3. Метод сведения уравнения к решению системы уравнений относительно новых переменных. 2.Метод применения универсальной тригонометрической подстановки. 1. Метод оценок. Пример. Решить уравнение Пример.Решить уравнение Пример. Решить уравнение cos x + tg 3 sin 3x + 4 cos 3x = 5. Решение: используя основное тригонометрическое тождество cos2 3x + sin2 3x = 1, данное уравнение можно записать в виде системы: ( 3 sin 3x + 4 cos 3x = 5, cos2 3x + sin2 3x = 1. Решение: ОДЗ: x2 6= π2 + πn, n ∈ Z ⇒ x 6= π + 2πn, n ∈ Z. Применяем метод универсальной тригонометрической подстановки: 1 − tg2 1 + tg2 (5a − 4)2 = 0. Тогда ( a = 45 , cos 3x = 45 , ⇔ ⇔ 3 b = 5. sin 3x = 35 . ( sin 3x = 53 , ⇔ 3x ∈ I четверть. 3 + 2πn, n ∈ Z, 5 1 3 2πn , n ∈ Z. x = arcsin + 3 5 3 3x = arcsin arcsin 3 5 + 2πn , 3 n ∈ Z. Решение: так как оба синуса не превосходят единицы, данное равенство может быть выполнено лишь в том случае, когда они равны единице одновременно: ( sin 5x = 1, sin 9x = 1. Таким образом, должны одновременно выполняться следующие неравенства: ( ( π 5x = π2 + 2πn, + 2πn , x = 10 5 ⇔ π π 2πk 9x = 2 + 2πk. x = 18 + 9 . Найдём значения x, которые удовлетворяют обоим равенствам: t(t − 1)2 = 0, t = 0, ⇔ t = 1; 2πn π 2πk π + = + . 10 5 18 9 25a2 − 40a + 16 = 0, 1 3 x = 1. 2 sin 5x + sin 9x = 2. t3 − 2t2 + t = 0, 25 − 40a + 16a2 + 9a2 = 9, Ответ: x = + tg 1 − t2 + t = 1, 1 + t2 2 1 − t + t + t3 = 1 + t2 , a = cos 3x, b = sin 3x, |a| ≤ 1, |b| ≤ 1. ( , 3b + 4a = 5, b = 5−4a 3 2 ⇔ = 1. a2 + 5−4a a2 + b2 = 1. 3 ( x 2 x 2 Пусть t = tg x2 , тогда Введём новые переменные: ( x = 1. 2 tg tg x 2 x 2 = 0, ⇔ = 1; Умножаем обе части на 90 и сокращаем на π: 9 + 36n = 5 + 20k, x = 2πk, k ∈ Z, x = π2 + 2πm, m ∈ Z; Корни уравнения входят в ОДЗ. Ответ: x = 2πk, x = π2 + 2πm, k, m ∈ Z. 20k = 36n + 4, 5k = 9n + 1. Правая часть, как видим, должна делиться на 5. Число n при делении на 5 может давать остатки от 0 до 4; иначе говоря, число n может иметь один из следующих пяти видов: 5m, 5m+1, 5m+ 2, 5m + 3, 5m + 4, где m ∈ Z. Для того, чтобы 9n + 1 делилось на 5, годится лишь n = 5m + 1. Искать k, в принципе, уже не нужно. Сразу находим x: x= π 2πn π 2π(5m + 1) + = + = 10 5 10 5 π = + 2πm. 2 Ответ: x = π 2 + 2πm, m ∈ Z. НЕСТАНДАРТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 1. Метод оценок. Идея метода: Недостатки: 2. Метод применения универсальной тригонометрической подстановки. 3. Метод сведения уравнения к решению системы уравнений относительно новых переменных. Идея метода: Идея метода: Недостатки: Недостатки: