комплесные числа

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение – лицей № 21
Реферат по математике:
«КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА»
Выполнила:
ученица 10 «б» класса
МБОУ Лицея № 21
Семёнова Ангелина
Владимировна
Учитель: Уланова
Татьяна Николаевна
г.Дзержинск, 2013 г.
Содержание
1.
2.
3.





4.
5.


6.
Введение
История открытия комплексных чисел
Действия над комплексными числами
Сравнение
Сложение
Вычитание
Умножение
Деление
Геометрическая модель
Связанные определения
Модуль и аргумент
Сопряженные числа
Список литературы
Введение
Решение многих задач физики и техники приводит к квадратным
уравнениям с отрицательным дискриминантом. Эти уравнения
не имеют решения в области действительных чисел. Но решение
многих таких задач имеет вполне определенный физический
смысл. Значение величин, получающихся в результате решения
указанных уравнений, назвали комплексными числами.
Цель данного реферата состоит в том, чтобы ознакомить
учащихся средних школ с важнейшим и новым для них
математическим понятием комплексного числа.
Рассмотрим решение квадратного уравнения х2 +1 = 0. Отсюда
х2 = -1. Число х, квадрат которого равен –1, называется мнимой
единицей и обозначается i. Таким образом , i2 = -1,
откуда i =
.
В общем виде комплексное число записывается, а + bi,
где a и b- действительные числа, а i – мнимая единица. Число, а
называется действительной частью комплексного числа, biмнимой частью этого числа, b- коэффициентом мнимой части
комплексного числа.
История открытия
комплексных чисел
Впервые, по-видимому, мнимые величины были упомянуты в
известном труде «Великое искусство, или об алгебраических
правилах» Кардано (1545), в рамках формального решения
задачи по вычислению двух чисел, которые в сумме дают 10, а
при перемножении дают 40. Он получил для этой задачи
квадратное уравнение для одного из слагаемых, и нашёл его
корни:
и
.
Возможность использования мнимых величин при решении
кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае
(когда вещественные корни многочлена выражаются через
кубические
корни
описал Бомбелли (1572).
из
мнимых
Он
же
величин),
впервые
впервые
описал
правила
сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел,
однако всё равно считал их бесполезной и хитроумной
«выдумкой».
Выражения, представимые в виде
, появляющиеся
при решении квадратных и кубических уравнений, стали
называть «мнимыми» в XVI—XVII веках с подачи Декарта,
который называл их так, отвергая их реальность, и для многих
других
крупных
ученых XVII
века природа
и
право
на
существование мнимых величин представлялись весьма
сомнительными, так же как сомнительными в то время считали
и иррациональные числа, и даже отрицательные величины.
Несмотря на это, математики смело применяли формальные
методы
получали
алгебры
вещественных
корректные
величин
вещественные
к
комплексным,
результаты
даже
из
промежуточных комплексных, и это не могло не начать внушать
доверие.
Долгое время было неясно, все ли операции над комплексными
числами
приводят
к
комплексным
или
вещественным
результатам, или, например, извлечение корня может привести к
открытию ещё какого-то нового типа чисел. Задача о выражении
корней степени
из данного числа
работах Муавра (1707) и Котса(1722).
Символ
для
обозначения
была
решена
мнимой
в
единицы
предложил Эйлер (1777), взявший для этого первую букву
слова лат. imaginarius — мнимый. Он же распространил все
стандартные функции, включая логарифм, на комплексную
область.
Эйлер
также
высказал
в 1751
году мысль
об
алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. К такому
же
выводу
пришёл д’Аламбер (1747),
но
первое
строгое
доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Гаусс и
ввёл в широкое употребление термин «комплексное число»
в 1831 году. Арифметическая (стандартная) модель комплексных
чисел
как
пар
вещественных
чисел
была
построена Гамильтоном (1837);
это
доказало
непротиворечивость их свойств. Существенно ранее, в 1685
году в
работе
«Алгебра» Валлис (Англия)
показал,
что
комплексные корни квадратного уравнения с вещественными
коэффициентами можно представить геометрически, точками на
плоскости. Но это прошло незамеченным. Следующий раз
геометрическое истолкование комплексных чисел и действий
над ними появилось в работе Весселя (1799). Современное
геометрическое
представление,
иногда
называемое
«диаграммой Аргана», вошло в обиход после опубликования
в 1806-м
и 1814-м
годах работы Ж. Р. Аргана,
повторявшей
независимо выводы Весселя. Термины «модуль», «аргумент» и
«сопряжённое число» ввёл Коши. Таким образом, было
обнаружено, что комплексные числа пригодны и для выполнения
чисто
алгебраических
операций
сложения,
вычитания,
умножения и деления векторов на плоскости, что сильно
изменило векторную алгебру.
Действия над комплексными
числами
1.СРАВНЕНИЕ
означает,
что
и
(два комплексных числа равны
между собой тогда и только тогда, когда равны их
действительные и мнимые части).
2. СЛОЖЕНИЕ
Например:
(2 + 3i) + (5 + i) = (2 + 5) + (3 + 1)i = 7 + 4i;
3.ВЫЧИТАНИЕ
определяется как действие, обратное сложению
Например:
(5 – 8i) – (2 + 3i) = (3 – 2) + (– 8 – 3)i = 1 – 11i;
4.УМНОЖЕНИЕ
Произведение двух чисто мнимых чисел – действительное число.
Например:
(– 1 + 3i)(2 + 5i) = – 2 – 5i + 6i + 15i2 = – 2 – 5i + 6i – 15 = – 17 + i; (2 +
3i)(2 – 3i) = 4 – 6i + 6i – 9i2 = 4 + 9 = 13.
5.ДЕЛЕНИЕ
определяется как действие, обратное умножению
c + di ≠0
Например:
Геометрическая модель
Геометрическая интерпретация комплексных чисел состоит в
том, что каждому комплексному числу z = x + yi ставится в
соответствие точка (x, y) координатной плоскости таким образом,
что действительная часть комплексного числа представляет
собой абсциссу, а коэффициент при мнимой части – ординату
точки.
Изображена координатная плоскость. Числу 2 + 3i соответствует
точка A(2, 3) плоскости; числу 2 – 3i – точка B(2, – 3); числу – 2 + 3i
– точка C(– 2, 3); числу – 2 – 3i – точка D(– 2; – 3). Числу 3i
соответствует точка E(0, 3); а числу – 3i – точка F(0, – 3). Итак,
каждому комплексному числу соответствует единственная точка
координатной плоскости и, обратно, каждой точке координатной
плоскости соответствует единственное комплексное число, при
этом двум различным комплексным числам соответствуют две
различные точки координатной плоскости. Ясно, что
действительным числам x + 0i соответствуют точки оси абсцисс, а
чисто мнимым числам 0 + yi, где y ≠ 0 – точки оси ординат.
Поэтому ось Oy называют мнимой, а ось Ox – действительной
Связанные определения
1.МОДУЛЬ И АРГУМЕНТ
Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа
называется длина радиус-вектора соответствующей
точки комплексной плоскости (или, что то же, расстояние между
точкой комплексной плоскости, соответствующей этому числу, и
началом координат).
Модуль комплексного числа Z обозначается ІZІ и определяется
выражением
буквами
. Часто обозначается
r или P .Если Z является вещественным числом, то
ІZІ совпадает с абсолютной величиной этого вещественного
числа.
Для любых
модуля:
1)
имеют место следующие свойства
, причём
тогда и только тогда, когда
2)
(неравенство треугольника);
3)
;
4)
.
;
2.СОПРЯЖЕННЫЕ ЧИСЛА
Если
комплексное
число
число
,
то
называется сопряжённым (или
комплексно сопряжённым) к
(часто обозначается также
).
На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются
зеркальным отражением друг друга относительно вещественной
оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как у исходного, а их
аргументы отличаются знаком.
Переход к сопряжённому числу можно рассматривать
как одноместную операцию; перечислим её свойства.

(сопряжённое к сопряжённому есть исходное).
произведение и сумма комплексно-сопряженных чисел есть
действительное число:


Другие соотношения:


Умножение числителя и знаменателя комплексной дроби при
комплексном знаменателе на сопряжённое к знаменателю
выражению
используется
для
устранения
комплексности
знаменателя, что позволяет выразить выражение в канонической
форме комплексного числа или функции.
Обобщение:
,
где
—
многочлен с вещественными коэффициентами.


произвольный
Список литературы
Арнольд В. И. Геометрия комплексных чисел, кватернионов и
спинов, МЦНМО, 2002
Елисеев В. И. «Введение в методы теории функций
пространственного комплексного переменного», Центр научнотехнического творчества молодежи Алгоритм. — М.:, НИАТ. —
1990. Шифр Д7-90/83308
Понтрягин Л. Комплексные числа, Квант, № 3, 1982.
http://ru.wikipedia.org