С2: Нахождение расстояния от точки до плоскости Работа на научные чтения 2012 года по математике. Выполнила: Колесник Ксения Руководитель: Акимова Татьяна Дмитриевна C1 Задача: B1 О1 В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найти расстояние E D1 A1 C B от точки C1 до D плоскости АВ1С. A Методы решения задачи векторный поэтапновычислительный метод объёмов координатный метод опорных задач Поэтапно-вычислительный метод В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найти расстояние от точки C1 до плоскости АВ1С. 1) Так как А1С1 // AC , то А1С1 // (AB1C). Поэтому h=ρ(С1; (AB1C)) = ρ(O1; (AB1C)), где О1 Є А1С1. Пусть Е – основание перпендикуляра, опущенного из точки О1 на прямую В1О, где О – центр квадрата АВСD. О1Е Є (ВВ1D1D), AC(ВВ1D1D). Поэтому О1Е AC. Имеем: В1О О1Е, AC О1Е, В1ОAC. По признаку перпендикулярности прямой к плоскости О1Е (AB1C). Так как B O 2 , 1 1 O1O 1, 2 то OB 1 1 3 . 1 2 1 S B O O OB1 h 2 1 S B O O B1O1 O1O 2 1 1 1 1 2 Координатный метод В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найти расстояние от точки C1 до плоскости АВ1С. Составим уравнение плоскости, проходящей через точки А(1;0;0), С(0;1;0), В1(0;0;1). Для этого подставим координаты этих точек в общее уравнение плоскости ax+by+cz+d=0 Векторный метод В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найти расстояние от точки C1 до плоскости АВ1С. Так как А1С1 // AC , то А1С1 // (AB1C). О1 Поэтому h=ρ(С1; (AB1C)) = ρ(O1; (AB1C)) 1) Пусть AB a; AD b ; AA1 c Тогда | a || b || c | 1; a b a c b c 0 2) AC a b ; M AB1 a c ; D1 B1 b a ; O1 B1 1 a b 2 3) Пусть O1M ( AB1C ),гдеM ( AB1C ) B1M x AC y AB1 ; O1M O1 B1 B1M O1 B1 x AC y AB1 О1 M O1M AB1 0 O1M AB1 4) O1M AC O1M AC 0 O B AB y AB 2 x AC AB 0 1 1 1 1 1 2 O1 B1 AC y AB1 AC x AC 0 5) O1 B1 AB1 y AB1 x AC AB1 0 2 О1 2 O1 B1 AC y AB1 AC x AC 0 1 O1 B1 AB1 (a b )(a c ); 2 2 AB1 (a c ) 2 a 2 c 2 2; M AC AB1 (a b )(a c ) a 2 1; 1 1 2 1 2 O1 B1 AC (a b )(a b ) a b 0; 2 2 2 2 Получим систему: AC (a b ) 2 a 2 b 2 2. 1 1 1 x 2 y x 0 2 y x 6 2 2 0 y 2 x 0 2 x y 0 y 1 3 O1M O1B1 x AC y AB1 ; 1 O1 B1 (a b ); AC a b ; AB1 a c ; 2 1 1 1 O1M (a b ) (a b ) (a c ); 2 6 3 1 1 1 O1M a b c ; 3 3 3 1 1 1 3 | O1M | . 9 9 9 3 Метод объёмов В общем случае рассматривают равенство объёмов одной фигуры, выраженных двумя независимыми способами. Так как А1С1 // AC , то А1С1 // (AB1C). Поэтому h=ρ(С1; (AB1C)) = ρ(O1; (AB1C)). Рассмотрим пирамиды О1 M O1 AB1CиB1 AO1C 1 V O1M S AB1C 3 1 V B1O1 S AO1C 3 О1 M 2 2 3 2 1 O1M 2 1 4 2 2 3 O1M . 3