Метод координат Метод координат – это универсальный метод. Он обеспечивает тесную связь между алгеброй и геометрией, которые, соединяясь, дают «богатые плоды», какие они не могли бы дать, оставаясь разделенными. В некоторых случаях метод координат дает возможность строить доказательства и решать многие задачи более рационально, красиво, чем чисто геометрическими способами. Основные понятия и формулы и Вектор – это отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой концом Координаты вектора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору. На плоскости координаты вектора v относительно данного базиса (a, b) – это такая пара чисел (x; y), что v = xa + yb. Любой вектор имеет однозначно определенные координаты относительно любого базиса. Вектор нормали плоскости – это любой вектор, перпендикулярный плоскости. Иногда его трудно увидеть или построить. Для нахождения вектора нормали достаточно знать координаты трех точек плоскости M,N,P, не лежащих на одной прямой. В этом случае находим координаты двух векторов плоскости Основные формулы: А) Расстояние между точками Г) Угол между прямой и плоскостью Б) Угол между прямыми В) Угол между плоскостями Д) Уравнение плоскости Ах + Ву + Сz + D=0 Ввод системы координат для различных фигур с ребром, равным единице Шестиугольная правильная призма с ребром равным единице F1 D1 E1 А1 С1 B1 E D F А B С E1 (0;0;1) D1 (0;1;1) 3 1 F1 ( ; ;1) 2 2 3 3 С1 ( ; ;1) 2 2 А1 ( 3;0;1) B1 ( 3;1;1) E (0;0;0) D(0;1;0) 3 1 F ( ; ;0) 2 2 3 3 С ( ; ;0) 2 2 А( 3;0;0) B ( 3;1;0) Правильная четырехугольная пирамида z 1 1 2 S( ; ; ) 2 2 2 Треугольная правильная призма D (0;0;0) С (0;1;0) z С (0;0;1) 1 y x А(1;0;0) В(1;1;0) 1 3 B1 ( ; ;1) 2 2 А1 (1;0;1) С (0;0;0) y x А(1;0;0) 1 3 B( ; ;0) 2 2 Решение задач. Задача №1 В кубе ABCDA1B1C1D1 проведены прямые AC и BD1. Найдите координаты направляющих векторов этих прямых. Решение. Поскольку длина ребер куба в условии не указана, положим AB = 1. Введем систему координат с началом в точке A и осями x, y, z, направленными вдоль прямых AB, AD и AA1 соответственно. Единичный отрезок равен AB = 1. Теперь найдем координаты направляющего вектора для прямой AC. Нам потребуются две точки: A = (0; 0; 0) и C = (1; 1; 0). Отсюда получаем координаты вектора AC = (1 − 0; 1 − 0; 0 − 0) = (1; 1; 0) — это и есть направляющий вектор. Теперь разберемся с прямой BD1. На ней также есть две точки: B = (1; 0; 0) и D1 = (0; 1; 1). Получаем направляющий вектор BD1 = (0 − 1; 1 − 0; 1 − 0) = (− 1; 1; 1). Ответ: AC = (1; 1; 0); BD1 = (− 1; 1; 1) Дана правильная четырехугольная призма ABCDA1B1C1D1, сторона основания 4, боковое ребро 12. Найти угол между AB1 и плоскостью BDD1 Задача 2 B1 (0;0;12) AB1 ^ BDD1 = (4;4;12) = AB1^ n C1 n = OC A1 D1 B (0;0;0) 12 4 4 4 А OC -2;-2;0 (-4) *(-2)+0*2+12*0 cos α = (√ (-4)2 +02+122) * √ (-2)2 + 22+02 ) D(4;4;0) C 8 √5 O 4 -4;0;12 C(0;4;0) n O(2;2;0) А(4;0;0) AB1 D 10 4 √10 * 2 √2 Ответ: α = arccos 1 √5 * √ 2 * √ 2 √5 10 1 2 √5 Домашнее задание №1 В правильной шестиугольной призме A…F1 все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB1 и BD1 №2 В единичном кубе А…D1 найдите расстояние от точки А до плоскости ВDA1