Арккосинус

Рассмотрим на координатной плоскости
хОу единичную окружность. Если число а
таково, что ‫׀‬а‫ ≤׀‬1, то прямая х=а
пересекает её верхнюю полуокружность в
единственной точке В. При этом вектор
ОВ образует с вектором ОА единственный
угол а из промежутка [о; π], косинус
которого равен а. Этот угол обозначают
arccos a.
Пример 1:
arccos 1 = 0;
arccos 0 = π/2;
arcos (-1) = π;
arccos ½ = π/3.
(‫׀‬а‫≤׀‬1) есть угол а из промежутка [0; π], косинус
которого равен а: сos a= a.
Подчеркнём, что любого числа а, такого, что:
1) ‫׀‬а‫ ≤ ׀‬1, существует, и притом единственный,
арккосинус этого числа;
2) ‫׀‬а‫>׀‬1, арккосинус этого числа не существует,
поэтому запись arccos a для такого а не имеет
смысла.
Например, не имеют смысла записи arccos π и
arccos (-4), так как π>1 и
-4<-1.
Из определения арккосинуса следует, что если ‫׀‬а‫׀‬
≤ 1, то
Cos( arccos a)= a.
Рассмотрим задачу, при решении которых используется понятие арккосинуса.
Задача 1. Для данного числа а, такого, что ‫׀‬а‫<׀‬1, найдём все углы а, для каждого из
которых cos a= a. (1)
Рассмотрим единичную окружность. Так как ‫׀‬а‫<׀‬1, то прямая х= а пересекает
окружность в двух точках: B¹ и B². При этом векторы ОВ¹ и ОВ² образуют с вектором ОА
углы а°= arccos a и β°= -arccos a.
Из определения косинуса угла следует, что cos а°= а и cos β°= а.
Очевидно, что все углы, отличающиеся от а° на любое целое число полных оборотов,
т.е. углы, равные а= а°+ 2πn, где π € Z, удовлетворяют условию (1). Точно так же все
углы, отличающиеся от β° на любое целое число полных оборотов, т.е. углы а= β° +
2πk, где k€ Z, также удовлетворяют условию (1).
Ответ. а= arcos a +2πn, n€ Z; a= - arcсos a +2πk, k€ Z.
Пример 1.
а) найдём все углы а, для каждого из которых cos a
=1/5.
Все такие углы задаются формулами а= arcсos 1/5+
2πn, n€ Z;
a= - arcсos 1/5+2πk, k€ Z.
б) найдём все углы а, для каждого из которых сos
a= -√2/2.
Все такие углы задаются формулами
а= arcсos(-√2/2) +2πn, n € Z;
(2)
а= arcсos(-√2/2) +2πk, k € Z.
Так как arcсos(-√2/2)= 3π/4, то формулы (2) можно
записать так:
а=3π/4+2πn, n € Z; а=-3π/4+2πk, k € Z;
Задача 2. найдём все углы а, для каждого из которых cos
a>1/2.
Рассмотрим на координатной плоскости хОу единичную
окружность. Прямая х=1/2 пересекает её точках B¹ и B²,
соответствующих углам а°=π/3 и β°=- π/3. при этом cos
π/3= cos(-π/3)= 1/2.
Пусть а – любой угол из промежутка -π/3<a< π/3.
Углу а соответствует точка В единичной окружности.
Очевидно, что точка В лежит правее прямой х=1/2,
поэтому её абсцисса больше чем ½. Это означает, что
cos a>1/ для любого угла а из промежутка.
Пусть точка С соответствует углу а из промежутка
π/3<a< 2π+(-π/3), тогда точка С лежит правее прямой
х=1/2. это означает, что cos a<1/2 для любого угла из a из
промежутка.
Из сказанного выше следует, что на промежутке длиной
2π от -π/3 до 2π+(-π/3) неравенству удовлетворяют лишь
углы а из промежутка и, кроме них, на промежутке от -π/3
до 2π+-π/3 нет других углов, удовлетворяющих
неравенству.
Очевидно, что если неравенству удовлетворяет
некоторый угол а из промежутка, то этому неравенству
удовлетворяет и любой угол, отличающийся от а на 2πn,
где n€ Z. Это означает, что неравенству удовлетворяют
лишь углы а из бесконечного множества промежутков
-π/3+2πn<a< π/3+2πn, n€ Z, и, кроме них, нет других
углов, удовлетворяющих неравенству.
Ответ. -π/3+2πn<a< π/3+2πn, n€ Z.
Задача 3. найдём все углы а, для каждого из которых cos a<-0,3.
Рассмотрим на координатной плоскости хОу единичную
окружность. Прямая х= -0,3 пересекает её в точках B¹ и B²,
соответствующих углам а°=arccos (-0,3) и β°=-а°=-arccos (-0,3).
Рассуждая, как в задаче 2, получим, что на промежутке длиной
2π от -а° до 2π+(-а°) неравенству удовлетворяет любой угол а из
промежутка а°<a<2π- а° и, кроме них, на промежутке от -а° до
2π+(-а°) нет других углов, удовлетворяющих неравенству.
Очевидно, что если неравенству удовлетворяет некоторый угол а
из промежутка, то этому неравенству удовлетворяет и любой угол,
отличающийся от а на 2πn, где n€ Z. Это означает, что
неравенству удовлетворяют лишь углы а из бесконечного
множества промежутков а°+2πn<a<2π- а°+2πn, n€ Z, и, кроме
них, нет других углов, удовлетворяющих неравенству.
Ответ. arccos (-0,3)+2πn<a<2π-arccos (-0,3)+ 2πn, n€ Z.
Для любого числа а, такого, что ‫׀‬а‫ ≤ ׀‬1,
справедливо равенство
arccos(-a)=πarccos a.
Действительно, пусть а= arccos а, тогда а€ [0;
π] и cos а=а. Так как по свойству косинуса
угла cos (π-а)= -cos а, то cos (π-а) = -а.
Так как ‫׀‬-а‫׀=׀‬а‫≤ ׀‬1 и π-а €[0; π], то по
определению арккосинуса числа имеем
arcсos (-а)= π-а.
Следовательно, arcсos (-а)= π-arccos а, т.е.
справедливо равенство.
Пример 1. а) arcсos (-1/2)= π-arccos1/2= π- π/3= 2π/3;
б) arcсos (-√2/2)= π-arccos√2/= π- π/4= 3π/4.
Для любого угла а€ [0; π] справедливо равенство arcсos
(сos а)= а.
Равенство следует из определения арккосинуса числа.
Пример 2. вычислим arсcos (cos√π).
Так как √π€ [0; π], то arсcos (cos√π)= √π.
Пример 3. вычислим arсcos (cos (-6)).
Так как -6 ¢ [0; π], то нельзя сразу применить формулу. Но
так как
cos (-6)= cos (2π-6), то arсcos (cos(-6))=
arсcos (cos(2π-6))= 2π-6.
Так как 2π-6 € [0; π], то arсcos (cos(2π-6))= 2π-6.
Следовательно, arсcos (cos(-6))= 2π-6.