КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА (5-й семестр) профессор Владимир Фёдорович Дмитриев 1. Квантовая природа света. Фотоэффект, эффект Комптона. 2. Волновые свойства частиц. Опыт Резерфорда, стабильность и стандартность атомов. Дифракция электронов. Волна де Бройля. Вероятностная интерпретация. Фазовая и групповая скорости. 3. Соотношение неопределённостей. Оценки. 4. Координатное и импульсное представления. Операторы физических величин, собственные функции и собственные значения. 5. Оператор Гамильтона. Уравнение Шрёдингера. Непрерывность и однозначность волновой функции. Собственные функции и собственные значения, квантование энергии. Нормировка волновой функции. Свойства волновой функции финитного движения. Чётные и нечётные решения. Вариационный принцип и прямой вариационный метод. Осцилляционная теорема. 6. Эрмитовы операторы. Вещественность собственных значений, взаимная ортогональность и полнота собственных функций. Вырожденный случай. Обозначения Дирака. 7. Линейный осциллятор. Уровни энергии и волновые функции. Операторы рождения и уничтожения. 8. Временное уравнение Шрёдингера. Стационарные решения. Задача с начальными условиями. 9. Одномерное рассеяние. Подбарьерное прохождение и надбарьерное отражение. 10. Коммутаторы. Измеримость величин. Соотношение неопределённостей. Квантовые скобки Пуассона. 11. Гейзенберговское представление. Уравнения движения для операторов. Теорема вириала. 12. Оператор сдвига. Движение в периодическом поле. Теорема Блоха. 13. Квазиклассическое приближение. Критерий применимости. Правила сшивки. Правило квантования Бора –Зоммерфельда. Нормировка квазиклассической волновой функции. Эквидистантность спектра в квазиклассике. Плотность состояний в фазовом пространстве. Двойная яма, задача с начальными условиями. 14. Квазистационарные состояния. α-распад. 15. Сдвиг и поворот. Момент импульса. Собственные значения и собственные функции. Повышающие и понижающие операторы. Чётность. 16. Разделение переменных в центральном поле. Радиальная волновая функция, граничные условия в нуле. Свободное движение. Фаза рассеяния. 17. Атом водорода. Собственные функции. Спектр. Кулоновское вырождение. Основное и первое возбужденное состояния. 18. Стационарная теория возмущений. Производная энергии по параметру. Поляризуемость атома водорода. Силы Ван-дер-Ваальса. Стационарная теория возмущений в случае вырождения. Непересечение уровней. Эффект Штарка в атоме водорода при n=2. Литература [1] Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Квантовая механика, М.: Наука, 1989. [2] В. М. Галицкий, Б. М. Карнаков, В. И. Коган Задачи по квантовой механике. М.: Наука, 1992. [3] В. Г. Сербо, И. Б. Хриплович. Квантовая механика. Новосибирск: НГУ, 2000. [4] В. Г. Зелевинский. Лекции по квантовой механике. Новосибирск: СУИ, 2002. [5] В. Б. Берестецкий, Е. М. Лившиц, Л. П. Питаевский. Квантовая электродинамика. М.: Наука, 2001. [6] В. Г. Сербо, И. Б. Хриплович. Квантовая механика (конспект лекций, части I и II). Программа семинаров Сентябрь Волны де Бройля, потенциальный ящик, соотношение неопределённостей ............. 2,5 сем. Прямоугольные и δ-ямы ................................................................................................. 3,5 сем. Октябрь Линейный осциллятор ..................................................................................................... 2 сем. Потенциальные барьеры ................................................................................................. 2 сем. Операторы ........................................................................................................................ 1 сем. Периодическое поле ........................................................................................................ 2 сем. Ноябрь– декабрь Квазиклассика .................................................................................................................. 3 сем. Момент импульса ............................................................................................................. 3 сем. Центральное поле, атом водорода ................................................................................. 3 сем. Стационарная теория возмущений ................................................................................ 2 сем. Контрольная работа: проводится по группам перед началом контрольной недели. Коллоквиум: проводится после окончания контрольной недели. Задания ЗАДАНИЕ №1 (сдать до 25 октября) 1. Биллиардный шар подпрыгивает над упругой горизонтальной плитой в поле тяжести. Оценить с помощью соотношения неопределённостей энергию основного состояния шара и неопределённость в его положении по вертикали в этом состоянии. Провести такую же оценку для нейтрона (ответ довести до чисел). 2. В начальный момент времени свободная частица массы m находится в состоянии, описываемом волновой функцией ip 0 x x 2 1 x,0 exp 2 . 1/ 4 2a a 2 При t>0 найти средние значения координаты и импульса, неопределённости Δx(t) и Δp(t) , а также распределения по координате dW(x,t)/dx , импульсу dW(p,t)/dp и энергии dW(E,t)/dE . 3. Частица движется в поле трёх дельта функционных ям U(x)=-G [δ(x-a) + δ (x)+δ (x+a)]. Найти, при каком значении параметра а в этом поле появляется второе (третье) связанное состояние. Найти уровни энергии и волновые функции связанных состояний при условии mGa / 2 1. 4. Найти уровни энергии и волновые функции стационарных состояний частицы массы m, движущейся по окружности радиуса R0 в поле U ( ) G ( ), G>0, для которой соответствующее уравнение Шредингера гласит: 2 d 2 G ( ) ( ) E( ) . 2 2 2mR0 d Какова энергия основного состояния для случая, когда mR02 G / 2 1 ? ЗАДАНИЕ №2 (сдать до 25 ноября) 5. При t=0 состояние линейного осциллятора с частотой ω задано волновой функцией ( x,0) A Bx exp( x 2 / 2a 2 ) , a / m . Определить средние значения координаты и импульса, а также распределение по координате, импульсу и энергии при t>0 . 6. Гамильтониан двумерного осциллятора Hˆ Hˆ x Hˆ y , где Hˆ x (aˆ x aˆ x 1 / 2) и Hˆ 2 (aˆ aˆ 1 / 2) . Определить кратность вырождения уровней энергии и y y y построить обязанный существовать дополнительный к Ĥ x и Ĥ y интеграл (или интегралы) движения. 7. Найти операторы, сопряженные операторам d d d A , B i , C m x . dx dx dx Для оператора C найти собственные функции и собственные значения. Проверить, что собственные значения этого оператора могут быть комплексными, а собственные функции, отвечающие различным собственным значениям, не обязательно ортогональны. 8. Оценить в квазиклассическом приближении число связанных состояний в потенциале Юкавы U ( r ) g 2 exp(r / a ) / r . (см. ЛЛ §48.) 9. Найти в квазиклассическом приближении энергии и ширины квазистационарных x0 состояний в поле U x 0 0 x a 2 / x xa ЗАДАНИЕ №3 (сдать до 25 декабря) 10. Найти закон преобразования собственных функций оператора момента Y11 , Y10 , Y11 при повороте системы координат на угол вокруг оси y . Указание: представить сферические функции в виде 3 x iy 3 z 3 x iy . Y11 , Y10 , Y11 8 r 4 r 8 r Найти также среднее значение проекции момента на повёрнутую ось z ' для каждого из указанных состояний. 11. Исследовать качественно угловое распределение плотности вероятности для состояний, описываемых сферическими функциями Yll ( , ) и Yl 0 ( , ) , считая l >> 1. 12. Для описания относительного движения ядер в двухатомной молекуле можно использовать модельный гамильтониан вида pˆ 2 a ~ 1 ˆ H Ze 2 2 , 2m Я r 2r где mЯ - приведённая масса ядер, a - равновесное межатомное расстояние ~ порядка 2 / me e 2 , а Ze 2 / 2a - энергия диссоциации молекулы. Найти энергии связанных состояний E nr l и при не слишком больших радиальных и орбитальных квантовых числах, т.е. при nr и l , где m Я / me , получить колебательный и вращательный спектр двухатомной молекулы. 13. Найти средний электростатический потенциал, создаваемый атомом водорода в основном состоянии. 14. Найти поправки к трем нижним уровням энергии двумерного осциллятора со m 2 слабой нелинейностью: U ( x, y ) [( 4 ) x 2 y 2 ] xy 2 , где 1 . 2 Проанализировать предельные случаи: 1) 0 и 2) ( / m ) 3 / 2 . 15. Найти поправки к двум нижним уровням энергии атома водорода, помещённого в e2 поле V (r ) 3 ( x 2 y 2 z 2 ), R aB . R КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА (6-й семестр) профессор Владимир Фёдорович Дмитриев 1. Уравнение Шрёдингера для заряженной частицы в электромагнитном поле. Калибровочная инвариантность. Плотность тока. 2. Движение заряженной частицы в магнитном поле. 3. Спин. Волновые функции частиц спина ½. Матрицы Паули. Уравнение Паули. Движение спина в магнитном поле. 4. Сложение моментов. Коэффициенты Клебша – Гордана. Преобразование волновых функций и операторов при поворотах. Правила отбора для тензорных операторов. Векторная модель. 5. Тождественность частиц в квантовой механике. Волновые функции систем бозонов и фермионов. Принцип Паули. 6. Атом гелия. Вариационный метод. Самосогласованное поле, уравнения ХартриФока. 7. Атомные термы. LS-связь. Правила Хунда. Таблица Менделеева. Понятие о jjсвязи. 8. Модель Томаса-Ферми. 9. Сверхтонкая структура. Изотопический сдвиг. 10. Атом в постоянном внешнем поле. Эффекты Зеемана, Штарка. 11. Нестационарная теория возмущений. Адиабатическое и внезапное возмущения. 12. Периодическое возмущение. Фотоэффект. 13. Квантование электромагнитного поля. Спонтанное и индуцированное излучение. Лэмб-сдвиг. Рассеяние света. Рэлеевское и томсоновское рассеяние. 14. Трехмерное рассеяние. Постановка задачи. Борновское приближение. Критерий применимости. Резерфордовское рассеяние. Атомный форм-фактор. 15. Фазовая теория рассеяния. Рассеяние медленных частиц. Дифракционное рассеяние. Упругое рассеяние быстрых частиц. Резонансное рассеяние. Формула Брейта-Вигнера. 16. Рассеяние тождественных частиц. Рассеяние частиц со спином. Литература [1] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, т.3, Квантовая механика. [2] В. Г. Зелевинский. Лекции по квантовой механике. Новосибирск: СУИ, 2002. [3] Галицкий В.М., Карнаков Б.М., Коган В.И. Задачи по квантовой механике, М: Наука, 1992. [4] Сербо В.Г., Хриплович И.Б. Конспект лекций по квантовой механике, Новосибирск, НГУ, 1999. [5] В. Б. Берестецкий, Е. М. Лившиц, Л. П. Питаевский. Квантовая электродинамика. М.: Наука, 2001. Программа семинаров 1. Заряженная частица в магнитном поле. 2. Спин 1/2. Матрицы Паули. Спин в постоянном и переменном магнитном поле. Спектр уравнения Паули в однородном магнитном поле. 3. Сложение моментов. Волновые функции частиц со спином. Примеры вычисления коэффициентов Клебша-Гордана. 4. Прямой вариационный метод. Метод Томаса-Ферми. 5. Периодическая система. Правило Хунда. Структура атомных термов. 6. Эффекты Зеемана, Пашена-Бака. Эффект Штарка. 7. Нестационарные возмущения. Адиабатическое и внезапное возмущения. 8. Вероятности переходов при периодическом возмущении. 9. Излучение. Оценки вероятностей. Правила отбора. 10. Рассеяние света. 11. Классическая и квантовая теория рассеяния. Борновское приближение, критерий применимости. Фазы рассеяния. Рассеяние медленных частиц. Задания ЗАДАНИЕ №1 (сдать до 25 марта) 1. Пучок нейтронов, движущийся вдоль оси x и поляризованный по направлению движения, переходит из области x<0 , где нет магнитного поля, в область x>0 с постоянным однородным магнитным полем Hz . Найти зависимость от x средних значений проекций вектора спина на оси z, x и y при x>0 . 2. Ядро со спином s 1 находится в состоянии с проекцией спина на ось z, sz 1 . Найти вероятности проекций +1, 0, -1 на ось z ' , находящейся под углом к оси z . 3. Построить волновые функции, возникающие при сложении моментов j1=1 и j2=2 . Используя “векторную модель”, а также непосредственно, используя полученные волновые функции, найти средние значения операторов ˆj1 и ˆj2 , например, в состоянии с полным моментом j=3 и его проекцией jz= -1. Указание: см. С.Х., п. 28. ЗАДАНИЕ №2 (сдать до 25 апреля) 4. Гамильтониан атома гелия без релятивистских поправок имеет вид : pˆ 2 pˆ 2 2e 2 2e 2 e2 Hˆ 1 2 . 2m 2m r1 r2 r1 r2 Доказать, что полный орбитальный момент и полный спиновый момент системы двух электронов коммутируют с Ĥ и являются, тем самым, интегралами движения. Рассматривая взаимодействие между электронами, как возмущение, рассчитать энергетические уровни для конфигурации 1s2s и убедиться в том, что, благодаря обменному взаимодействию, энергия триплетного терма 3 S1 ниже энергии синглетного 1 S 0 . Указание: см. Г. Бете, Квантовая механика, гл. 8 (1965 год); Л.Л., III, п. 62, задача 1; Г.К.К., 11.13, 11.14, 11.27 (1981 год) или Г.К.К., 11.10, 11.16 (1992 год). 5. Атом Бора (Z=5) имеет основную конфигурацию 1s22s22p . Оценить спинорбитальное расщепление в этом состоянии. Как выглядит здесь эффект Зеемана в слабом и в сильном поле? Указание: см. Л.Л., пп. 71, 72, 113. 6. Определить основные термы элементов C, N, O, Cl, Fe . Парамагнитные или диамагнитные свойства проявляет в слабом магнитном поле атом углерода, находящийся в нормальном состоянии? Указание: см. Л.Л., III, пп. 66, 67, 113. 7. На атом водорода, находящийся при t 0 в основном состоянии, действует однородное периодическое электрическое поле E E 0 sin t . Определить минимальную частоту поля, необходимую для ионизации атома, и, пользуясь теорией возмущений, вычислить вероятность ионизации в единицу времени (электрон в конечном состоянии считать свободным). 8. Определить мультипольности и оценить вероятности переходов между уровнями с n=2 и n=1 атома водорода с учётом их тонкой структуры. Объяснить большую величину времени жизни, 1 / 7c , уровня 2s1 / 2 , определяемую двухфотонным переходом 2s1 / 2 1s1 / 2 . Как изменится это время жизни при включении слабого электрического поля (с учётом лэмбовского расщепления 2s1/2 и 2p1/2 уровней)? Найти величину поля, меняющую это время вдвое. Как влияет на ответ скорость включения поля? ЗАДАНИЕ №3 (сдать до 25 мая) 9. Найти дифракционную картину, возникающую при упругом рассеянии электронов в газе двухатомных молекул. Расстояние между атомами в молекуле a ; потенциал, создаваемый каждым атомом, имеет вид e r / r0 ; 2 ; ориентации молекул хаотичны. Считая a 3r0 3 A , r ma 2 оценить, при каких энергиях можно наблюдать эту картину. Рассмотреть случаи больших и малых переданных импульсов. 10. Найти сечение упругого рассеяния медленных частиц на потенциале U ( r ) G ( r a ) . Исследуя зависимость сечения от параметров потенциала, получить его значения при mGa / 2 1 (борновский случай), при U (r ) mGa / 2 1 (аналог случая непроницаемой сферы) и при | a | 1 , где a 2mGa / 1 (резонансный случай). Сравнить результаты с классическим сечением на непроницаемой сфере. Показать, что длины рассеяния при наличии дискретного уровня с малой энергией и виртуального уровня отличаются знаком. Установить связь между полюсом амплитуды рассеяния и энергией связанного состояния. Указание: см. Л.Л., III, пп. 132 и 133. 11. Потенциал взаимодействия двух частиц со спином 1/2 равен U g ( sˆ1sˆ2 ) (r1 r2 ) . Найти в борновском приближении сечение рассеяния, если в начальном состоянии угол между спинами равен α. Рассмотреть случаи различных и тождественных частиц. Указание: см. Л.Л., п. 137. 2