Общая теория относительности

Теория
относительности
Релятивистская механика
Физика до теории
относительности


Аристотель: движение – переход
вещества в форму. Поведение тел
определяется соотношением их составе
«земли» и «огня».
Галилей: принцип относительности:
в инерциальных системах отсчета все
механические явления проистекают
одинаково.
Механика и теория
тяготения Ньютона




Первый закон – закон инерции.
Второй закон – закон движения:
ma=F
Третий закон – закон действия и
противодействия
Закон всемирного тяготения
m1m2
F G 2
r
Теория электромагнитных
явлений Максвелла




Связь напряженности магнитного поля с
движением электрических зарядов
Поле статического электрического заряда
Связь напряженности электрического
поля с изменением магнитного поля
Магнитных зарядов нет
Концепция эфира


Электромагнитные волны в эфире
Скорость распространения
электромагнитных волн постоянная
величина, не зависящая от
взаимной скорости приемника и
получателя!
«Световые часы»
Опыт Майкельсона
Другие эксперименты, лежащие в
основе специальной теории
относительности




Астрономическая аберрация света
Эффект Допплера
Опыт Физо
Измерение времени жизни
μ-мезонов
Специальная теория
относительности
Область применимости –
инерциальные системы отсчета
Преобразования
Галилея
Z' Z' Z'
Z
X
X' X' X'
Y
Y' Y' Y'
x '  x  Vt
y '  y; z '  z
t't
dx 2  dy 2  dz 2  const
v  v ' V
Преобразования Лоренца
x' 
x  Vt
V2
1 2
c
y '  y;
z'  z
V
tx 2
c
t'
V2
1 2
c
Инвариантный интервал
c dt  dx  dy  dz  const
2
2
2
ct
2
2
ct’
x’
x
Преобразования Лоренца
x  x 'ch   ct 'sh 
ct  x 'sh   ct 'ch 
ct
ct’
x’
th   V / c
x
Специальный принцип
относительности
Основные законы физики для двух
наблюдателей, находящихся в
движущихся равномерно и
прямолинейно друг друга
инерциальных системах отсчета,
имеют одинаковую форму.
1905 г.
Конус Минковского
Мировая линия


x, y, z
ct
(ct ) 2  x 2  y 2  z 2  0
Некоторые следствия СТО

Релятивистское
сокращение
длины
l  l0
2
v
1 2
c

Релятивистское
замедление
времени
T 
T0
v2
1 2
c
Некоторые следствия СТО
Закон сложения скоростей
v ' V
v
v 'V
1 2
c
Некоторые следствия СТО
Эффект Доплера
2
u
1 2
c
  0
u
1  cos 
c
  0
cu
cu
1
  0
,u
u
1  cos 
c
  0 1  u 2 c2
c
Некоторые следствия СТО
Эффект Доплера
Некоторые следствия СТО
Аберрация света
1  u 2 c 2  sin 
sin  
1  u c cos 
u
  sin 
c
Изменение массы

Масса движущегося, относительно
наблюдателя, тела увеличивается
согласно формуле:
m
m0
v2
1 2
c
Связь массы и энергии
2
m0 v
E  mc  m0c 
 ...
2
2
2
E0  m0 c
2
Связь энергии и испульса
E
E p c  m c , p  2 u
c
2
2 2
2 4
4-векторы

x  (ct , x , x , x )  (ct , r)

1
2
3
p  ( E c , px , py , pz )  ( E c , p)
4-скорость
i
dx
u 
dt
i
где t — «собственное время», равное интервалу,
измеренному вдоль мировой линии.
Геометрически 4-скорость является единичным
вектором, касательным к мировой линии частицы.
Общая теория
относительности
Релятивистская теория
гравитации
Основы общей теории
относительности

Законы физики должны быть
составлены так, чтобы они были
справедливы для произвольно
движущихся координатных систем.
Общий принцип
относительности
Основные законы физики для двух
наблюдателей, движущихся
произвольным образом и
использующих произвольные,
непрерывно преобразуемые одна в
другую системы координат, имеют
одинаковый вид.
Тайна тяготения



Экранирование телами «ударов»
гипотетических частиц или эфира
Электродинамические модели
Равенство инертной и гравитационной
масс
F  mi a
F G
mg M
r
2
Ускоренная система отсчета и
гравитационное поле
Принцип эквивалентности:
 Никакими экспериментами невозможно
определить покоится ли тело в
однородном гравитационном поле или
движется ускоренно
 Никакими экспериментами невозможно
определить движется ли тело
прямолинейно и равномерно вдали от
гравитирующих масс или свободно
падает в однородном гравитационном
поле
Принцип Маха


Сила инерции возникает в
результате гравитационного
взаимодействия тела с веществом
всей Вселенной.
Абсолютно ли вращение? Будем ли
мы ощущать вращение в абсолютно
пустой Вселенной?
Неевклидовы геометрии


Геометрия Римана
Геометрия Лобачевского
Парадокс
Эренфеста (о длине окружности вращающегося диска)
Метрика пространства
ds2  g xx dx2  2g xy dxdy 
 g xx

g   g yx
g
 zx
g xy
g yy
g zy
g xz 

g yz 
g zz 
 g zz dz 2
Искривленное четырехмерное
пространство-время
4
ds   gij ( x)dxi dx j
2
i, j
 g 00

g10

g
 g 20

 g 30
g 01
g11
g 02
g12
g 21
g 31
g 22
g 32
g 03 

g13 
, gij  g ji
g 23 

g 33 
Плоское пространство-время
специальной теории
относительности
ds 2  dx02  dx12  dx22  dx32 ,
1 0 0 0 


0

1
0
0

g ij  
 0 0 1 0 


 0 0 0 1
x0  ct
Уравнение Эйнштейна
1
Rij  Rgij  Tij
2
• Rij – тензор Риччи, его компоненты выражаются
через первые и вторые производные от
компонент тензора gij
• gij – метрический тензор
• Tij – тензор энергии-импульса материи,
создающей искривленность пространствавремени.
Тензор энергии-импульса
 c 2

0

Tij 
 0

 0
0
p
0
0
0
p
0
0
0

0
0

p
Малые гравитационные поля
 2
1  c 2

gij   0
 0

 0

0 0 0

1 0 0 
0 1 0 

0 0 1
ds   c  2  dt  dr
2
2
2
2
M
  G
R
Гравитационное замедление времени и
гравитационное красное смещение
1
0
dt 
g 00 dx
c
2
2Gm
g 00  1  2  1  2
c
c R
Часы в гравитационном поле идут медленнее для удаленного наблюдателя


   0 1  2  ,
 c 
1  2
 

2
c
Частота света возрастает с увеличением ||, т.е. возрастает при
приближении к создающим поле телам; наоборот, при удалении луча
от этих тел частота света уменьшается.
Решение Шварцшильда
 rg
2
ds  1 
r

2GM
rg  2
c
2
 2 2 2
dr
2
2
2
 c dt  r  sin d   d   
rg

1
r
t , r , , 
Наблюдаемые и
координатнозависимые величины


Направления (углы)
Промежутки времени (частоты)
Пространственная метрика
решения Шварцшильда
2
dr
dl 2 
 r 2  sin 2 d 2  d 2 
1  rg r
Расстояние между двумя точками с координатами r1 и r2:
r2

r1
dr
 r2  r1
1  rg r
Замедление времени:
1
dt 
g 00 dt
c
Искривление метрики
пространства-времени
Геодезические линии
Принцип наименьшего действия
b
S  mc  ds  min
a
b
S   mc   ds  0
a
du i
0
ds
Принцип наименьшего действия был сначала
сформулирован Мопертюи в 1746 году и далее
развивался (после 1748 года) математиками Эйлером,
Лагранжем и Гамильтоном.
Совершенство Вселенной требует определенной
экономии в природе и противоречит любым
бесполезным расходам энергии. Естественное
движение должно быть таким, чтобы сделать
некоторую величину минимальной. Нужно было
только найти эту величину, что он и продолжал
делать. Она являлась произведением
продолжительности (время) движения в пределах
системы на удвоенную величину, которую мы теперь
называем кинетической энергией системы.
Орбиты планет в ОТО
незамкнуты
Гравитационные линзы
Гравитационные линзы
Черные дыры
Под черной дырой понимается область
пространства-времени, для которой
вторая космическая скорость равна
скорости света c = 300 000 км/с
В 1783 году существование черных дыр
предсказал английский астроном-любитель,
священник и геолог Джон Митчел
Гравитационный радиус
GM
rg  2 2
c
Для Земли – 9 мм
 Для Солнца – 3 км

Гравитационное красное смещение
вблизи черной дыры
Обнаружение черных дыр
Линзирование
Выброс (jet) из ядра М87
Выброс из ядра галактики имеет длину 7500 световых лет!
Термодинамика черных
дыр
c3
T
8kGM
Температура черной дыры
Akc3
S
4 G
Энтропия черной дыры
A – площадь горизонта событий
5120G M
t
c4
2
3
Время жизни черной дыры
1000 т испаряется за 84 секунды
Падение в черную дыру
Гравитационные волны
Гравитационную волну излучает любая движущаяся ускоренно
материя. Для возникновения волны существенной амплитуды
необходимы чрезвычайно большая масса излучателя или/и
огромные ускорения, амплитуда гравитационной волны прямо
пропорциональна ускорению и массе генератора, то есть ~ma.
Два объекта излучают гравитационные волны только в паре,
причём в результате интерференции они существенно взаимно
гасятся.
Для Солнечной системы, например, наибольшее гравитационное
излучение производит подсистема Солнца и Юпитера. Мощность
этого излучения — примерно 5 киловатт!
Гравитационные волны
dE

dt
3
64
G
m1m2  m1  m2 
G
, r
5
c
5c5 r 3
Гравитационные волны
Гравитационные волны
Проект LIGO
LIGO (англ. Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory) —
лазерно-интерферометрическая гравитационно-волновая обсерватория.
LIGO состоит из двух обсерваторий, удалённых друг от друга на 3002 километра.
Поскольку скорость распространения гравитационных волн, как ожидают, равна
скорости света, это расстояние даёт разницу в 10 миллисекунд, которая позволит
определить направление на источник зарегистрированного сигнала.
Проект LISA
LISA — это совместный эксперимент
НАСА и Европейского космического
агентства по исследованию
гравитационных волн. Его название
расшифровывается как Laser
Interferometer Space Antenna
(Космическая антенна,
использующая принцип лазерного
интерферометра). В настоящее
время эксперимент находится в
стадии проектирования,
предполагаемое время запуска —
2020 год. Расчётная
продолжительность эксперимента —
5 лет, с возможностью продления до
10 лет.
Скорость распространения
гравитации



В теории гравитации Ньютона скорость гравитации не входит
ни в одну формулу, считаясь бесконечно большой.
В общей теории относительности потенциалами
гравитационного поля выступают компоненты метрического
тензора, так что гравитационное поле отождествляется в
сущности с метрическим полем.
Во многих альтернативных теориях гравитации скорость её
распространения может существенно отличаться от скорости
света, так что непосредственное измерение скорости
гравитации представляет собой тест на работоспособность
этих теорий.
Космология



Решение Фридмана
Большой взрыв
Нестационарная Вселенная
1
8k
Rij  Rgij  4 Tij  gik
2
c
Расширение Вселенной

Закон Хаббла
V  Hr , H  70 km/s  Kpc

Критическая плотность
2
3H
29
3
0 
 10 g/cm
8k
-1
Эффекты ОТО






Гравитационное замедление времени
Поправки к классическим теориям
движения тел в гравитационном поле
Гравитационное красное смещение
Гравитационные волны
Чёрные дыры
Космология
Экспериментальные
подтверждения ОТО




Движение перигелия Меркурия
Искривления путей световых лучей
Смещение частот спектральных линий
Задержка радиолокационных сигналов
Развитие теории
гравитации
Новые проблемы
Проблемы в ОТО




Выполнение закона сохранения
энергии и импульса
Наличие сингулярностей
Квантовая гравитация (на
масштабах 10-33 см)
Большее число измерений (5, 6, 10)
Литература
(http://URSS.RU)






Бергман – Введение в теорию
относительности
Ландау, Лифшиц – Теория поля (т. 2)
Мизнер, Торн, Уилер – Гравитация
Пенроуз – Структура пространствавремени
Синг – Общая теория относительности
Вайнберг – Гравитация и космология