КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА (5-й семестр) профессор Владимир Фёдорович Дмитриев 1. Квантовая природа света. Фотоэффект, эффект Комптона. 2. Волновые свойства частиц. Опыт Резерфорда, стабильность и стандартность атомов. Дифракция электронов. Волна де Бройля. Вероятностная интерпретация. Фазовая и групповая скорости. 3. Соотношение неопределённостей. Оценки. 4. Координатное и импульсное представления. Операторы физических величин, собственные функции и собственные значения. 5. Оператор Гамильтона. Уравнение Шрёдингера. Непрерывность и однозначность волновой функции. Собственные функции и собственные значения, квантование энергии. Нормировка волновой функции. Свойства волновой функции финитного движения. Чётные и нечётные решения. Вариационный принцип и прямой вариационный метод. Осцилляционная теорема. 6. Эрмитовы операторы. Вещественность собственных значений, взаимная ортогональность и полнота собственных функций. Вырожденный случай. Обозначения Дирака. 7. Линейный осциллятор. Уровни энергии и волновые функции. Операторы рождения и уничтожения. 8. Временное уравнение Шрёдингера. Стационарные решения. Задача с начальными условиями. 9. Одномерное рассеяние. Подбарьерное прохождение и надбарьерное отражение. 10. Коммутаторы. Измеримость величин. Соотношение неопределённостей. Квантовые скобки Пуассона. 11. Гейзенберговское представление. Уравнения движения для операторов. Теорема вириала. 12. Оператор сдвига. Движение в периодическом поле. Теорема Блоха. 13. Квазиклассическое приближение. Критерий применимости. Правила сшивки. Правило квантования Бора –Зоммерфельда. Нормировка квазиклассической волновой функции. Эквидистантность спектра в квазиклассике. Плотность состояний в фазовом пространстве. Двойная яма, задача с начальными условиями. 14. Квазистационарные состояния. α-распад. 15. Сдвиг и поворот. Момент импульса. Собственные значения и собственные функции. Повышающие и понижающие операторы. Чётность. 16. Разделение переменных в центральном поле. Радиальная волновая функция, граничные условия в нуле. Свободное движение. Фаза рассеяния. 17. Атом водорода. Собственные функции. Спектр. Кулоновское вырождение. Основное и первое возбужденное состояния. 18. Стационарная теория возмущений. Поправки к энергии первого и второго порядка. Литература [1] Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Квантовая механика, М.: Наука, 1989. [2] В. М. Галицкий, Б. М. Карнаков, В. И. Коган Задачи по квантовой механике. М.: Наука, 1992. [3] В. Г. Сербо, И. Б. Хриплович. Квантовая механика. Новосибирск: НГУ, 2000. [4] В. Г. Зелевинский. Лекции по квантовой механике. Новосибирск: СУИ, 2002. [5] В. Б. Берестецкий, Е. М. Лившиц, Л. П. Питаевский. Квантовая электродинамика. М.: Наука, 2001. [6] В. Г. Сербо, И. Б. Хриплович. Квантовая механика (конспект лекций, части I и II). Программа семинаров Сентябрь Волны де Бройля, потенциальный ящик, соотношение неопределённостей ............. 2,5 сем. Прямоугольные и δ-ямы ................................................................................................. 3,5 сем. Октябрь Линейный осциллятор ..................................................................................................... 2 сем. Потенциальные барьеры ................................................................................................. 2 сем. Операторы ........................................................................................................................ 1 сем. Периодическое поле ........................................................................................................ 2 сем. Ноябрь– декабрь Квазиклассика .................................................................................................................. 3 сем. Момент импульса ............................................................................................................. 3 сем. Центральное поле, атом водорода ................................................................................. 3 сем. Стационарная теория возмущений ................................................................................ 2 сем. Контрольная работа: проводится по группам перед началом контрольной недели. Коллоквиум: проводится после окончания контрольной недели. Задания ЗАДАНИЕ №1 (сдать до 25 октября) 1. Биллиардный шар подпрыгивает над упругой горизонтальной плитой в поле тяжести. Оценить с помощью соотношения неопределённостей энергию основного состояния шара и неопределённость в его положении по вертикали в этом состоянии. Провести такую же оценку для нейтрона (ответ довести до чисел). 2. В начальный момент времени свободная частица массы m находится в состоянии, описываемом волновой функцией 2 ip xx 1 0 x , 0 1 exp . / 4 2 2 2 a a При t>0 найти средние значения координаты и импульса, неопределённости Δx(t) и Δp(t) , а также распределения по координате dW(x,t)/dx , импульсу dW(p,t)/dp и энергии dW(E,t)/dE . 3. Частица движется в поле трёх дельта функционных ям U(x)=-G [δ(x-a) + δ (x)+δ (x+a)]. Найти, при каком значении параметра а в этом поле появляется второе (третье) связанное состояние. Найти уровни энергии и волновые функции /2 1 . связанных состояний при условии mGa 4. Найти уровни энергии и волновые функции стационарных состояний частицы ( )G (),G>0, массы m, движущейся по окружности радиуса R0 в поле U для которой соответствующее уравнение Шредингера гласит: 2 2 d G ( ) ( ) E ( ) 2 2 . 2 mR d 0 2 /2 1 Какова энергия основного состояния для случая, когда mR ? 0G ЗАДАНИЕ №2 (сдать до 25 ноября) 5. При t=0 состояние линейного осциллятора с частотой ω задано волновой 2 2 x , 0 ) A Bx exp( x / 2 a ) функцией ( , a /m. Определить средние значения координаты и импульса, а также распределение по координате, импульсу и энергии при t>0 . ˆ H ˆ H ˆ ˆ ˆ ˆ ( a a 1 /2 ) x y, где H 6. Гамильтониан двумерного осциллятора H x x x ˆ ˆ ˆ 2 ( a a 1 /2 ) y y y и H . Определить кратность вырождения уровней энергии и построить обязанный существовать дополнительный к Ĥ x и Ĥ y интеграл (или интегралы) движения. 7. Найти операторы, сопряженные операторам d d d A ,B i ,C m x . d x d x d x Для оператора C найти собственные функции и собственные значения. Проверить, что собственные значения этого оператора могут быть комплексными, а собственные функции, отвечающие различным собственным значениям, не обязательно ортогональны. 8. Оценить в квазиклассическом приближении число связанных состояний в 2 ( r ) g e x p ( r /) ar / . (см. ЛЛ §48.) потенциале Юкавы U 9. Найти в квазиклассическом приближении энергии и ширины квазистационарных x 0 x 0 0x a состояний в поле U 2 /x xa ЗАДАНИЕ №3 (сдать до 25 декабря) 10. Найти закон преобразования собственных функций оператора момента Y11 , Y10 , Y11 при повороте системы координат на угол вокруг оси y . Указание: представить сферические функции в виде 3x iy 3 z 3 x iy Y , Y , Y 11 10 1 1 8 r 4 r 8 r . Найти также среднее значение проекции момента на повёрнутую ось z ' для каждого из указанных состояний. 11. Исследовать качественно угловое распределение плотности вероятности для состояний, описываемых сферическими функциями Yll (, ) и Yl 0 (,) , считая l >> 1. 12. Для описания относительного движения ядер в двухатомной молекуле можно использовать модельный гамильтониан вида 2 ˆ p 1 a ~ 2 ˆ H Z e , 2 2 m r 2 r Я где m Я - приведённая масса ядер, a - равновесное межатомное расстояние 2 2 ~ порядка / mee , а Ze / 2a - энергия диссоциации молекулы. Найти энергии связанных состояний E и при не слишком больших радиальных и 2 nr l орбитальных квантовых числах, т.е. при nr и l , где mЯ / me , получить колебательный и вращательный спектр двухатомной молекулы. 13. Найти средний электростатический потенциал, создаваемый атомом водорода в основном состоянии КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА (6-й семестр) профессор Владимир Фёдорович Дмитриев 1. Теория возмущений при наличии вырождения. 2. Уравнение Шрёдингера для заряженной частицы в электромагнитном поле. Калибровочная инвариантность. Плотность тока. 3. Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле. 4. Спин. Волновые функции частиц спина ½. Матрицы Паули. Уравнение Паули. Движение спина в магнитном поле. 5. Сложение моментов. Коэффициенты Клебша – Гордана. Преобразование волновых функций и операторов при поворотах. Правила отбора для тензорных операторов. Векторная модель. 6. Тождественность частиц в квантовой механике. Волновые функции систем бозонов и фермионов. Принцип Паули. 7. Атом гелия. Вариационный метод. Самосогласованное поле, уравнения ХартриФока. 8. Атомные термы. LS-связь. Правила Хунда. Таблица Менделеева. Понятие о jjсвязи. 9. Модель Томаса-Ферми. 10. Сверхтонкая структура. Изотопический сдвиг. 11. Атом в постоянном внешнем поле. Эффекты Зеемана, Штарка. 12. Нестационарная теория возмущений. Адиабатическое и внезапное возмущения. 13. Периодическое возмущение. Фотоэффект. 14. Структура молекул. Молекулярные термы. Двухатомные молекулы, колебательные и вращательные спектры. Литература [1] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, т.3, Квантовая механика. [2] В. Г. Зелевинский. Лекции по квантовой механике. Новосибирск: СУИ, 2002. [3] Галицкий В.М., Карнаков Б.М., Коган В.И. Задачи по квантовой механике, М: Наука, 1992. [4] Сербо В.Г., Хриплович И.Б. Конспект лекций по квантовой механике, Новосибирск, НГУ, 1999. [5] В. Б. Берестецкий, Е. М. Лившиц, Л. П. Питаевский. Квантовая электродинамика. М.: Наука, 2001. Программа семинаров 1. Теория возмущений. Влияние вырождения. 2. Заряженная частица в магнитном поле. Степень вырождения. 3. Спин 1/2. Матрицы Паули. Спин в постоянном и переменном магнитном поле. Спектр уравнения Паули в однородном магнитном поле. 4. Сложение моментов. Волновые функции частиц со спином. Примеры вычисления коэффициентов Клебша-Гордана. 5. Прямой вариационный метод. Метод Томаса-Ферми. 6. Периодическая система. Правило Хунда. Структура атомных термов. 7. Эффекты Зеемана, Пашена-Бака. Эффект Штарка. 8. Нестационарные возмущения. Адиабатическое и внезапное возмущения. 9. Вероятности переходов при периодическом возмущении. 10. Структура молекул. Оценка колебательных и вращательных уровней энергии. Задания ЗАДАНИЕ №1 (сдать до 25 марта) 1. Найти поправки к трем нижним уровням энергии двумерного осциллятора со 2 m 2 2 2 2 ( x , y ) [( 4 ) x y ] xy слабой нелинейностью: U , где 1 . Проанализировать предельные случаи: 1) 0 и 2) ( /m ) 3 /2 Найти поправки к двум нижним уровням энергии атома водорода, 2 e 2 2 2 V ( r ) ( xyz ) ,R a . помещённого в поле B 3 R 3. Пучок нейтронов, движущийся вдоль оси x и поляризованный по направлению движения, переходит из области x<0 , где нет магнитного поля, в область x>0 с постоянным однородным магнитным полем Hz . Найти зависимость от x средних значений проекций вектора спина на оси z, x и y при x>0 . 4. Ядро со спином s 1 находится в состоянии с проекцией спина на ось z, sz 1. Найти вероятности проекций +1, 0, -1 на ось z ' , находящейся под углом к оси z . 5. Построить волновые функции, возникающие при сложении моментов j1=1 и j2=2 . Используя “векторную модель”, а также непосредственно, используя ˆ ˆ полученные волновые функции, найти средние значения операторов j1 и j2 , например, в состоянии с полным моментом j=3 и его проекцией jz= -1. Указание: см. С.Х., п. 28. 2. ЗАДАНИЕ №2 (сдать до 25 апреля) 6. Гамильтониан атома гелия без релятивистских поправок имеет вид : 2 2 2 2 2 ˆ ˆ p e 2 e e 1 p 2 2 ˆ H . Доказать, что полный орбитальный 2 m 2 m r r r 1 2 r 1 2 момент и полный спиновый момент системы двух электронов коммутируют с Ĥ и являются, тем самым, интегралами движения. Рассматривая взаимодействие между электронами, как возмущение, рассчитать энергетические уровни для конфигурации 1s2s и убедиться в том, что, 3 благодаря обменному взаимодействию, энергия триплетного терма S1 ниже 1 энергии синглетного S 0 . Указание: см. Г. Бете, Квантовая механика, гл. 8 (1965 год); Л.Л., III, п. 62, задача 1; Г.К.К., 11.13, 11.14, 11.27 (1981 год) или Г.К.К., 11.10, 11.16 (1992 год). 7. Атом Бора (Z=5) имеет основную конфигурацию 1s22s22p . Оценить спинорбитальное расщепление в этом состоянии. Как выглядит здесь эффект Зеемана в слабом и в сильном поле? Указание: см. Л.Л., пп. 71, 72, 113. 8. Определить основные термы элементов C, N, O, Cl, Fe . Парамагнитные или диамагнитные свойства проявляет в слабом магнитном поле атом углерода, находящийся в нормальном состоянии? Указание: см. Л.Л., III, пп. 66, 67, 113. ЗАДАНИЕ №3 (сдать до 25 мая) 9. На атом водорода, находящийся при t 0 в основном состоянии, действует однородное периодическое электрическое поле EE0sint . Определить минимальную частоту поля, необходимую для ионизации атома, и, пользуясь теорией возмущений, вычислить вероятность ионизации в единицу времени (электрон в конечном состоянии считать свободным). 10. Определить термы двухатомных молекул N 2 , LiH , HCl , NO , которые могут получиться при соединении соответствующих атомов, находящихся в основном состоянии.