Факультативное занятие по теме «Решение задач типа С2» из сборника

Факультативное занятие по
теме
«Решение задач типа С2»
из сборника
«Математика. Подготовка к
ЕГЭ-2013»
под редакцией Ф. Ф.
Лысенко
Улыбнись!
Однажды Египетский царь Птолемей I спросил
древнегреческого математика Евклида, нет ли более
короткого пути для понимания геометрии, чем тот,
который описан в его знаменитом тринадцатитомном
труде. Учёный гордо ответил: «В геометрии нет
царской дороги!»
ПтолемейI
Евклид
Цели занятия:
 отработать навыки решения задач С2
двумя способами, углубить, закрепить
полученные знания;
 выбрать наиболее приемлемый для ЕГЭ
способ решения задач С2.
Если прямая, проведенная на
плоскости через основание
наклонной, перпендикулярна
ее проекции, то она
перпендикулярна наклонной.
И обратно: Если прямая на
плоскости перпендикулярна
наклонной, то она
перпендикулярна и проекции
наклонной.
В правильной четырехугольной призме АВСDA1B1C1D1
стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 5. На
ребре АА1 отмечена точка Е так, что АЕ : ЕА1 = 3 : 2. Найдите
угол между плоскостями АВС и ВЕD1.
3 части
2 части
Решение. Построим ребро двугранного угла. Для этого придется
AA1 = 5, это – 5 частей, тогда
«выйти» за пределы призмы…
АЕ = 5:5*3 = 3
Точки В и О лежат в одной плоскости АВС, значит, можно их соединить
ЕА1= 5:5*2 = 2
отрезком. ВО – след секущейплоскости на плоскости грани АВСD.
D1
C1
FP  BO, FP является
наклонной к плоскости ABC.
A1
3
B1
FC – перпендикуляр к плоскости ABC
2
CP – проекция отрезка FP на плоскость ABC.
F
Применим теорему о трех
5E
перпендикулярах.
2
ТТП
FP  BO  CP BO
3
O
C
н-я
п-я
D
a
2
А
2
В
P
 FPC – линейный угол
двугранного угла FBOC
В правильной четырехугольной призме АВСDA1B1C1D1
стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 5. На
ребре АА1 отмечена точка Е так, что АЕ : ЕА1 = 3 : 2. Найдите
угол между плоскостями АВС и ВЕD1.
Треугольники FD1C1 и FOC подобны по двум углам. Составим пропорцию
3
2
сходственных сторон.
Из  BCO
FС1 D1С1
=
2
2
2
D1
BO

BC

CO
;
2FС
OС
C1
2
3
2
4


=
BO 2  2 2    ;
OС
2
A1
3
B1
3
4
OС
=
16
2
3
BO 2  4  ;
9
F
4*13
E
5
52
2
BO  
;
4
9
3
O
C
D
a 3
2 13
2
BO 
.
P
3
2 13
А
2
В
3
Мы уже решали задачу о нахождении высоты треугольника через
площадь. Но можно применить
и подобие треугольников ВОС и РОС (по
CF
Изуглам:
 CFPугол
: tgaО– общий, углы ОСВ и ОРС – прямые).
двум
CP
4
Составим
tga  2пропорцию
:
сходственных 13
сторон.
РС ОС

;
ВС ОВ
D1
132
tga  2 
4
A1
2
13
tga 
2
C1
4
РС
 3 ;
2
2 13
3
3
B1

F
C
F
4
3
O
2
2
C
D
2
А
РС 
2
5E
3
4
2 13
2:
3
3
4
3
РС   2 
3
2 13
РС 
2
В
4
13
a
4
3
P
2 13
3
OB С
P 2 13
43
13
P
13
Ответ : a  arctg
2
4
13
Алгоритм
нахождения угла между плоскостями
(геометрический метод)
 Построить сечения многогранника
данными плоскостями.
 Определить искомый угол между
плоскостями, используя ТТП или другие
свойства геометрических фигур.
 Применить знания теорем и аксиом
стереометрии и планиметрии.
 Найти острый угол прямоугольного
треугольника.
Дана правильная четырехугольная призма, сторона
основания которой равна 4, а боковые ребра равны 10.
На ребре АА1 отмечена точка N так, что AN:NA1=4:1.
Найдите координаты точек, изображенных на рисунке.
Алгоритм
составления уравнения плоскости
1.Записать уравнение плоскости Ax+By+Cz+D=0.
2.Найти координаты трех точек плоскости.
3. Подставить найденные координаты в
уравнение плоскости.
4.Решить систему трех линейных уравнений,
найти A,B,C.
5.Подставить A,B,C в уравнение плоскости.
Составить уравнение плоскости, проходящей
через точки с заданными координатами:
А(0;0;0) , В(0;1;1) , С(1;1;0)
Запишите формулу для нахождения
косинуса угла между плоскостями.
n (A;B;C)
n (i;j;k)
В правильной четырехугольной призме АВСDA1B1C1D1
стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 5. На ребре
АА1 отмечена точка Е так, что АЕ : ЕА1 = 3 : 2. Найдите угол
между плоскостями АВС и ВЕD1.
Геометрический метод.
Этапы решения:
1.Построили сечение,
используя метод
«следов».
2.Определили искомый
угол, используя ТТП.
3. Применили признак
подобия
треугольников.
4.Применили теорему
Пифагора.
5.Нашли тангенс угла
прямоугольного
треугольника.
Метод координат.
Этапы решения:
1.Ввели систему координат..
2.Определили координаты
точек плоскости,
определили вектор
нормали к плоскости.
3.Составили уравнение
плоскости.
4.Подставили полученные
коэффициенты из
уравнения плоскости в
формулу косинуса угла:
1.Ввести систему координат.
2.Определить координаты точек плоскости,
определить вектор нормали к плоскости
(если необходимо).
3.Составить уравнение плоскости.
4.Подставить полученные коэффициенты из
уравнения плоскости в формулу косинуса угла:
Обучающая самостоятельная
работа (вариант №21, С2)
В кубе ABCD A1B1C1D1 найдите угол
между плоскостями AB1C и CB1D1.
Домашнее задание
(вариант №3 С2)
В правильной четырехугольной призме
ABCD A1B1C1D1 стороны основания равны 3,
а боковые ребра равны 5. На ребре DD1
отмечена точка F так, что DF:FD1=2:3.
Найдите угол между плоскостями ABC и
AFC1.
Улыбнись!