Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Системы линейных
алгебраических
уравнений
(СЛАУ)
a11 x1  a12 x2  a13 x3  ...  a1n xn  b1
a x  a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
23 3
2n n
2

..........
..........
..........
..........
..........
.....

am1 x1  am 2 x2  am 3 x3  ...  amn xn  bm
• Здесь
aij
где
i
j
bi
x1 , x2 ,..., xn
- неизвестные;
- коэффициенты при неизвестных,
- номер уравнения,
- номер неизвестного;
- свободные члены (правые части).
• Система наз. неоднородной, если
не все bi равны нулю.
Система наз. однородной, если все
bi равны нулю.
• Матрица системы
 a11 a12

 a21 a22
A
... ...

 a m1 a m 2
a13
a23
...
am 3
... a1n 

... a2 n 

... ...

... amn 
Расширенная матрица
 a11 a12

a
a

21
22

A 
... ...

a
a
 m1 m 2
b1 

... a2 n b2 

... ... ...

... amn bm 
... a1n
Решением системы будем называть
упорядоченный набор чисел
x1 , x2 ,..., xn
обращающий каждое уравнение
системы в верное равенство.
Решить систему — значит найти
все ее решения или доказать, что ни
одного решения нет.
Система, имеющая хотя бы одно
решение, называется совместной.
Если система имеет только одно
решение, то она называется
определенной.
Если система не имеет решений, то
она называется несовместной.
Система, имеющая более чем одно
решение, называется неопределенной
(совместной и неопределенной).
Если число уравнений системы
совпадает с числом неизвестных , то
система называется квадратной.
Две системы, множества решений
которых совпадают, называются
эквивалентными или равносильными.
Преобразование, применение которого
превращает систему в новую
систему, эквивалентную исходной,
называется эквивалентным или
равносильным преобразованием.
Метод Гаусса
Рассмотрим квадратную систему:
 x1  x2  3x3  2 x4
4 x  6 x  x
 1
2
3

3
x

2
x

2
x

x
1
2
3
4

5 x1  x2  2 x3  x4
 11;
 1;
 3;
 2.
Исходную систему можно представить в
виде матрицы:
 1  1 3 2 11


 4 6  1 0  1
 3 2 2  1 3


1 2
 5 1 2
 1  1 3 2 11


 4 6  1 0  1
 3 2 2  1 3


1 2
 5 1 2
 1  1 3 2 11


 4 6  1 0  1
 3 2 2  1 3


1 2
 5 1 2
(-4) (-3) (-5)
+
+
+






0
3
1
10  13
0
0
5 7
4  13
1
11
2

 8  45 

 7  30

 9  53 
2
+
(-2)
(-5)
+







1
0
0
0
1
3
10  13
0
1
0
39
2
11

 8  45 

6 15


29 175 
(-39)
+







1
1
0
0
10
0
0
0
11 

 13
 8  45 

1
6
15


0  205  410 
3
2
Полученная матрица соответствует системе:
 x1  x2  3x3  2 x4  11;

 10 x2  13 x3  8 x4   45;

x3  6 x4 
15;


 205 x4   410 .
 x1  11  x2  3x3  2 x4  11  1  3  3  2  2 

  11  1  9  4  1;
10 x2  45  13 x3  8 x4   45  13  3  8  2 

 45  39  16  10; х2  1;

 x3  15  6 x4  15  6  2  15  12  3;

 x4  2.
 6 x1  9 x2  3x3  2 x4  4

 2 x1  3x2  5 x3  4 x4  2
 4 x  6 x  4 x  3x  3
1
2
3
4

  6 9 3 2 4


  2 3 5 4 2
  4 6 4 3 3


(-3)

2
3
5
4
2



 +
  6 9 3 2 4
  4 6 4 3 3


(-2)
+
5
4
2 
 2 3


 0 0  12  10  2 
 0 0  6  5 1


5
4
2 
 2 3


(-2)
0
0

6

5

1


 0 0  12  10  2  +


4
2
 2 3 5


 0 0  6  5  1
 0 0 0

0
0

 2 3

 0 0
5
4 2

 6  5  1
• Рассмотрим минор
2 5
0
6
 12  0
назовем его базисным. Тогда
x1 , x3  базисные переменные.
 2 x1  3 x2  5 x3  4 x4  2

 6 x3  5 x4  1

5 x4  1
x3 
;
6
5
1
x3   x4  ;
6
6
 2 x1  2  3 x2  5 x3  4 x4 ;
2  3 x2  5 x3  4 x4
x1 
;
2
3
5
x1  1  x2  x3  2 x4 
2
2
3
5 5
1
 1  x2    x4    2 x4 
2
2 6
6
3
25
5
7 3
1
 1  x2  x4   2 x4    x2  x4 ;
2
12
12
12 2
12
3
1
7
x1  x2  x4  ;
2
12
12
5
1
x3   x4  ;
6
6
3
1
7
x1  C2  C4  ;
2
12
12
x2  C2 ;
5
1
x3   C4  ;
6
6
x4  C4 .
Метод
Жордана-Гаусса
a11 x1  a12 x2  a13 x3  ...  a1n xn  b1
a x  a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
23 3
2n n
2

..........
..........
..........
..........
..........
.....

an1 x1  an 2 x2  an 3 x3  ...  ann xn  bn
 a11 a12

a
a

21
22

A 
... ...

 an1 an 2
... a1n b1 

... a2 n b2 

... ... ...

... ann bn 
1

0
 ...

0

b1 

1 ... 0 b2 

... ... ... ...

0 ... 1 bn 
0 ... 0
 x1  2 x2  4 x3  31

5 x1  x2  2 x3  29
3x  x  x  10
2
3
 1
 1 2 4 31 


 5 1 2 29 
 3  1 1 10 


a
b
d
c
aс bd
с 
a
столбец
разрешающий
 1 2 4 31 


 5 1 2 29 
 3  1 1 10 


разрешающая
строка
 1 2 4 31


 0 .... .... ....
 0 .... .... ....


4
31 
1 2


 0  9  18  126 
 0  7  11  83 


4
31 
1 2

  1
 0  9  18  126     
9


 0  7  11  83 


4
31 
1 2


2
14 
0 1
 0  7  11  83 


 1 0 ... ... 


 0 1 2 14 
 0 0 ... ... 


1 0 0 3 


 0 1 2 14 
1
 0 0 3 15 

3
1 0 0 3 


 0 1 2 14 
0 0 1 5 


 1 0 0 ....


 0 1 0 ....
0 0 1 5 


1 0 0 3


0 1 0 4
0 0 1 5


 x1  3

x

4
 2
x  5
 3
 6 x1  9 x2  3x3  2 x4  4

 2 x1  3x2  5 x3  4 x4  2
 4 x  6 x  4 x  3x  3
1
2
3
4

  6 9 3 2 4


  2 3 5 4 2
  4 6 4 3 3


  2 3 5 4 2


  6 9 3 2 4
  4 6 4 3 3


1

2
3

 1 
2


6
9

 4
6


5

2
3
4

 2  1

2
4
3
3 

3

1 
2

0
0

0
0


5


 2 1
2

 12  10  2 
 6  5  1 

3

1 
2

0
0

0
0



 2 1
 1
 5 1  6
 12  10  2 

5

2
6
3

1 
2

0
0

0
0



 2 1

5
1
1
6
6
 12  10  2 


5

2
3

1 
2

0
0

0
0


1
0
12
5
1
6
0 0
7
 
12 
1 
6 
0 


3
1
7

x

x

x


 1 2 2 12 4
12

5
1

x

x

3
4

6
6
3
1
7
x1  x2  x4  ;
2
12
12
5
1
x3   x4  .
6
6
3
1
7
x1  C2  C4  ;
2
12
12
x2  C2 ;
5
1
x3   C4  ;
6
6
x4  C4 .
Матричный метод
• С помощью этого метода можно
решать квадратные системы
линейных уравнений
a11 x1  a12 x2  a13 x3  ...  a1n xn  b1
a x  a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
23 3
2n n
2

..........
..........
..........
..........
..........
.....

an1 x1  an 2 x2  an 3 x3  ...  ann xn  bn
• Систему можно записать в виде
A X  B
где
 a11

 a21
A
...

 a n1
(1)
a12 a13 ... a1n 

a22 a23 ... a2 n 

... ... ... ...

an 2 an 3 ... ann 
 x1 
 
 x2 
X  
...
 
 xn 
 b1 
 
 b2 
B 
...
 
 bn 
• Если матрица
A
невырожденная, то
можно выполнить преобразования
A  A X  A  B
1
1
X  A B
1
(2)
x  2 y  z  2

2 x  y  3 z  9
5 x  2 y  2 z  3

1 2 1
 x
 2


 
 
A   2  1 3 , X   y , B   9 
 5 2  2
z
 3


 
 
X  A B
1
А
1
 А11
1
  А12

А
 13
А21
А22
А23
А31 

А32 

А33 
1
2
  2 1
5
2
1
3  2  4  30  5  6  8  25
2
1 3
A11 
 2  6  4
2 2
2 3
A12  
 (4  15)  19
5 2
2 1
A13 
459
5 2
2 1
A21  
 (4  2)  2
2 2
1 1
A22 
 2  5  3
5 2
1 2
A23  
 (2  10)  8
5 2
2 1
 6 1 5
A31 
1 3
1 1
 (3  2)  5
A32  
2 3
1 2
 1  4  5
A33 
2 1
 4 2 5 


1
1
A   19 3  5 
25 

5

8
9


 x
  4 2 5   2
  1 
  
X   y    19 3  5    9  
25
z
 9 8  5  3
 

  
  42  29  53 

1 
 19  2  3  9  (5)  3  
25 

 9  2  8  9  (5)  3 
  8  18  15 
 25   1 
 1   
1
  38  27  15    50    2 
25 
25





 18  72  15 
 75   3 
x 1
y2
z 3
Метод Крамера
• Если определитель системы n
линейных уравнений с n
неизвестными отличен от нуля, то
эта система является определенной
и её единственное решение
находится по формулам
i
xi 

i  1,2,...., n
a11
a12
... a1n
a 21

...
a n1
a 22
...
an 2
... a 2 n
... ...
... a nn
Здесь
i
– определитель,
получающийся из определителя
заменой i-го столбца столбцом
свободных членов.

 x1 
 A11 A21
 

 x2  1  A12 A22

 ...    ... ...
 

 xn 
 A1n A2 n
... An1   b1 
  
... An 2   b2 




... ...
...
  
... Ann   bn 
A11  b1  A21  b2  ...  An1  bn
x1 

b1 a12 ... a1n
b2 a22 ... a2 n
 A11  b1  A21  b2  ...  An1  bn
... ... ... ...
b n an 2 ... ann
1
x1 

x  2 y  z  2

2 x  y  3 z  9
5 x  2 y  2 z  3

x
x
;

y
y
;

z
z

1 2 1
  2 1 3 
5 2 2
 2  4  30  5  6  8  25
2 2 1
x  9 1 3 
3 2 2
 4  18  18  3  12  36  25
1 2 1
y  2 9 3 
5 3 2
 18  30  6  45  9  8  50
1 2 2
z  2 1 9 
5 2 3
 3  8  90  10  12  18  75
25
x
 1;
25
50
y
 2;
25
75
z
 3.
25
• Если   0 и по крайне мере один из
определителей  i  0, то система не
имеет решения.
• Если   0 и  i  0 , система либо
не имеет решения, либо имеет
бесконечно много решений.
x  y  2z  2

2 x  2 y  4 z  4
3 x  3 y  6 z  3

1
1 2
1 1 2
  2  2 4  2  1 1 2  0
3 3 6
3 3 6
1 2
2 1 2
2
x  4  2 4  2  2 1 2  0
3 3 6
3 3 2
1 2 2
1 2 2
y  2 4 4  2 1 2 2  0
1
3 3 6
3 3 6
1 2
1 1 2
z  2  2 4  2  1 1 2  0
3 3 3
3 3 3
• Система не имеет решения, т.к.
первое и третье уравнения
противоречивы
2 x  3 y  z  3

4 x  6 y  2 z  6
3 x  y  2 z  1

2
3
1
2
3
1
 4
6
 2  2 2
3
1  0
3 1
3 1
2
3
3
1
x  6
6
2 0
1 1
2
2
2
3
1
2
3
1
y  4
6
 2  2 2
3
1  0
3 1
3 1
2
2
3
3
z  4
6
6 0
3 1 1
2
• Второе уравнение получается
умножением первого на два. Данная система
равносильна системе
2 x  3 y  z  3

3
x

y

2
z


1

Система имеет бесчисленное множество
решений.
2
3
3 1
 2  9  11
y  3x  2 z  1
2 x  33 x  2 z  1  z  3
2x  9x  6z  3  z  3
11x  5 z  0
5
x z
11
15
y   z  2z  1
11
7
y 1 z
11
5
x z
11
7
y 1 z
11
zz
Теорема
Кронекера-Капелли
m
Для того чтобы система
неоднородных линейных уравнений
с
неизвестными была совместной,
необходимо и достаточно, чтобы
n
r  A  r  A


• Замечание. Пусть система совместна и
r  A  r  A   k

-
-
k n
если число уравнений равно
числу неизвестных, причем   0 , то
система имеет единственное решение;
k  n если число уравнений меньше
числа неизвестных, то система имеет
множество решение.
1 5 4 3 1


*
A   2  1 2  1 0
5 3 8 1 1


(-2) (-5)
5
4
3
1 
1


(-2)
0

11

6

7

2


 0  22  12  14  4 


4
3
1 
1 5


 0  11  6  7  2 
0 0

0
0
0 

r ( A)  r ( A )  2  4
*
1 14
2
x1   x3  x4 ;
11 11
11
2 6
7
x 2   x3  x 4 .
11 11
11
Однородные системы
 a11x1  a12 x2  ...  a1n xn  0,
 a x  a x  ...  a x  0,
 21 1
22 2
2n n

..........
..........
..........
..........
.....

am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  0.
Теорема о совместности
однородной системы
Для того чтобы однородная система
линейных уравнений имела решение,
необходимо и достаточно, чтобы ранг
матрицы этой системы был меньше числа
неизвестных n.