Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ Математический анализ 1 семестр Лекция 6 Раскрытие неопределенности для функции. 16 октября 2014 года Лектор: Доцент НИЯУ МИФИ, к.ф.-м.н. Гришин Сергей Анатольевич Первый замечательный предел sin x 1 x 0 x lim cos x 1 Докажем, что lim x 0 2 x x sin x x 0 1 cos x 2 sin 2 2 2 По теореме о двух полицейских ( x) 1 cos x o(1) По теореме о связи lim cos x 1 x 0 Соотношение площадей SOAB SOAB1 SOA1B1 SOAB1 0,5 x SOA1B1 0,5tgx sin x cos x x tgx cos x x0 SOAB 0,5 sin x cos x sin x 1 x cos x Следствия sin x 1 По теореме о двух полицейских lim x 0 x tgx 1 sin x tgx lim lim 1 Док. 1 Следствие 1 lim x 0 x 0 x 0 x x cos x x arcsin x 1 Док. t arcsin x x sin t x 0 x arcsin x t lim lim 1 x 0 t 0 x sin t arctgx 1 Следствие 3 lim x 0 x Док. Следствие 2 lim 1 cos x 1 Следствие 4 lim 2 x 0 x 2 1 cos x 2 sin 2 x / 2 1 lim lim 2 2 x 0 x 0 x 2 4x / 2 lim 1 x x e 1 x 0 Второй замечательный предел lim 1 x e 1 x x 0 1 kn 1 Док. xn : xn 0, lim x n 0 и n kn N k n n xn 1 1 xn kn 1 kn и справедливо неравенство 1 y n 1 kn 1 kn 1 x n 1 xn 1 1 kn k n 1 zn По определению числа e и теореме о двух полицейских lim yn lim z n e lim 1 x e по Гейне, а значит и по Коши. n n x 0 1 x Второй замечательный предел xn 0 Продолжение док. xn : xn 0, lim n Замена: yn xn 0 1 xn 1 1 yn 1 xn 1 yn yn 1 1 yn 1 yn 1 1 yn 0 1 Замена: z n 1 yn yn zn lim (1 x n ) n 1 xn lim (1 z n ) 1 1 zn lim (1 z n )(1 z n ) n n 1 zn e Любая последовательность xn xn xn, где xn 0, xn 0, Предельная точка одна lim 1 x e по Гейне. x 0 1 x Следствия ln( 1 x) 1 x 0 x Следствие 1 lim 1 x Док. lim ln( 1 x) ln e 1 x 0 ex 1 1 Следствие 2 lim x 0 x e x 1 t lim 1 Док. Замена: t e 1 x ln( 1 t ) lim x 0 t 0 x ln 1 t x a x 1 ln a Следствие 3 lim x 0 x Следствие 4 1 x 1 lim x 0 x a x 1 e x ln a 1 lim lim ln a ln a x 0 x 0 x x ln a e ln1 x 1 ln 1 x lim x 0 ln 1 x x Сравнение функций 0 f , g : U (a) R 0 def f ( x) O( g ( x)) C 0, : 0 : x U f ( x) C g ( x) 1 Пример f ( x) x sin 3 O( x) т.к. f ( x) x x f ( x) Достаточное условие: lim K 0 f ( x) O( g ( x)) x a g ( x) def f ( x) o( g ( x)) lim x a f ( x) 0 g ( x) Пример ( x) o(1) =Б.м. функция lim xa ( x) 1 0 Алгебра o- малых o( x) o( x) o( x 2 ) o( x ) o( x ) o( x ) o( f ( x)) f ( x) o(1) o( x) x o(1) Док. lim x 0 o( x ) o( x ) o( x ) o( x ) lim lim 0 x 0 x x 0 x x2 o( x ) o( x ) o( x ) o( x ) 0 lim lim x 0 x 0 x 0 x x x lim o( f ( x)) o( f ( x)) o(1) 0 x 0 f ( x) f ( x) lim Таблица эквивалентных б.м.ф. Def Две б.м.ф. в точке x=a функции y f (x) и y g (x) эквивалентны, если lim xa Обозначение: f (x ) f ( x) 1. g ( x) g (x ) Таблица эквивалентных б.м.ф. в точке x = 0 . sin x tgx 1 cos x arcsin x arctgx x x2 x 2 ex 1 a x 1 x x ln a ln( 1 x) x log a (1 x) x (1 x) 1 x x ln a x Теорема о замене на эквивалентную Т.1. Если y f (x) и y g (x) б.м.ф. в точке x = a и 1) f (x ) f1 ( x), g (x ) g1 ( x ) f 1 ( x) A 2) lim x a g ( x ) 1 Тогда lim x a Док. lim xa f ( x) A g ( x) f ( x ) f 1 ( x ) g1 ( x ) f ( x) A lim x a f 1 ( x ) g1 ( x ) g ( x ) g ( x) Теорема о связи эквивалентных б.м.ф. Т.2. Если y f (x) и y g (x) б.м.ф. в точке x = a, эквивалентны, то они связаны соотношением: f ( x) g ( x) o( g ( x)) (1) Если б.м.ф. в точке x = a связаны соотношением (1), то они эквивалентны. Док. 1) f ( x) 1 o(1) f ( x) g ( x) o(1) g ( x) g ( x) o( g ( x)) g ( x) 2) f ( x) o( g ( x)) f ( x) 1 1 o(1) lim 1 x a g ( x) g ( x) g ( x) Расширенная таблица эквивалентностей x3 x3 3 1. sin x x 0( x) x o( x ) 2. arcsin x x o( x) x o( x 3 ) 6 6 x3 x3 3 3. tgx x o( x) x o( x ) 4. arctgx x o( x 3 ) 3 3 x2 x2 x 2 5. e 1 x o( x) x o( x ) 6. ln(1 x) x o( x) x o( x 2 ) 2 2 x2 x2 x4 2 7. 1 cos x o( x ) o( x 4 ) 2 2 24 ( 1) 2 8. (1 x) 1 x o( x) x x o( x 2 ) 2 Раскрытие неопределенностей Пример 1 ln tg ax 4 Найти предел: lim x 0 sin bx 1 tgax 2tgax ln ln 1 ln tg ax 1 tgax 1 tgax 4 lim lim lim x 0 x 0 x 0 sin bx bx bx 2tgax 2tgax 2ax 2a 1 tgax lim lim lim x 0 x 0 x 0 bx bx bx b Раскрытие неопределенностей sin x a Пример 2 Найти предел: lim x 1 sin x b sin x a sin ( x a 1) sin x a 1 xa 1 lim lim lim lim b x 1 sin x b x 1 sin ( x b 1) x 1 sin x b 1 x 1 x 1 Замена: t x 1 x t 1 a t 1 1 at a lim lim t 0 t 1b 1 t 0 bt b Раскрытие неопределенностей sin 2 2 x Пример 3 lim x 1 ln cos 2 x Замена: t 2 x Замена: sin 2 t lim t 2 ln cost u t 2 x u 2 sin 2 u 2 sin 2 u u2 lim lim lim u 0 ln cosu 2 u 0 ln 1 cos u 1 u 0 cos u 1 u2 lim 2. u 0 0,5u 2 Раскрытие неопределенностей Пример 4 Найти предел: lim x e x 0 1 x x Преобразование: lim e ln x 0 lim e 1 x x xe ln x e x x x 0 lim e ln(1 e x 1) x x x 0 e e x 1 lim(1 ) x0 x e2 e e x 1 x lim x0 x Пример с о-символикой Пример 5 x2 x2 2 1 x o( x ) 1 o( x 2 ) x e cos x x o( x ) 2 2 lim lim lim 1 x 0 x 0 x 0 x x x Пример 6 x3 x x o( x 3 ) ( x o( x)) 2 2 2 2 x sin x tg x x 2 x o(1) 6 lim lim lim 1 2 2 2 x 0 x 0 x 0 x x x Определение порядка величины Пример 7 Найти C и n, для которых 3 1 x C x 1 o x 1 n n 1 1 x 1 x 13 Преобразование: 1 x 3 1 x 3 1 x 3 x 1 2 C 1 x 1 lim lim n x 1 x 1n x 1 3 x 1 1 x 3 1/ 3 при n 1 3 Теоретические упражнения 1. Сформулируйте понятие: lim f ( x) x 2. Сформулируйте понятие: lim f ( x) A 0 x a 0 Вопросы к экзамену 1) Первый замечательный предел. 2) Второй замечательный предел и его следствия. 3) Понятия O ( f ( x)), o( f ( x)) 4) Эквивалентные бесконечно малые функции, таблица эквивалентных бесконечно малых функций (с доказательством). 5) Теорема о замене бесконечно малой на эквивалентную. 6) Теорема о связи эквивалентных бесконечно малых функций. Дистанционный курс общей физики НИЯУ МИФИ Математический анализ. Раскрытие неопределенности для функции. Лекция 6 Завершена. Спасибо за внимание! Тема следующей лекции: Непрерывные функции. Лекция состоится в четверг 23 октября в 10:00 по Московскому времени.