Математический анализ 1 семестр Формула Тейлора (примеры). Исследование функций.

Дистанционный курс высшей математики
НИЯУ МИФИ
Математический анализ
1 семестр
Лекция 11
Формула Тейлора (примеры).
Исследование функций.
27 ноября 2014 года
Лектор: Профессор НИЯУ МИФИ, д.ф.-м.н.
Орловский Дмитрий Германович
Примеры
Пример 1. Написать разложение по степеням x функции
f ( x)  sin sin x
до члена с x3 включительно.
f ' ( x)  (cos sin x) cos x
f ' ' ( x)  (sin sin x) cos 2 x  (cos sin x) sin x
f ' ' ' ( x)  (cos sin x) cos 3 x 
 3(sin sin x)(cos x)(sin x)  (cos sin x) cos x
f (0)  0, f ' (0)  1, f ' ' (0)  0, f ' ' ' (0)  2
Ответ:
1 3
sin sin x  x  x  o( x 3 )
3
Примеры
Пример 2. Написать разложение по степеням x функции
f ( x)  1  2 x  x 3
до члена с x3 включительно.
1
1
1
1  u  (1  u )1/ 2  1  u  u 2  u 3  o(u 3 )
(u  2 x  x 3 )
2
8
16
1
1
1
1  2 x  x 3  1  (2 x  x 3 )  (2 x  x 3 ) 2  (2 x  x 3 )3  o( x 3 ) 
2
8
16
1
1
1
1
 1  (  x  x 3 )  x 2  x 3  o( x 3 )  1  x  x 2  o( x 3 )
2
2
2
2
Ответ:
1  2 x  x3  1  x 
1 2
x  o( x 3 )
2
Примеры
Пример 3. Написать разложение по степеням x функции
f ( x)  tg x
до члена с x5 включительно.
tg x  ax  bx 3  cx 5  o( x 5 )
1 3
1 5
sin x  x  x 
x  o( x 5 )
6
120
1 2 1 4
cos x  1  x 
x  o( x 5 )
2
24
(tg x)  cos x  sin x
Примеры
1 4
1
1 5
 1

(ax  bx 3  cx 5  o( x 5 ))  1  x 2 
x  o( x 5 )   x  x 3 
x  o( x 5 )
24
6
120
 2

ax  bx 3  cx 5 
1 3 1 5
 ax  bx 
2
2
1 5
1 3
1 5
5
 ax  o( x )  x  x 
x  o( x 5 )
24
6
120
1
1
1
1
1
1
2
a  1, b  a   , c  b  a 
 a  1, b  , c 
2
6
2
24
120
3
15
Ответ:
1 3 1 5
tg x  x  x  x  o( x 5 )
3
15
Примеры
Пример 4. Вычислить предел lim
x 0
cos x  e
x4
 x2 / 2
x2 x4
cos x  1  
 o( x 4 )
2 24
e
cos x  e
x 0
x4
 x2 / 2
lim
Ответ: –1/12
 x2 / 2
x2 x4
 1    o( x 4 )
2 8
x2 x4
x2 x4
4
(1    o( x ))  (1    o( x 4 ))
2 24
2 8
 lim

4
x 0
x
1 o( x 4 )
1
lim (  4 )  
x 0
12
x
12
Примеры
Пример 5. Вычислить предел lim x 3 / 2 ( x  1  x  1  2 x )
x  
1 1/ 2
)  x1/ 2 (1  1  1 2  o( 12 ))
x
2 x 8x
x
1 1/ 2
1
1
1
1/ 2
1/ 2
x  1  x (1  )  x (1 
 2  o( 2 ))
x
2 x 8x
x
x  1  x1/ 2 (1 
1
1
1
 2  o( 2 )) 
x  
2 x 8x
x
1
1
1
1
1
 (1 
 2  o( 2 ))  2]  lim [  o(1)]  
x  
2 x 8x
x
4
4
lim x 3 / 2 ( x  1  x  1  2 x )  lim x 3 / 2 x1/ 2[(1 
x  
Ответ: –1/4
Примеры
Пример 6. Вычислить предел
y  sin(sin x)
sin(sin x)  x3 1  x 2
lim
x 0
x5
y '  cos(sin x) cos x
y ' '   sin(sin x) cos 2 x  cos(sin x) sin x
y ' ' '   cos(sin x) cos 3 x  3 sin(sin x) cos x sin x  cos(sin x) cos x
y ( IV )  sin(sin x) cos 4 x  6 cos(sin x) cos 2 x sin x 
 3 sin(sin x) sin 2 x  4 sin(sin x) cos 2 x  cos(sin x) sin x
y ( V )  cos(sin x) cos 5 x  10 sin(sin x) cos 3 x sin x 
 15 cos(sin x) cos x sin 2 x  10 cos(sin x) cos 3 x 
 15 sin(sin x) sin x cos x  cos(sin x) cos x
y(0)  0, y' (0)  1, y' ' (0)  0, y' ' ' (0)  2, y ( IV) (0)  0, y ( V ) (0)  12
Примеры
x3 x5
sin(sin x)  x    o( x 5 )
3 10
3
3
1  u  (1  u )
1/ 3
x2 x4
1  x  1    o( x 4 )
3 9
2
u u2
 1    o(u 2 )
3 9
(u   x 2 )
x3 x5
x 1  x  x    o( x 5 )
3 9
3
2
x3 x5
x3 x5
19 5
5
sin(sin x)  x 1  x  ( x    o( x ))  ( x    o( x 5 )) 
x  o( x 5 )
3 10
3 9
90
3
2
 19 o( x 5 )  19
sin(sin x )  x 3 1  x 2
lim
 lim   5  
5
x 0
x 0 90
x
x  90

Монотонность
Условие монотонности дифференцируемой функции
Возрастающая функция: x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ).
Убывающая функция: x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ).
Дифференцируемая в интервале (a;b) функция f(x) возрастает
тогда и только тогда, когда в этом интервале f’(x)≥0.
Пусть f(x) возрастает, тогда для любой точки x0 величина
f ( x)  f ( x0 )
f ( x)  f ( x0 )
 0  f ' ( x0 )  lim
 0.
x

x
x  x0
x  x0
o
Обратно, пусть всюду f’(x)≥0 и x1<x2. По формуле Лагранжа
т.е.
f ( x1 )  f ( x2 ).
f ( x1 )  f ( x2 )  f ' (ξ)( x1  x2 )  0,
Дифференцируемая в интервале (a;b) функция f(x) убывает тогда
и только тогда, когда в этом интервале f’(x)≤ 0.
Монотонность
Достаточное условие строгой монотонности
дифференцируемой функции
Строго возрастающая функция: x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ).
x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ).
Строго убывающая функция:
Если для дифференцируемой в интервале (a;b) функции f(x)
производная f’(x)>0 в этом интервале, то функция f(x) строго
возрастает.
Пусть x1<x2. По формуле Лагранжа
f ( x1 )  f ( x2 )  f ' (ξ)( x1  x2 )  0  f ( x1 )  f ( x2 )
Следовательно, f(x) строго возрастает.
Если для дифференцируемой в интервале (a;b) функции f(x)
производная f’(x)<0 в этом интервале, то функция f(x) строго
убывает.
Монотонность
Опасные моменты!
Условия строгой монотонности являются достаточными, но они не
являются необходимыми.
f ( x)  x 3
f ' ( x)  3x 2
Функция строго возрастает на
всей числовой прямой, однако,
ее производная обращается в
ноль при x=0.
Монотонность
Обходной маневр.
Пусть производная f’(x)≥0 на [0;+∞) и f’(x)>0 в (0; +∞). Тогда
функция f(x) строго возрастает на [0;+∞).
Пусть x1<x2. Либо x1>0, либо x1=0. Если x1>0, то применяя
теорему о строгом возрастании для промежутка (0; +∞) получим,
что f(x1)<f(x2).
Если x1=0, выберем x так, чтобы x1=0<x<x2. В силу возрастания
функции на [0;+∞) выполнено неравенство f(x1)≤f(x), а в силу
строгого возрастания в (0; +∞) справедливо f(x)<f(x2). Поэтому
f(x1)<f(x2).
Монотонность
Пример.
Доказать, что при всех x>0 справедливо неравенство
ex  1 x
Пусть f(x)=ex–1–x. Производная f’(x)=ex–1≥0 при x ≥ 0
и положительна при x>0. Следовательно, f(x) строго
возрастает на [0;+∞). Поэтому при x>0
e x  1  x  f ( x)  f (0)  0  e x  1  x
Экстремумы
Пусть во внутренней точке своей области определения функция
имеет экстремум. Если в этой точке существует производная, то она
равна нулю.
Опасные моменты!
1. Во внутренней точке экстремума производная может не
существовать.
2. Точка экстремума функции может не быть внутренней точкой
области определения.
3. Равенство нулю производной является необходимым
условием, но это условие достаточным условием наличия
экстремума не является.
Экстремумы
Точка, в которой производная равна нулю
называется стационарной точкой.
1. Во внутренней точке экстремума производная может не
существовать.
2. Точка экстремума функции может не быть внутренней точкой
области определения.
3. Равенство нулю производной является необходимым
условием, но это условие достаточным условием наличия
экстремума не является.
Исследование стационарной точки
Пусть функция f(x) непрерывна в интервале (a–δ;a+δ) и
дифференцируема в нем всюду, кроме быть может точки x=a.
1) Если при переходе через точку x=a производная меняет свой
знак с плюса на минус, то точка x=a является точкой максимума.
2) Если при переходе через точку x=a производная меняет свой
знак с минуса на плюс, то точка x=a является точкой минимума.
3) Если при переходе через точку x=a производная не меняет
знак, то точка x=a точкой экстремума не является.
Исследование стационарной точки
Максимум
Минимум
Нет экстремума
Нет экстремума
Исследование стационарной точки
Пример.
Исследовать на экстремумы функцию y=x(x–1)2(x–2)3
y '  ( x  1) 2 ( x  2)3  2 x( x  1)( x  2)3  3x( x  1) 2 ( x  2) 2 
 ( x  1)( x  2) 2 [( x  1)( x  2)  2 x( x  2)  3x( x  1)] 
 ( x  1)( x  2) 2 [( x 2  3x  2)  (2 x 2  4 x)  (3x 2  3x)] 
 ( x  1)( x  2) 2 [6 x 2  10 x  2] 
 2( x  1)( x  2) 2 (3x 2  5 x  1)
5  13
 минимум
6
x  1  максимум
x
5  13
 минимум
6
x  2  нет экстремума
x
Исследование стационарной точки
Пример.
Найти наибольшее и наименьшее значение
функции
y  x3  4 x 2  4 x  3
на отрезке [-1;3].
2
y'  3x  8 x  4  0  x 
и
3
2
y (1)  6
y (2 / 3)  113 / 27  4,2
y (2)  3
y (3)  6
x2
ymin  y (1)  6
y max  y (3)  6
Исследование стационарной точки
Пусть функция f(x) дифференцируема в интервале (a–δ;a+δ) и
существует f’’(a). Пусть также f’(a)=0, а f’’(a)≠0.
Если f’’(a)<0, то x=a является точкой строгого максимума f(x).
Если f’’(a)>0, то x=a является точкой строгого минимума f(x).
1
f ' ' (a)( x  a) 2   ( x)( x  a) 2
2
1
f ( x)  f (a )  [ f ' ' (a )   ( x)]( x  a ) 2
2
f ( x)  f (a)  f ' (a)( x  a) 
1
1
lim [ f ' ' (a)   ( x)]  f ' ' (a)  0
x a 2
2
В некоторой окрестности (a–δ1;a+δ1) точки x=a
Sign ( f ( x)  f (a))  Sign f ' ' (a)
Исследование стационарной точки
Пусть функция f(x) имеет n-1 производную в интервале (a-(a–δ;a+δ) и существует f(n)(a). Пусть также
f ' (a)  f ' ' (a)  . . .  f ( n1) (a)  0, f ( n) (a)  0.
Тогда если
(1) n=2k+1 x=a не является точкой экстремума
(2) n=2k f(n)(a)<0 x=a является точкой максимума
f(n)(a)>0 x=a является точкой минимума
f ( k ) (a)
f ( n ) (a)
k
f ( x)  f (a)  f ' (a)( x  a)  ... 
( x  a)  ... 
( x  a) n  rn ( x),
k!
n!
rn ( x)  o(( x  a) n )   ( x)( x  a) n
(lim  ( x)  0).
xa
Исследование стационарной точки
f ( n ) (a)
f ( x)  f (a) 
( x  a) n   ( x)( x  a) n ,
n!
f ( n ) (a)
f ( x)  f (a )  (
  ( x))( x  a) n .
n!
f ( n ) (a)
f ( n ) (a)
lim (
  ( x)) 
 0.
x a
n!
n!
В некоторой окрестности (a–δ1;a+δ1) точки x=a
Sign ( f ( x)  f (a))  Sign ( f ( n ) (a)( x  a) n ).
Выпуклость функции
Функция называется выпуклой вниз (выпуклой) в интервале (a;b),
если для любой точки x0∊(a;b) и всех x∊(a;b)
f ( x)  f ( x0 )  f ' ( x0 )( x  x0 ).
Функция называется выпуклой вверх (вогнутой) в интервале (a;b),
если для любой точки x0∊(a;b) и всех x∊(a;b)
f ( x)  f ( x0 )  f ' ( x0 )( x  x0 ).
Выпуклость функции
Дифференцируемая в интервале (a;b) функция f(x) выпукла
тогда и только тогда ее производная возрастает.
(1) Функция выпукла и x1<x2
f ( x)  f ( x1 )  f ' ( x1 )( x  x1 ),
f ( x2 )  f ( x1 )  f ' ( x1 )( x2  x1 ),
f ' ( x1 ) 
f ( x2 )  f ( x1 )
,
x2  x1
f ( x)  f ( x2 )  f ' ( x2 )( x  x2 )
f ( x1 )  f ( x2 )  f ' ( x2 )( x1  x2 )
f ( x2 )  f ( x1 )
 f ' ( x2 )
x2  x1
f ' ( x1 )  f ' ( x2 ).
Выпуклость функции
Дифференцируемая в интервале (a;b) функция f(x) выпукла
тогда и только тогда ее производная возрастает.
(2) Производная функция возрастает. По теореме Лагранжа
f ( x)  f ( x0 )  f ' (ξ)( x  x0 )
а) x  x0  ξ  x0  f ' (ξ)  f ' ( x0 )
f ( x)  f ( x0 )  f ' (ξ )( x  x0 )  f ' ( x0 )( x  x0 )
f ( x)  f ( x0 )  f ' ( x0 )( x  x0 )
б) x  x0  ξ  x0  f ' (ξ)  f ' ( x0 )
f ( x)  f ( x0 )  f ' (ξ )( x  x0 )  f ' ( x0 )( x  x0 )
f ( x)  f ( x0 )  f ' ( x0 )( x  x0 )
в) x  x0 , неравенство
f ( x)  f ( x0 )  f ' ( x0 )( x  x0 )
превращается в равенство.
Выпуклость функции
Дифференцируемая в интервале (a;b) функция f(x) вогнута
тогда и только тогда ее производная убывает.
Функция f(x) вогнута тогда и только тогда, когда
g ( x)   f ( x)
выпукла, т.е. g’(x) возрастает. Однако, это равносильно тому, что
функция f’(x) = – g’(x) убывает
Выпуклость функции
Дважды дифференцируемая в интервале (a;b) функция f(x)
выпукла тогда и только тогда, когда всюду f’’(x)≥0.
(1)
f ' ' ( x )  0.
f ' ' (ξ )
f ( x)  f ( x0 )  f ' ( x0 )( x  x0 ) 
( x  x0 ) 2  f ( x0 )  f ' ( x0 )( x  x0 ).
2
(2) Функция выпукла.
f ' ' ( x0 )
( x  x0 ) 2   ( x)( x  x0 ) 2 (lim  ( x)  0).
xa
2
f ( x)  ( f ( x0 )  f ' ( x0 )( x  x0 ))
f ' ' ( x0 )  2
 2 ( x)  2 ( x)
2
( x  x0 )
f ( x)  f ( x0 )  f ' ( x0 )( x  x0 ) 
f ' ' ( x0 )  2 lim  ( x)  0.
xa
Выпуклость функции
Дважды дифференцируемая в интервале (a;b) функция f(x)
вогнута тогда и только тогда, когда всюду f’’(x)≤0.
(1) f ' ' ( x )  0.
f ' ' (ξ )
f ( x)  f ( x0 )  f ' ( x0 )( x  x0 ) 
( x  x0 ) 2  f ( x0 )  f ' ( x0 )( x  x0 ).
2
(2) Функция вогнута.
f ' ' ( x0 )
( x  x0 ) 2   ( x)( x  x0 ) 2 (lim  ( x)  0).
xa
2
f ( x)  ( f ( x0 )  f ' ( x0 )( x  x0 ))
f ' ' ( x0 )  2
 2 ( x)  2 ( x)
2
( x  x0 )
f ( x)  f ( x0 )  f ' ( x0 )( x  x0 ) 
f ' ' ( x0 )  2 lim  ( x)  0.
xa
Точка перегиба
Точка x=a называется точкой перегиба функции f(x) если
существует такое δ>0, что в интервалах (a–δ;a) и (a;a+δ) эта
функция выпукла в разные стороны.
Это определение равносильно тому, что производная либо
меняет возрастание на убывание, либо меняет убывание на
возрастание.
Точка перегиба
Необходимое условие точки перегиба.
Пусть точка x=a является точкой перегиба функции f(x) и в этой
точке у нее существует вторая производная. Тогда
f ' ' (a )  0.
Опасные моменты!
Равенство нулю второй производной является необходимым
условием наличия перегиба. Однако, достаточным условием
оно не является.
Точка перегиба
y  x4
y'  4 x3
y' '  4 x 2  0
Данная функция выпукла в одну сторону на всей числовой прямой
и перегибов не имеет. Тем не менее ее вторая производная в нуле
равна нулю.
Точка перегиба
Перегиб
Нет перегиба
Перегиб
Нет перегиба
Точка перегиба
Пусть функция f(x) имеет n-1 производную в интервале (a-(a–δ;a+ δ) и существует f(n)(a). Пусть также
f ' ' (a)  . . .  f ( n1) (a)  0, f ( n ) (a)  0.
Тогда если
(1) n=2k+1 x=a является точкой перегиба
(2) n=2k
x=a не является точкой перегиба
Пример:
f ( x)  x 4 , a  0.
f ' ' ( x)  12 x 2 , f ' ' ' ( x)  24 x, f ( IV) ( x)  24.
f ' ' (0)  0, f ' ' ' (0)  0, f ( IV) (0)  0.
n=4, x=0 не является точкой перегиба.
Асимптоты
Вертикальная асимптота
Прямая x=a называется асимптотой если
lim f ( x)  .
x a
Асимптота может быть односторонней:
lim f ( x)   (левая односторонняя асимптота)
xa 0
lim f ( x)   (правая односторонняя асимптота)
xa  0
Асимптоты
y
1
x 1
асимптота
y  sin( 1 / x)
нет асимптоты
y  ln x
асимптота
y  e1/ x
асимптота
y
нет асимптоты
1
1
sin
x
x
Асимптоты
Наклонная асимптота
Наклонной асимптотой графика функции y=f(x) при x→+∞
называется прямая y=kx+b, если выполнены два условия:
(1) некоторый луч (a;+∞) целиком содержится в области
определения функции;
(2) расстояние по вертикали между графиком и прямой
стремится к 0 при x→+∞ :
lim [ f ( x)  (kx  b)]  0.
x  
Наклонной асимптотой графика функции y=f(x) при x→–∞
называется прямая y=kx+b, если выполнены два условия:
(1) некоторый луч (–∞;a) целиком содержится в области
определения функции;
(2) расстояние по вертикали между графиком и прямой
стремится к 0 при x→–∞ :
lim [ f ( x)  (kx  b)]  0.
x  
Асимптоты
Принято выделять частный случай наклонной асимптоты при k=0.
Такая асимптота называется горизонтальной. Прямая y=b является
горизонтальной асимптотой при x→+∞ ( x→–∞ ) если
lim f ( x)  b ( lim f ( x)  b).
x  
x  
Асимптоты
Нахождение наклонной асимптоты
Прямая y=kx+b является асимптотой функции f(x) при x→+∞ тогда
и только тогда, когда
f ( x)
k  lim
, b  lim ( f ( x)  kx).
x  
x  
x
Прямая y=kx+b является асимптотой функции f(x) при x→–∞ тогда и
только тогда, когда
f ( x)
k  lim
, b  lim ( f ( x)  kx).
x  
x  
x
Асимптоты
Пусть прямая y=kx+b является асимптотой при x→±∞. Тогда
lim [ f ( x)  (kx  b)]  0
x  
lim
x  
f ( x)
f ( x)
b
f ( x)  (kx  b)
 k  lim (
 k  )  k  lim
 k 0 k
x


x


x
x
x
x
lim ( f ( x)  kx)  b  lim [ f ( x)  (kx  b)]  b  0  b
x  
x  
Обратно, пусть выполнены предельные соотношения, тогда
lim [ f ( x)  (kx  b)]  lim ( f ( x)  kx)  b  b  b  0
x  
x  
Примеры
Построить график функции
( x  1)3
y
( x  1) 2
3( x  1) 2 ( x  1) 2  ( x  1)3 2( x  1) ( x  1) 2 (3x  3  2 x  2) ( x  1) 2 ( x  5)
y' 


4
3
( x  1)
( x  1)
( x  1)3
x 3  3x 2  9 x  5
(3x 2  6 x  9)( x  1)3  ( x 3  3x 2  9 x  5)3( x  1) 2
y' '  [
]' 

3
6
( x  1)
( x  1)
(3x 3  6 x 2  9 x  3x 2  6 x  9)  (3x 3  9 x 2  27 x  15) 24( x  1)


4
( x  1)
( x  1) 4
Примеры
Нахождение асимптот:
Вертикальная x=1.
Наклонная y=kx+b.
y ( x)
( x  1)3
k  lim
 lim
1
2
x 
x


x
x( x  1)
( x  1)3
( x  1) 3  x( x  1) 2
b  lim ( y ( x)  kx)  lim (
 x)  lim

2
x 
x  ( x  1) 2
x 
( x  1)
( x 3  3x 2  3x  1)  ( x 3  2 x 2  x)
 5x 2  2 x  1
 lim
 lim
 5
2
2
x 
x


( x  1)
( x  1)
y  x 5
Примеры
Знаки функции и производных
Точка экстремума
x  5; y  13,5
Точка перегиба
x  1; y  0
Примеры
График
( x  1)3
y
( x  1) 2
Дистанционный курс высшей математики
НИЯУ МИФИ
Математический анализ.
Формула Тейлора (примеры).
Исследование функций.
Лекция 11
завершена.
Спасибо за внимание!
Тема следующей лекции:
Обзорная.
Лекция состоится в среду 11 декабря
В 10:15 по Московскому времени.