Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ Математический анализ 2 семестр Лекция 12 Производные и дифференциалы неявных функций, производные и дифференциалы высших порядков Формула Тейлора для функций нескольких переменных. Экстремум функций нескольких переменных. 21 мая 2014 года Лектор: Профессор НИЯУ МИФИ, д.ф.-м.н. Орловский Дмитрий Германович Производные неявных функций f1 ( x1 , x2 , . . . , xn , y1 , y2 , . . . , yk ) 0, f ( x , x , . . . , x , y , y , . . . , y ) 0, n 1 2 k 2 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , f i ( x1 , x2 , . . . , xn , y1 , y2 , . . . , yk ) 0, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , f k ( x1 , x2 , . . . , xn , y1 , y2 , . . . , yk ) 0. k f i f y j i 0 xm j 1 y j xm y1 y1 ( x1 , x2 , . . . , xn ), y y ( x , x , . . . , x ), 2 1 2 n 2 . . . . . . . . . . . . . . , yi yi ( x1 , x2 , . . . , xn ), . . . . . . . . . . . . . . , yk yk ( x1 , x2 , . . . , xn ). f f i f f i y y j , , x xm y ym x xm f f y f y f 0, x y x y x x 1 f f y x y x Примеры Метод дифференциалов x2 y2 z 2 2 xdx 2 ydy 2 zdz c 2 xdx c 2 ydy 2 2 1, 2 2 0, dz 2 2 , 2 2 a b c a b c a z b z c2 x c2 y zx 2 , z y 2 a z b z z 3 xz y 0, 3z 2 dz (dx) z xdz dy 0, (3z 2 x)dz zdx dy, zdx dy z dy dz dx , 2 2 2 3z x 3z x 3z x z 1 zx 2 , zy 3z x x 3z 2 Примеры x y z 0 2 2 2 x y z 1 f1 f1 dx x y dz f f dy 2 2 x y dz y yx J 1 x yx f1 ( x, y, z ) x y z, f 2 ( x, y , z ) x 2 y 2 z 2 1 1 f1 z f 2 z 1 2( y x ) 1 2(y x) f1 f1 x y 1 1 J f 2 f 2 2x 2 y x y y dx dz y x dy x dz yx f1 ( x, y, z ) 0 f 2 ( x, y , z ) 0 f1 z 1 f 2 2 z z 1 zy 1 2( y x) y x 1 xz 2z 2(y x) y x Примеры u v x y sin u x sin v y f1 ( x, y, u, v) 0 f 2 ( x, y, u, v) 0 f1 ( x, y, u, v) u v x y f 2 ( x, y, u, v) x sin v y sin u u x v x f1 f1 1 1 u v J f 2 f 2 y cos u x cos v u v 1 u f1 f1 f1 f1 x y y u v f 2 f 2 f 2 f 2 v y u v x y f1 f1 1 x y 1 f f sin v sin u 2 2 x y Примеры x cos v 1 1 1 x cos v y cos u J 1 y cos u y cos u x cos v x cos v y cos u u x v x u x cos v y x cos v y cos u v y cos u y x cos v y cos u x cos v sin v x cos v y cos u y cos u sin v x cos v y cos u 1 x cos v y cos u 1 x cos v y cos u 1 1 x cos v y cos u 1 sin v sin u 1 x cos v y cos u x cos v sin u x cos v y cos u y cos u sin u x cos v y cos u Производные высших порядков Вторые производные (или производные второго порядка) 2 f f xi x j xi x j Частные производные произвольного порядка k f xi1 xi2 ... xik xi1 k 1 f xi ... xi k 2 Производные высших порядков Пример. y 0 y 0 x 0 x 0 x2 y2 2 2 , x y 0, xy 2 f ( x, y ) x y 2 0 , x y 0. f (0, y ) x2 y2 x2 y2 y 2 xy 2 y 2 x 0 2 x 0 x x y x x y f (0,0) f ( x,0) f (0,0) lim lim 0 0 y y 0 x 0 x 0 x x f ( x,0) x2 y2 x2 y2 x 2 xy 2 x 2 y 0 2 y 0 y x y y x y f (0,0) f (0, y ) f (0,0) lim lim 0 0 x x 0 x 0 y 0 y y f (0, y ) y x f ( x,0) x y 2 f 2 f 2 f 2 f (0,0) 1, (0,0) 1 yx xy yx xy Производные высших порядков Теорема. Пусть в некоторой окрестности точка x=a существуют частные производные 2 f 2 f , xi x j x j xi и они непрерывны в точке x=a. Тогда 2 f 2 f (a) (a) xi x j x j xi Производные высших порядков Доказательство. В последующих выкладках будут меняться только переменные xi и xj. Для сокращения записи обозначим их x и y, а вместо f(x1,x2,…,xn) будем писать f(x,y). Таким образом, надо проверить равенство 2 f 2 f ( x0 , y0 ) ( x0 , y0 ) xy yx если в точке (x0,y0) обе части равенства непрерывны. Производные высших порядков F ( x, y) f ( x, y) f ( x, y0 ) f ( x0 , y) f ( x0 , y0 ), ( x) f ( x, y) f ( x, y0 ), ( y) f ( x, y) f ( x0 , y) ( x) ( x0 ) ( y) ( y0 ) F ( x, y) f 2 f f F ( x, y ) (ξ1 , y ) (ξ1, y0 ) ( x x0 ) (ξ1, η1 )( x x0 )( y y0 ) x yx x f f 2 f F ( x, y ) ( x, η2 ) ( x0 , η2 ) ( y y0 ) (ξ 2 , η2 )( x x0 )( y y0 ) y xy y 2 f 2 f (ξ1 , η1 ) (ξ 2 , η2 ), ( x x0 , y y0 ) yx xy x x0 , y y0 2 f 2 f ( x0 , y0 ) ( x0 , y0 ) yx xy Производные высших порядков Ck(Ω) – множество всех функций, у которых определены и непрерывны все частные производные по всем переменным до порядка k включительно в каждой точке открытого множества Ω. f ( x) C k () k f ( x) не зависит от порядка дифференцирования xi1 xi2 ...xik Дифференциалы высших порядков d 2 f ( x) d (df ( x) dxconst ) d k f ( x) d (d k 1 f ( x) dxconst ) Пусть f∊C2(Ω), тогда n f ( x ) f ( x ) 2 d f ( x) d dxi d dxi i 1 xi i 1 xi n n n f ( x ) 2 f ( x) dxi dx j dx j dxi i 1 j 1 x j xi i , j 1 xi x j n 2 f ( x) 2 d f ( x) dxi dx j i , j 1 xi x j n Дифференциалы высших порядков Пусть f∊Ck(Ω), тогда k 1 d f . . . dxn dx2 d k f dx1 xn x2 x1 k 2 d f dx1 dx1 . . . dxn dx2 . . . dxn dx2 xn x2 x1 xn x2 x1 f . . . dxn dx2 . . . dx1 . . . dxn dx2 dx1 xn x2 x1 xn x2 x1 k f dxi1 dxi2 ...dxik i1 ,i2 ,..., ik 1 xi1 xi2 ...xik n Дифференциалы высших порядков Второй дифференциал функции двух переменных 2 f 2 2 f 2 f 2 d f ( x, y) 2 dx 2 dxdy 2 dy x xy y 2 Второй дифференциал функции трех переменных 2 f 2 2 f 2 2 f 2 d f ( x, y , z ) 2 dx 2 dy 2 dz x y z 2 2 f 2 f 2 f 2 dxdy 2 dxdz 2 dydz xy xz yz Второй дифференциал сложной функции m f g y f ( x), x g ( z ), df ( x) dxi , dxi dzk . i 1 xi k 1 z k n n f ( x ) n f ( x ) f ( x ) f ( x ) d f ( x) d dxi d dxi d dx d ( dx ) i i xi i 1 xi i 1 xi i 1 xi n 2 n n n f ( x ) f ( x ) f ( x ) d d (dxi ) dxi dx j dx j i 1 i 1 xi i 1 j 1 x j xi xi n n n f ( x ) 2 2 f ( x) f ( x ) 2 d xi dxi dx j d xi i 1 xi i , j 1 xi x j i 1 xi n 2 n f ( x) f ( x) 2 2 d f ( x) dxi dx j d xi i , j 1 xi x j i 1 xi n Второй дифференциал сложной функции 2 f ( x) 2 d f ( x) dxi dx j i , j 1 xi x j n x независима я переменная 2 n f ( x ) f ( x) 2 d 2 f ( x) dxi dx j d xi i , j 1 xi x j i 1 xi n x функция 2 m g g 2 dxi dzk , d xi dzk dz s . k 1 z k k , s 1 z k z s m Второй дифференциал сложной функции Второй дифференциал сложной функции двух переменных 2 f 2 2 f 2 f 2 f 2 f d f ( x, y) 2 dx 2 dxdy 2 dy d x d 2 y x xy y x y 2 Второй дифференциал сложной функции трех переменных 2 f 2 2 f 2 2 f 2 d f ( x, y , z ) 2 dx 2 dy 2 dz x y z 2 2 f 2 f 2 f 2 dxdy 2 dxdz 2 dydz xy xz yz f 2 f 2 f 2 d x d y d z x y z Примеры x u xy y u 1 u x y , x 2 x y y y 2u 2u 1 2u 2 x 0, 1 2 , x 2 xy y y 2 y 3 1 2x 2 2u 2 2u 2u 2 2 d u 2 dx 2 dxdy 2 dy d u 2 1 2 dxdy 3 dy y y x xy y 2 (dx ) y xdy d 2u d (dx ) y xdy dxdy dxdy 2 y d ((dx ) y xdy ) y 2 ((dx ) y xdy )d ( y 2 ) (dxdy dxdy ) y 2 ((dx ) y xdy )2 ydy 2dxdy y4 y4 du (dx ) y xdy 2dxdy (dx ) y xdy , y2 2( ydx xdy )dy 1 2x 2 2 1 dxdy dy 2 3 y3 y y 2u 2u 1 2u 2 x 0, 1 2 , x 2 xy y y 2 y 3 Примеры x2 y2 z 2 2 2 1 2 a b c c2 x c2 y zx 2 , z y 2 a z b z c2 x c2 x c 2 z xzx c2 c 2 (a 2 z 2 c 2 x 2 ) z xx ( z x ) x 2 2 2 2 z x 2 2 4 3 x a z a z a z a z a z c2 x c2 x z y c2 x c2 y c 4 xy z xy ( z x ) y 2 2 2 2 2 2 2 2 3 y a z a z a z b z ab z c2 y c2 y c 2 z yz y c2 c 2 (b 2 z 2 c 2 y 2 ) z yy ( z y ) y 2 2 2 2 z y 2 2 y b z b z b z b4 z3 b z 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 c ( a z c x ) 2 c xy c ( b z c y ) 2 2 d 2z dx dxdy dy 4 3 2 2 3 4 3 a z ab z b z Формула Тейлора Теорема. Пусть функция f C k 1 (U (a, R)). Тогда d k f (a) f ( x) f (a) df (a) ... Rk ( x), k! где 1 Rk ( x) d k 1 f (a θ( x a)), (k 1)! 0 θ 1, (форма Лагранжа ) Формула Тейлора Рассмотрим вспомогательную функцию (t ) f (a t ( x a)). Лемма. (t ) C k 1[0;1], ( m) (t ) d m f (a t ( x a)) (0 m k 1). n n f dxi f f 1) ' (t ) ( xi ai ) dxi df ( x t ( x a)) i 1 xi dt i 1 xi i 1 xi n 2) Пусть ( s ) (t ) d s f ( x t ( x a)), тогда ( s 1) n n d s s dxi s (t ) (d f ) (d f ) (d f )dxi dt dt i 1 xi i 1 xi d (d s f ) d s 1 f ( x t ( x a)) Формула Тейлора (t ) f (a t ( x a)) ( m) (t ) d m f (a t ( x a)) (1) (0) ' (0) . . . ( k ) (0) ( k 1) (θ) k! (k 1)! (0 θ 1) d k f (a) 1 f ( x) f (a) df (a) ... d k 1 f (a θ( x a)) k! (k 1)! Формула Тейлора Теорема. Пусть функция f C k (U (a, R)). Тогда d k f (a) f ( x) f (a) df (a) ... o(| x a |k ) k! (форма Пеано) Формула Тейлора d k 1 f (a) 1 k f ( x) f (a) df (a) ... d f (a θ( x a)) (k 1)! k! 1 k 1 1 d f (a θ( x a )) d k f (a) d k f (a θ( x a)) d k f (a) k! k! k! d k 1 f (a) d k f (a) f ( x) f (a) df (a) ... Rk ( x), (k 1)! k! Rk ( x) 1 k d f (a θ( x a)) d k f (a) k! Нужно только доказать, что d k f (a θ( x a)) d k f (a) o(| x a |k ) Формула Тейлора k f dk f dxi1 dxi2 ...dxik i1 ,i2 ,..., ik 1 xi1 xi2 ...xik n k k f ( a θ ( x a )) f (a ) d k f (a θ( x a)) d k f (a) xi xi ...xi xi1 xi2 ...xik i1 ,i2 ,..., ik 1 1 2 k n dxi dxi ...dxi k 1 2 Достаточно доказать, что каждое слагаемое k k f (a θ( x a)) f (a) xi xi ...xi xi1 xi2 ...xik 1 2 k dxi dxi ...dxi o(| x a |k ) k 1 2 Формула Тейлора k k f (a θ( x a)) f (a) ( x) xi xi ...xi xi1 xi2 ...xik 1 2 k f C k (U (a, R)) ( x) 0 ( x a) dxi1 dxi2 ...dxik dxi1 dxi2 ... dxik | dx | | dx | | dx | | dx | k dx dx dx . . . dx 2 i1 2 i2 2 ik dxi1 dxi2 ... dxik | dx | | dx | | dx | dxi1 | dx | 1, . . . , | x a |k dxik | dx | 1 k k f (a θ( x a)) f (a) dxi1 dxi2 ...dxik xi xi ...xi xi1 xi2 ...xik 1 2 k dxi1 dxi2 dxik | x a |k o| x a |k ( x) ... | dx | | dx | | dx | Формула Тейлора Теорема Лагранжа. Пусть функция f C1 (U (a, R)), тогда при любом существует такое x U ( a, R ) θ (0;1), что f f ( x) f ( a) (a θ( x a))( xi a) i 1 xi n Формула Тейлора Запишем формулу Тейлора с k=0 f ( x) f (a) df (a θ( x a)). Так как f df (a θ( x a)) (a θ( x a))( xi a), i 1 xi n то f f ( x) f ( a) (a θ( x a))( xi a) i 1 xi n Формула Тейлора Формула Тейлора для функции двух переменных f f f ( x, y ) f ( x0 , y0 ) ( x0 , y0 )( x x0 ) ( x0 , y0 )( y y0 ) x y 1 2 2 f 2 f 2 f 2 2 ( x , y )( x x ) 2 ( x , y )( x x )( y y ) ( x , y )( y y ) 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 xy y x o ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 f ( x, y ) f ( x0 , y0 ) 1 2 f f ( x0 , y0 )( x x0 ) ( x0 , y0 )( y y0 ) x y 2 f 2 f 2 f 2 2 ( x , y )( x x ) 2 ( x , y )( x x )( y y ) ( x , y )( y y ) 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 xy y x 1 d 3 f ( x 0 θ( x x 0 ), y 0 θ( y y 0 )) 6 Формула Тейлора (примеры) Функцию f ( x, y) 2 x 2 xy y 2 6 x 3 y 5 разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1;–2). df ( x; y ) (4 x y 6)dx ( x 2 y 3)dy d 2 f ( x; y ) 4dx 2 2dxdy 2dy 2 d 3 f ( x, y ) 0 f (1;2) 2 2 4 6 6 5 5, df (1;2) 0, d 2 f ( x; y ) 4( x 1) 2 2( x 1)( y 2) 2( y 2) 2 f ( x, y) 5 2( x 1) 2 ( x 1)( y 2) ( y 2) 2 Формула Тейлора (примеры) В разложении функции f ( x, y) x y в окрестности точки (1;1) выписать члены до второго порядка. df ( x, y) yx y 1dx ( x y ln x)dy d 2 f ( x, y) y( y 1) x y 2 dx 2 2( x y 1 yx y 1 ln x)dxdy ( x y ln 2 x)dy 2 f (1 ; 1) 1 df (1 ; 1) dx x 1 d 2 f (1 ; 1) 2dxdy 2( x 1)( y 1) x y 1 ( x 1) ( x 1)( y 1) o ( x 1) 2 ( y 1) 2 Формула Тейлора (примеры) Вывести приближенную формулу с точностью до членов второго порядка в окрестности начала координат для функции cos x f ( x, y ) cos y df ( x, y ) sin x cos x sin y dx dy 2 cos y cos y cos x 2 sin x sin y cos x(cos 2 y 2 sin 2 y) 2 d f ( x, y) dx 2 dxdy dy 2 3 cos y cos y cos y 2 cos x 1 x2 y 2 2 2 2 2 1 dx dy o( x y ) 1 o( x 2 y 2 ) cos y 2 2 Экстремумы функции Точка x=a области определения функции f(x) называется точкой минимума, если существует такое R>0, что x U (a, R) D( f ) f ( x) f (a). Точка x=a области определения функции f(x) называется точкой максимума, если существует такое R>0, что x U (a, R) D( f ) f ( x) f (a). Точка x=a области определения функции f(x) называется точкой строгого минимума, если существует такое R>0, что O x U (a, R) D( f ) f ( x) f (a). Точка x=a области определения функции f(x) называется точкой строгого максимума, если существует такое R>0, что O x U (a, R) D( f ) f ( x) f (a). Экстремумы функции Необходимое условие экстремума Теорема. В точке экстремума, являющейся внутренней точкой области определения, все частные производные, которые в этой точке существуют, равны нулю. a (a1 , . . . , ai 1 , ai , ai 1 , . . . , an ), x (a1 , . . . , ai 1 , xi , ai 1 , . . . , an ), x U (a, R) f ( x) f (a) ( f ( x) f (a)) F ( xi ) f ( x) f (a1 , a2 , . . . , ai 1 , xi , ai 1 , . . . , an ). | x a | | xi ai | | xi ai | R x U (a, R) f ( x) f (a) ( f ( x) f (a)) f F ( xi ) F (ai ) ( F ( xi ) F (ai )) F ' (ai ) 0 (a) 0 xi Экстремумы функции f ( x) C1 (), a , f ( x) имеет экстремум в точке x a, тогда f x (a ) 0, 1 f (a ) 0, x2 . . . . . . . . . . . . . . f x (a ) 0 n Достаточное условие экстремума Сведения из линейной алгебры Квадратичная форма: Q(ξ) n a ξ ξ , i , j 1 ij i j ξ (ξ1,ξ 2 , . . . ,ξ n ), aij a ji . Положительная определенность: ξ 0 Q(ξ ) 0. a11 0, a11 a12 a21 a22 a11. . . . a1n 0, . . . , . . . . . . . . . . 0. an1. . . . ann Отрицательная определенность: ξ 0 Q(ξ ) 0. a11 0, a11 a12 a21 a22 a11. . . . a1n 0, . . . , (1) n . . . . . . . . . . 0. an1. . . . ann Достаточное условие экстремума f C 2 (), a , df (a) 0. 2 f d f (a) (a)dxi dx j i , j 1 xi x j n 2 2 2 f f (a) (a) x x x j xi i j (второй дифференциал – квадратичная форма от ξ=dx) Теорема. Пусть f∊C2(Ω), a – стационарная точка f, лежащая в Ω. Если d2f(a) положительно определенная форма, то x=a – точка минимума f, если d2f(a) отрицательно определенная форма, то x=a – точка максимума f. Достаточное условие экстремума Рассмотрим случай, когда второй дифференциал представляет положительно определенную форму. Пусть 2 f aij (a) xi x j Рассмотрим функцию n Q(ξ) aij ξ i ξ j на единичной сфере i , j 1 S {ξ R n :| ξ | 1}. Эта функция непрерывна, а единичная сфера S является ограниченным и замкнутым множеством (компактом). Поэтому данная квадратичная форма достигает своего наименьшего значения: Достаточное условие экстремума ξ 0 (| ξ 0 | 1) ξ S Q(ξ) Q(ξ 0 ) (Q(ξ 0 ) 0) Согласно формуле Тейлора в форме Пеано 1 n f ( x) f (a) aij dxi dx j ( x) | dx |2 ( ( x) 0 при x a) 2 i , j 1 dxi dx j f ( x) f (a ) 1 n aij ( x) 2 | dx | 2 i , j 1 | dx | | dx | Пусть dx ξ | dx | dx ξ i i , | ξ | 1 | dx | Тогда при любом dx≠0 f ( x) f (a ) 1 n 1 1 a ξ ξ ( x ) Q ( ξ ) ( x ) Q(ξ 0 ) ( x) ij i j 2 | dx | 2 i , j 1 2 2 Достаточное условие экстремума f ( x) f (a) 1 Q(ξ 0 ) ( x) (dx 0) 2 | dx | 2 Так как lim ( x) 0, x a То o 0 x U (a, ) | ( x) | Поэтому Q (ξ 0 ) . 2 o x U (a, ) f ( x) f (a) 0, Но это и означает, что x=a является точкой строгого минимума. Достаточное условие экстремума Рассмотрим случай, когда второй дифференциал представляет отрицательно определенную форму. Пусть g ( x) f ( x) dg (a) df (a) 0, d 2 g (a) d 2 f (a). Следовательно, точка x = a является стационарной точкой g(x), причем второй дифференциал g(x) в точке x = a положительно определен. Отсюда следует, что g(x) имеет в точке x = a строгий минимум, поэтому функция f(x)= – g(x) имеет при x = a строгий максимум. Пример 3632. z e2 x 3 y (8 x 2 6 xy 3 y 2 ) Стационарные точки z x (16 x 2 12 xy 6 y 2 16 x 6 y )e 2 x 3 y z y (24 x 2 18 xy 9 y 2 6 x 6 y )e 2 x 3 y 16 x 2 12 xy 6 y 2 16 x 6 y 0 2 2 24 x 18 xy 9 y 6 x 6 y 0 8 x 2 12 x 2 12 x 2 8 x 6 x 0 8 x 2 6 xy 3 y 2 8 x 3 y 0 2 2 8 x 6 xy 3 y 2 x 2 y 0 10 x 5 y 0, y 2 x x 0 ( y 0), x 1 y 1 4 2 8x2 2 x 0 Пример Исследование на экстремум z xx (32 x 2 24 xy 12 y 2 64 x 24 y 16)e 2 x 3 y 2 2 2 x 3 y z (48 x 36 xy 18 y 36 x 6 y 6) e xy 2 2 2 x 3 y z (72 x 54 xy 27 y 36 x 36 y 6) e yy 1) (0;0) z xx 16, z xy 6, z yy 6 16 6 16 6 [Q ] ; 16 0, 60 0 минимум 6 6 6 6 2) (1/ 4; 1/ 2) zxx 14e2 , zxy (99 / 8)e2 , z yy (3 / 2)e2 99 / 8 14 99 / 8 14 8457 [Q ] ; 0 нет экстремума 64 99 / 8 3 / 2 99 / 8 3 / 2 Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ Математический анализ. Производные и дифференциалы неявных функций, производные и дифференциалы высших порядков Формула Тейлора для функций нескольких переменных. Экстремум функций нескольких переменных. Лекция 12 завершена. Спасибо за внимание!