Глава 2 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. Общая характеристика методов решения систем линейных уравнений 2.2. Метод обратной матрицы. Формула Крамера Имеем линейную систему уравнений с n неизвестными: a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 … an1 x1 an 2 x2 ann xn bn . (2.1) Введем матрицы: a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2 n – матрица системы из A ... ... ... ... коэффициентов при неизвестных, a a ... a nn n1 n 2 x1 X x2 – вектор-столбец неизвестных, x n b1 B b2 – вектор-столбец свободных членов. b n Системе (2.1) соответствует матричное уравнение AX B . (2.2) Решение уравнения (2.2) на базе обратной матрицы имеет вид X A1B . (2.3) Другой разновидностью формы решения (2.3) является формула Крамера j , j 1,2,..., n , (2.5) xj где Δ – главный определитель системы (2.1); 1 2 j n – номера столбцов; a11 a12 ... b1 ... a1n a21 a22 ... b2 ... a2 n – определитель, полученный j ... ... ... ... ... ... путем замены в главном определителе системы (Δ) an1 an 2 ... bn ... ann столбца коэффициентов при неизвестном xj столбцом коэффициентов свободных членов (B). 2.3. Метод Гаусса Для простоты рассуждений ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестными 1) a11 x1 a12 x2 a13 x3 a14 x4 a15 , 2) a21 x1 a22 x2 a23 x3 a24 x4 a25 , 3) a31 x1 a32 x2 a33 x3 a34 x4 a35, 4) a41 x1 a42 x2 a43 x3 a44 x4 a45 . Изложим последовательность операций при прямом ходе. (2.7) Первый шаг. Разделим коэффициенты первого уравнения на a11, в результате чего оно примет вид x1 b12 x2 b13 x3 b14 x4 b15 . (2.8) Пользуясь уравнением (2.8), можно исключить Переменную x1 из уравнений № 2, 3, 4 системы (2.7). Для этого нужно из уравнения №2 системы вычесть уравнение (2.8), умноженное на a21, из уравнения №3 системы вычесть уравнения (2.8), умноженное на a31 и т.д. В результате получим систему из трех уравнений с тремя неизвестными: (1) (1) (1) (1) x2 a23 x3 a24 x4 a25 1) a22 , (1) (1) (1) (1) a x a x a x a (2.9) 2) 32 2 33 3 34 4 35 , 3) a42 x2 a43 x3 a44 x4 a45 . (1) (1) (1) (1) Второй шаг состоит в исключении x2 из уравнений № 2, 3 системы (2.9). x2 b23 x3 b24 x4 b25 . (2.11) Используя (2.11), исключаем x2 из уравнений № 2, 3 системы (2.9) и получаем систему второго порядка: 1) a x a x a , (2) 33 3 (2) 34 4 (2) 35 (2) (2) (2) 2) a43 x3 a44 x4 a45 . (2.12) Третий шаг. Разделим первое уравнение (2) системы (2.12) на ведущий элемент a33 , что дает x3 b34 x4 b35 . (2.13) С помощью этого уравнения исключим x3 из второго уравнения системы (2.12) и получим (3) (3) a44 x4 a45 . (2.14) Таким образом, исходную систему (2.7) удалось привести к эквивалентной системе с треугольной матрицей: x1 b12 x2 b13 x3 b14 x4 b15 , x2 b23 x3 b24 x4 b25 , x3 b34 x4 b35 , (3) (3) a44 x4 a45 . (2.15) Обратный ход связан с последовательным переходом от последнего уравнения системы (2.15) к первому, в процессе которого осуществляется непосредственный расчет значений x: (3) (3) x4 a45 a44 , x3 b35 b34 x4 , x2 b25 b24 x4 b23 x3 , x1 b15 b14 x4 b13 x3 b12 x2 . (2.16) a11 A a12 a13 (1) a22 (1) a23 (2) a33 a14 (1) a24 . (2) a34 (3) a44 (2.21) Определитель матрицы A равен произведению «ведущих» элементов в схеме Гаусса: D det A a a a a . (1) (2) (3) 11 22 33 44 (2.22) 2.4. Метод простой итерации для решения систем линейных уравнений Имеем линейную систему уравнений с n неизвестными: a11 x1 a12 x2 a21 x1 a22 x2 … an1 x1 an 2 x2 a1n xn b1 , a2 n xn b2 , ann xn bn . (2.23) Эквивалентная система уравнений: x1 f1 c12 x2 c13 x3 ... c1n xn , x2 f 2 c22 x2 c23 x3 ... c2 n xn , … (2.24) xn fn cn 2 x2 cn3 x3 ... cn,n1xn1 , bi c aij где fi ; ij при i j и aii aii cii 0 i, j 1,2,..., n (2.25) Итерационный процесс для системы (2.24): x ( k 1) f cx ( k ) k 0,1,2,..., (2.27) где k – номер итерации. Для сходящегося процесса решением является x lim f cx( k ) . k (2.28) Условие сходимости: aii aij i j i, j 1,2,..., n , (2.39) т.е. модуль диагонального коэффициента для каждого уравнения больше суммы модулей его недиагональных коэффициентов. Условие завершения итерационного процесса: xi( k ) xi( k 1) . (2.44) 2.5. Метод Зейделя для решения линейных систем Метод Зейделя представляет собой некоторую модификацию метода простой итерации. Считаем, что дана линейная система, приведенная к итерационному виду (2.24): n xi fi cij x j i 1,2,..., n . j 1 (2.62) Полагаем, что найдено k-е приближение xi( k ) всех корней. Согласно методу Зейделя, (k+1)-е приближение корней будет определяться по следующим формулам: n x1( k 1) f1 cij x (jk ) , j 1 x2( k 1) f 2 c21x1( k 1) c22 x2( k ) c23 x3( k ) ... c2 n xn( k ,) ( k 1) 3 x ( k 1) 31 1 f3 c x ( k 1) 32 2 c x … c x (k ) 33 3 ... c x , (k ) 3n n (2.63) i 1 n j 1 j i xi( k 1) fi cij x(jk 1) cij x (jk ,) ( k 1) n x n 1 f n cij x j 1 ( k 1) j … c x , (k 0,1, 2,...) . (k ) nn n Метод Зейделя обеспечивает, как правило, лучшую сходимость, чем метод простой итерации.