Урок геометрии по теореме Пифагора

Урок геометрии по теореме
Пифагора
Трофимова Людмила Викторовна
учитель математики
Сиверская гимназия №1
Решение задач по готовым
чертежам
Решение задач по готовым
чертежам
Решение задач по готовым
чертежам
Решение задач по готовым
чертежам
Задача индийского математика
XII века Бхаскары
«На берегу реки рос тополь
одинокий.
Вдруг ветра порыв его ствол
надломал.
Бедный тополь упал.
И угол прямой
С теченьем реки его ствол
составлял.
Запомни теперь,
Что в этом месте река
В четыре лишь фута была
широка.
Верхушка склонилась у края
реки.
Осталось три фута всего от
ствола,
Прошу тебя, скоро теперь мне
скажи:
У тополя как велика высота?»
Задача из учебника «Арифметика»
Леонтия Магницкого
«Случися некому
человеку к стене
лестницу прибрати,
стены же тоя высота
есть 117 стоп. И обреете
лестницу долготью 125
стоп. И ведати хочет,
колико стоп сея
лестницы нижний конец
от стены отстояти
имать».
Задача из китайской
«Математики в девяти книгах»
«Имеется водоем со
стороной в 1 чжан = 10
чи. В центре его растет
камыш, который
выступает над водой на
1 чи. Если потянуть
камыш к берегу, то он
как раз коснётся его.
Спрашивается: какова
глубина воды и какова
длина камыша?».
Задача о лотосе
Над озером тихим
С полфута размером
Высился лотоса цвет.
Он рос одиноко,
И ветер порывом
Отнёс его в сторону. Нет
Боле цветка над водой.
Нашёл же рыбак его
Ранней весною
В двух футах от места, где
рос.
Итак, предложу я вопрос:
“Как озера вода здесь
глубока?”
Доказательство методом
вычитания
Познакомимся с доказательством методом вычитания.
Знакомый нам чертеж теоремы Пифагора заключим в
прямоугольную рамку, направления сторон которой совпадают с
направлениями катетов треугольника. Продолжим некоторые из
отрезков фигуры так, как указано на рисунке, при этом
прямоугольник распадается на несколько треугольников,
прямоугольников и квадратов. Выбросим из прямоугольника
сначала несколько частей так, чтобы остался лишь квадрат,
построенный на гипотенузе. Эти части следующие:
1) треугольники 1, 2, 3, 4;
2) прямоугольник 5;
3) прямоугольник 6 и квадрат 8;
4) прямоугольник 7 и квадрат 9.
Затем выбросим из прямоугольника части так, чтобы остались
только квадраты, построенные на катетах. Этими частями будут:
1) прямоугольники 6 и 7;
2) прямоугольник 5;
3) прямоугольник 1 (заштрихован);
4) прямоугольник 2 (заштрихован).
Нам осталось лишь показать, что отнятые части равновелики.
Это легко видеть в силу расположения фигур. Из рисунка ясно,
что:
1) прямоугольник 5 равновелик самому себе;
2) четыре треугольника 1,2,3,4 равновелики двум
прямоугольникам 6 и 7;
3) прямоугольник 6 и квадрат 8, взятые вместе, равновелики
прямоугольнику 1 (заштрихован);
4) прямоугольник 7 вместе с квадратом 9 равновелик
прямоугольнику 2 (заштрихован)
Доказательство Вальдхейма
Пусть дан треугольник АВС с прямым углом
С, гипотенузой с и катетами a и b, такими, что
b>a. Продолжим отрезок СВ за точку В и
построим треугольник BMD так, чтобы точки М и
А лежали по одну сторону от прямой СD и, кроме
того, BD=b, ∟BDM =90º, DM = a, тогда
треугольники BMD и ABC равны по двум
сторонам и углу между ними. Точки А и М
соединим отрезком АМ. Прямая АС параллельна
прямой МD. Так как МD < AC, то прямые CD и
AM не параллельны. Следовательно, AMDC –
прямоугольная трапеция.
В прямоугольных треугольниках ABC и BMD
∟1 + ∟2 = 90º и ∟3 + ∟4 = 90º, но так как ∟1 =
∟3, то ∟3 + ∟2 = 90º; тогда ∟ABM = 180º – 90º
= 90º. Оказалось, что трапеция AMDC разбита на
три прямоугольных треугольника, тогда по
свойствам площадей имеем:
SABC + SABM + SBMD = SАСDМ, или
½ ab + ½ c² + ½ ab = ½ (a+b)(a+b).
Умножив обе части равенства на 2, получим
ab + c² + ab = (a + b)(а + b),
2ab + c² = a² + 2ab + b², откуда a² + b² = c².
Шаржи