«Мнимые числа – это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием… » Г. Лейбниц Известно, что квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом не имеет решений в области действительных чисел. Например z2 + 1 = 0. Возникает потребность расширить множество вещественных чисел так, чтобы на этом множестве было разрешимо квадратное уравнение с любыми вещественными коэффициентами. Определение комплексного числа Комплексными числами называются упорядоченные пары (х, у) вещественных чисел х и у, для которых следующим образом введены понятия равенства и операции сложения и умножения. Обозначим z = (х, у). Пусть z1 = (х1, у1), z2 = (х2, у2). Тогда z1 = z2 х1 = х2 , у1 = у2 ; z1 + z2 (х1 + х2 , у1 + у2); z1z2 (х1х2 – у1у2, х1у2 + х2у1) Рассмотрим пары вида (х, 0). Для них операции над комплексными числами совпадают с соответствующими операциями над вещественными числами. Поэтому полагают (х,0) = х. Среди комплексных чисел особую роль играет число (0,1), которое обозначают буквой i и называют мнимой единицей. Вычислим произведение i i = (0,1) (0, 1) = (–1, 0) = –1, т.е. i2 = –1. Пусть у – вещественное число. Вычислим произведение i y = (0, 1) (y, 0) = (0, y). Тогда z = (х, у) = (х, 0) + (0, y) = x + iy. Итак, любое комплексное число можно представить в виде z = x + iy. Это алгебраическая форма записи комплексного числа. Здесь х = Rez – действительная часть комплексного числа z, у = Imz – мнимая часть комплексного числа z. Если Rez = 0, то число чисто мнимое. z x 2 y 2 – модуль комплексного числа z. z x iy – комплексно сопряженное к z число. z z z . 2 Свойства операций над комплексными числами 1) z1 + z2 = z2 + z1, z1 z2 = z2 z1 – коммутативность; 2) (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3 ), (z1 z2) z3 = z1 (z2 z3 ) – ассоциативность; 3) (z1 + z2) z3 = z1 z3 + z2 z3 – дистрибутивность. Эти свойства вытекают из определения операций сложения и умножения комплексных чисел и свойств операций над вещественными числами. Отсюда следует, что сложение и умножение комплексных чисел можно выполнять по правилам действий с многочленами, заменяя i2 на –1. Множество комплексных чисел обозначается С. Вычитание – операция, обратная сложению. Разностью двух комплексных чисел z1 и z2 называется комплексное число z, такое что z + z2 = z 1 . z = z1 – z2 = (х1– х2 ) + i(у1 – у2) – разность чисел z1 и z2. Деление – операция, обратная умножению. Частным двух комплексных чисел z1 и z2 0 называется комплексное число z , такое что z z2 = z1 z z1 z1 z2 . 2 z2 z2 Геометрическая интерпретация комплексных чисел Для геометрического изображения комплексных чисел удобно пользоваться декартовой прямоугольной системой координат. При этом комплексное число изображается точкой с координатами (х, у) или вектором ОМ, идущим из начала координат в точку М(х, у). Ось ОХ – действительная ось, ось ОУ – мнимая ось. Модуль комплексного числа – длина вектора ОМ. Y M( x, y) iy z = x + iy O x X Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа Наряду с декартовой можно ввести полярную систему координат, так чтобы полюс находился в точке О, а полярная ось была направлена вдоль положительного направления оси ОХ. Тогда r =z, х = rcos, y = rsin и z = r(cos + i sin) – тригонометрическая форма комплексного числа. Здесь угол – аргумент комплексного числа z. Он определяется неоднозначно. Используется следующее обозначение: = Argz = argz + 2k, где – < argz , k , argz – главное значение аргумента. Обозначим ei = cos + i sin. Отсюда, в частности, получим е–i = cos – i sin, cos ei e i , 2 sin ei e i . 2i Эти четыре формулы называются формулами Эйлера. Таким образом комплексное число может быть записано в показательной форме z = r ei. Такая форма записи удобна для возведения в степень и извлечения корня из комплексного числа: z n = rn ein = rn(cosn + i sinn); n z = n re i (arg z 2k ) arg z 2k arg z 2k n i sin = n r cos , k 0, 1, ... , n 1. n n Некоторые важные свойства комплексно-сопряженных чисел 1) | z | = | z|, arg z arg z ; 2) 2. z z z ; 5) 5. z1 z2 z1 z2 ; 2 z z 6) 6. 1 1 ; z2 z2 3) 3. z z ; n 4) z1 z 2 z1 z 2 ; 7) 7. z n z .