Комплексные числа

Комплексные
числа
содержание урока
Определение комплексного числа
Свойства операций над комплексными
числами
Геометрическая интерпретация комплексных
чисел
Тригонометрическая и показательная форма
комплексного числа
Некоторые важные свойства комплексно
сопряженных чисел
Определение комплексного числа
Комплексными числами называются упорядоченные пары
(х,у) вещественных чисел х и у, для которых следующим
образом введены понятия равенства и операции сложения и
умножения.
Обозначим комплексное число (х,у) = z.
Пусть z1 = (х1,у1), z2 = (х2,у2).
 z1 = z2  х1 = х2 , у1 = у2 ;
 z1 + z2 = (х1+ х2 , у1 + у2);
 z1z2 = (х1х2 – у1у2, х1у2 + х2у1)
В частности
(х1,0) + (х2,0) = (х1+ х2,0); (х1,0) (х2,0) = (х1х2,0).
Поэтому полагают комплексное число (х,0) = х.
Среди комплексных чисел особую роль играет число
(0,1), которое обозначают буквой i и называют мнимой
единицей, т.е.
i = (0,1).
Вычислим произведение
ii = (0,1)(0,1) = (–1,0) = –1, т.е.
i2 = –1.
Пусть у – вещественное число. Вычислим
произведение
iy = (0,1)(y,0) = (0,y).
Тогда z = (х, у) = (х, 0) + (0, y) = x + iy.
Итак, любое комплексное число можно представить в
виде
z = x + iy.
z = x + iy –
алгебраическая форма записи комплексного числа.
х = Re z – действительная часть комплексного числа z,
у = Im z – мнимая часть комплексного числа z.
Если Re z = 0, то число чисто мнимое.
x 2  y 2 называют модулем комплексного числа z и
Число
обозначают z , то есть
z  x  iy  x 2  y 2 .
Комплексное число x – iy называют сопряженным комплексному
числу z = x + iy и обозначают , то есть
z
z  x  iy  x  iy.
Нетрудно проверить, что, что
z  z , z z  z .
2
Свойства операций над комплексными
числами
Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают
свойствами:
• коммутативности, т.е.
z1 + z2 = z2 + z1 ,
z1z2 = z2z1;
• ассоциативности, т.е.
(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3 ), (z1z2)z3 = z1(z2z3);
• дистрибутивности, т.е.
(z1 + z2)z3 = z1z3 + z2z3 .
Эти свойства вытекают из определения операций сложения и
умножения комплексных чисел и свойств операций над
вещественными числами. Отсюда следует, что сложение и умножение
комплексных чисел можно выполнять по правилам действий с
многочленами, заменяя i2 на –1.
Множество комплексных чисел обозначается буквой С.
Числа 0 = 0 + 0i и 1 = 1+ 0i на множестве С имеют такие
же свойства, как и на множестве R, а именно:
z + 0 = z, z1 = z,
zC.
Вычитание на множестве С вводится как операция,
обратная сложению. Для любых комплексных чисел z1 =
х1+ iу1 и z2 = х2 + iу2 существует, и притом только одно,
комплексное число z , такое что
z + z2 = z1 .
Это число называют разностью чисел z1 и z2 и обозначают
z 1 – z2 .
Из определения разности в силу правила равенства и
определения суммы комплексных чисел следует, что
z1 – z2 = (х1– х2 ) + i(у1 – у2).
Деление на множестве С вводится как операция, обратная
умножению. Частным от деления двух комплексных
чисел z1 и z2 0 называется такое комплексное число z,
которое удовлетворяет уравнению
zz2 = z1
z1
.
и обозначается
z2
Практически частное от деления двух комплексных
чисел z1 и z2 0 может быть найдено следующим образом:
ПРИМЕР 1.
z1 z1  z2 z1  z2


.
2
z2 z2  z2
z2
z1 (2  3i) (2  3i)(5  2i) 10  15i  4i  6i 2 4  19i 4 19





 i.
2
2
z2 (5  2i) (5  2i)(5  2i)
5 2
29
29 29
Геометрическая интерпретация
комплексных чисел
y
iy
 z   x  iy
x
-x
0
 z   x  iy
z  x  iy
x
- iy
z  x  iy
Комплексное число удобно
изображать точкой с координатами
(х,у) в декартовой прямоугольной СК
или радиусом-вектором этой точки.
Действительные числа, то есть
числа вида х+0i, изображаются
точками оси абсцисс, а чисто
мнимые числа, то есть числа вида
0+iу – точками оси ординат. Поэтому
ось
абсцисс
называется
действительной осью, а ось ординат
– мнимой осью.
Плоскость,
на
которой
изображаются комплексные числа,
называют комплексной плоскостью.
Тригонометрическая и показательная форма
комплексного числа
z = x + iy
х = rcos, y = rsin,
r
у

0
Пусть r,  – полярные координаты
точки z = x + iy комплексной плоскости,
тогда
х
где
r  x2  y 2  z .
Угол  называют аргументом
комплексного числа z (z  0) и обозначают
 = Arg z = arg z + 2k,
где arg z – главное значение аргумента:
–  < arg z  , k.
Таким образом, любое комплексное число z = x + iy, где z  0,
представляется в виде
z = r(cos + i sin).
Обозначим
ei  cos   i sin .
Отсюда
Формулы
Эйлера
ei  cos  i sin  ,
ei  ei
ei  ei
cos 
, sin  
.
2
2i
Таким образом, комплексное число может быть
записано в показательной форме:
i
z  re .
Показательная форма записи удобна для возведения в
степень и извлечения корня из комплексного числа.
Методом математической индукции нетрудно показать,
что
n
n in
n
z r e
 r (cos n  i sin n),
n  .
Корень n–ой степени w  z из комплексного числа
определяется как такое число w, n-ая степень которого равна
n
подкоренному выражению:
n
w  z.
n
z  n re
i (arg z  2 k )
n

arg z  2k
arg z  2k
 r (cos
 i sin
), k  0,1,..., n  1.
n
n
n
Таким образом, корень
значений w0, w1, … , wn-1.
n
z имеет при z  0 в точности n
ПРИМЕР 2.
Найдем все значения корня четвертой степени из числа – 1.
у
z = –1 = cos( + 2k) + i sin( + 2k);
х
  2k
  2k
4
0
w   1  cos
 i sin
,
-1
4
4
k  0,1,2,3 ;
у
w1
w0
х
1
w2

w3
2
2
w0 
i
;
2
2
2
2
w2  
i
;
2
2
2
2
w1  
i
;
2
2
2
2
w3 
i
.
2
2
Некоторые важные свойства комплексно
сопряженных чисел
•
z  z , arg z   arg z
•
z z  z
•
zz;
•
2
;
;
z1  z2  z1  z2 ;
•
z1  z2  z1  z2 ,
•
 z1  z1
  
 z2  z2
.
zn  z n ;
Из истории комплексных чисел
Впервые мнимые величины появились в труде Дж. Кардано
«Великое искусство, или об алгебраических правилах» (1545 г.). Автор
счел их бесполезными, непригодными к употреблению. Вообще
выражения вида
a  b  1, b  0,
появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, в 16-17
веках стали называть «мнимыми». Однако даже для многих крупных
ученых 17 века алгебраическая и геометрическая сущность мнимых
величин представлялась неясной и даже мистической. Ньютон, например,
не включал мнимые величины в понятие числа, а Г.Лейбницу
принадлежит фраза:
«Мнимые числа – это прекрасное и
чудесное убежище божественного духа,
почти что амфибия бытия с небытием.»