиндрический изгиб или выпрямление сектора полого кругового цилиндра, раздувание, растяжение вдоль оси и кручение полого кругового цилиндра, образование винтовой дислокации в полом цилиндре, выворачивание круглой трубы. В задачах о круговом цилиндре указанное семейство деформаций содержит достаточный произвол для удовлетворения условий на торцах в смысле Сен-Венана. Простейшей моделью изотропного сжимаемого микрополярного тела является физически линейный материал [2], для которого упругий потенциал W – квадратичная форма тензоров Y E и L 2W tr 2 Y E tr Y E Y T E tr Y E tr 2 L tr L LT trL2 , 2 (2.4) где , , , , , – материальные постоянные. В рамках модели (2.4) ряд практически важных случаев из перечисленных выше семейств деформаций приводит к дифференциальным уравнениям, допускающим точное явное решение. Это позволило построить несколько решений в замкнутой форме, характеризующих поведение микрополярных тел при больших деформациях. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 09-01-00459). ЛИТЕРАТУРА 1. Toupin R.A. Theories of elasticity with couple-stress // Arch. Ration. and Mech. Anal. – 1964. – V. 17. – №. 5. – P. 85–112. 2. Zubov L.M. Nonlinear Theory of Dislocations and Disclinations in Elastic Bodies. – Berlin: Springer, 1997. 3. Зубов Л.М., Карякин М.И. Тензорное исчисление: Основы теории. – М.: Вуз. кн., 2006.