Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ Математический анализ 1 семестр Лекция 14 Обзорная лекция. 18 декабря 2014 года Лектор: Профессор НИЯУ МИФИ, д.ф.-м.н. Орловский Дмитрий Германович Метод хорд f ( x) 0 f ( b) f ( a ) y f (a ) ( x a) ba f ( b) f ( a ) f (a ) ( x a) 0 ba (b a ) f ( a ) xa f ( b) f ( a ) Метод хорд y y f '0 f '' 0 a x1 f '0 f '' 0 x2 x1 b y a xn x x2 xn f '0 f '' 0 a xn b xn b xn a xn xn a y f '0 f '' 0 x x2 x1 b b x a x1 x2 b x xn Метод хорд xa (b a ) f ( a ) (b a ) f ( b) f ( a ) ( b xn ) f ( xn ) a xn xn 1 xn f ( b ) f ( xn ) ( xn a ) f ( a ) ( xn a ) f ( x n ) b xn xn 1 a xn f ( xn ) f ( a ) f ( xn ) f ( a ) ( b xn ) f ( xn ) f ' f '' 0 xn 1 xn f ( b ) f ( xn ) ( xn a ) f ( x n ) f ' f '' 0 xn 1 xn f ( xn ) f ( a ) Метод хорд f ' f '' 0 xn 1 xn ( b xn ) f ( xn ) f ( b ) f ( xn ) xn , xn b x lim xn n (b x ) f ( x ) x x f ( x) 0 f ( b) f ( x ) f ' f '' 0 ( xn a ) f ( x n ) xn xn , xn a x lim xn 1 xn n f ( xn ) f ( a ) ( x a) f ( x) x x f ( x) 0 f ( x ) f (a ) Оценка погрешности f ( x) 0 xn некоторое приближение (произвольное число) f ( xn ) f ( x ) f '(ξ)( xn x ) f ( xn ) f '(ξ)( xn x ) f ( xn ) xn x f '(ξ) | f ( xn ) | | xn x | min | f '( x ) | [ a ;b ] Метод хорд (пример) xe 0 x f ( x) x e x f '( x ) 1 e x f ''( x ) e x Функция строго возрастает и выпукла вниз на всей числовой прямой. 1 f ( 1) 1 0, f (0) 1 0, e a 1, b 0, x0 a 1. ( b xn ) f ( x n ) xn f ( x n ) xn xn 1 xn xn f ( b ) f ( xn ) 1 f ( xn ) 1 f ( xn ) f '( x ) 1 e x 1 | xn x || f ( xn ) | Метод хорд (пример) xe 0 x f ( x) x e x xn xn 1 1 f ( xn ) x0 1 x0 1, d 0,63 x1 0,6126998368, d 0,07 x2 0,5721814121, d 0,008 x3 0,5677032142, d 0,0009 x4 0,5672055526, d 0,0001 | xn x | d d | f ( xn ) | x5 0,5671502142, d 0,00001 x6 0,5671440604, d 0,0000012 x 0,56714 с точностью до 105 Метод Ньютона (метод касательных) f ( x) 0 y f ( xn ) f '( xn )( x xn ) f ( xn ) f '( xn )( x xn ) 0 f ( xn ) x xn f '( xn ) f ( xn ) xn 1 xn f '( xn ) Метод Ньютона (метод касательных) y y f '0 f '' 0 x a f '0 f '' 0 y a x1 x2 xn b x x2 x1 b xn f '0 f '' 0 x0 b x0 a x0 a x0 b y f '0 f '' 0 x2 x1 b x x b xn a x1 x2 a xn Метод Ньютона (метод касательных) f ( xn ) xn 1 xn f '( xn ) xn или , a xn b x lim xn n f ( x) x x f ( x) 0 f '( x ) Оценка погрешности f ( x) 0 xn некоторое приближение (произвольное число) f ( xn ) f ( x ) f '(ξ)( xn x ) f ( xn ) f '(ξ)( xn x ) f ( xn ) xn x f '(ξ) | f ( xn ) | | xn x | min | f '( x ) | [ a ;b ] Метод Ньютона (пример 1) xe 0 x f ( x) x e x f '( x ) 1 e x f ''( x ) e x Функция строго возрастает и выпукла вниз на всей числовой прямой. 1 f ( 1) 1 0, f (0) 1 0, e a 1, b 0, x0 b 0. f ( xn ) xn 1 xn f '( xn ) f '( x ) 1 e x 1 | xn x || f ( xn ) | Метод Ньютона (пример) f ( x) x e f '( x ) 1 e x x xe 0 x x0 0, d 1 xn 1 xn f ( xn ) f '( xn ) x0 0 x1 0,5, d 0,1 x2 0,5663110032, d 0,0013 x3 0,5671431650, d 0,0000002 | xn x | d d | f ( xn ) | 6 x 0,567143 с точностью до 10 Метод Ньютона (пример 2) С точностью до 0,0001 найти первый положительный корень уравнения tg x x yx Метод Ньютона (пример 2) tg x x sin x x cos x 0 f ( x ) sin x x cos x 5 3 f ( x ) 0 на , 4 2 3 x0 2 3 2 5 4 f '( x ) x sin x 0 f ''( x ) sin x x cos x 0 5 min | f '( x ) || f '(5 / 4) | 4 2 x 4 2 | xn x | | f ( xn ) | 5 Метод Ньютона (пример 2) f ( x ) sin x x cos x f '( x ) x sin x 3 x0 2 f ( xn ) xn 1 xn f '( xn ) dn 4 2 | f ( xn ) | 5 x1 4,712389 d 0,36 x2 4,500182 d 0,01 x3 4, 493420 d 0,000016 Ответ: x 4,4934 Логарифмическое дифференцирование f '( x ) (ln f ( x )) ' f '( x ) f ( x )(ln f ( x )) ' f ( x) Пример. 1 x 1 1 f ( x) x ln f ( x ) ln x ln(1 x ) ln(1 x ) 1 x 2 2 1 1 1 (ln f ( x )) ' x 2(1 x ) 2(1 x ) 1 x 1 1 1 f '( x ) x 1 x x 2(1 x ) 2(1 x ) Промежуточная переменная [ f (u( x ))]' f '(u( x ))u '( x ) Пример. f ( x ) ln cos2 x 1 cos4 x u( x ) cos2 x f ( x ) ln u 1 u 2 F (u ) ln u 1 u 2 1 2u 2 1 u2 u 1 2 1 u F '(u ) 2 2 2 u 1 u 1 u2 u 1 u 1 u u '( x ) 2 cos x ( sin x ) sin 2 x 1 sin 2 x f '( x ) u' 1 u2 1 cos4 x Дифференцирование определителей a ( x ) b( x ) a '( x ) b '( x ) a ( x ) b( x ) c( x ) d ( x ) c( x ) d ( x ) c '( x ) d '( x ) a11 ( x ) a12 ( x ) a13 ( x ) a11 '( x ) a12 '( x ) a13 '( x) a21 ( x ) a22 ( x ) a23 ( x ) a21 ( x ) a22 ( x ) a23 ( x) a31 ( x ) a32 ( x ) a33 ( x ) a11 ( x ) a12 ( x ) a13 ( x ) a31 ( x ) a32 ( x ) a33 ( x) a11 ( x ) a12 ( x ) a13 ( x ) a21 '( x ) a22 '( x ) a23 '( x ) a21 ( x ) a22 ( x ) a23 ( x ) a31 ( x ) a32 ( x ) a33 ( x ) a31 '( x ) a32 '( x ) a33 '( x ) Дифференцирование определителей x 1 1 Пример. f ( x) 3 x 2 3 2 3 x 1 1 f '( x ) 3 0 0 x 3 2 3 x 1 x 1 1 0 1 2 x 1 1 0 3 x 2 3 x 1 0 0 2 3 1 ( x 2 x 9) ( x 2 1 4) ( x 2 x 3) 3x 2 15 Арифметические свойства производной F ( x ) f ( x ) g ( x ) F '( x ) f '( x ) g '( x ) f '( x ) существует, g '( x ) не существует F '( x ) не существует Пусть F '( x ) существует. g ( x ) F ( x ) f ( x ) g '( x ) F '( x ) f '( x ) противоречие Арифметические свойства производной F ( x ) f ( x ) g ( x ) F '( x ) f '( x ) g '( x ) f '( x ) не существует, g '( x ) не существует F '( x ) ? Пример 1. Пример 2. f ( x ) | x |, g ( x ) | x |, F ( x ) 2 | x | f , g не дифференцируемы в нуле, F ( x ) не дифференцируема в нуле f ( x ) | x |, g ( x ) | x |, F ( x ) 0 f , g не дифференцируемы в нуле, F ( x ) дифференцируема в нуле Арифметические свойства производной F ( x ) f ( x ) g ( x ) F '( x ) f '( x ) g ( x ) f ( x ) g '( x ) f '( x ) существует, g '( x ) не существует F '( x ) ? Пример. f ( x ) 0, g ( x ) | x |, F ( x ) 0 f дифференцируема в нуле, g не дифференцируема в нуле, F ( x ) дифференцируема в нуле Касательные к кривым второго порядка Эллипс 2 2 x y 2 1 2 a b ( x0 , y0 ) 2 b x0 y y 0 2 ( x x0 ) a y0 y0 y y 02 x2 y 2 ( x) 2 1 2 a b 2 x 2 y ( x ) y '( x ) 0 2 2 a b b2 x y' 2 a y x 02 x0 x 2 2 2 b a a 2 2 x y y 0 y x0 x 0 0 b2 a 2 a 2 b2 y 0 y x0 x 2 1 2 b a Касательные к кривым второго порядка 2 Гипербола 2 x y 2 1 2 a b ( x0 , y0 ) b 2 x0 y y 0 2 ( x x0 ) a y0 y0 y y 02 x2 y 2 ( x) 2 1 2 a b 2 x 2 y ( x ) y '( x ) 0 2 2 a b b2 x y' 2 a y x 02 x0 x 2 2 2 b a a 2 2 x y x0 x y0 y 0 0 a2 b2 a 2 b2 x0 x y0 y 2 1 2 a b Касательные к кривым второго порядка Парабола ( x0 , y0 ) y 2 2 px p y y 0 ( x x0 ) y0 y0 y y 02 px px0 y 2 ( x ) 2 px 2 y ( x ) y '( x ) 2 p p y' y y0 y px y 02 px0 y0 y px 2 px0 px0 y0 y px px0 y 0 y p ( x x0 ) Правило Лопиталя 1 x sin x f ( x) sin x f ( x) 2 x 1 x sin sin x x x 1 x 0 sin x lim 1 1 lim x 0, sin ограничена lim x sin 0 x 0 x 0 x x lim f ( x ) 0 x 0 d 2 1 1 1 x sin 2 x sin sin dx x x x F ( x) d cos x sin x dx 1 lim cos x 1, lim 2 x sin 0, x 0 x 0 x 1 limsin не существует x 0 x 1 1 sin 2 x sin F ( x ) cos x x x lim f ( x ) 0 x 0 lim F ( x ) не существует x 0 Формула Тейлора Пример 1. Написать разложение по степеням x функции f ( x) tg x до члена с x5 включительно. tg x ax bx 3 cx 5 o( x 5 ) 1 3 1 5 sin x x x x o( x 5 ) 6 120 1 2 1 4 cos x 1 x x o( x 5 ) 2 24 (tg x) cos x sin x Формула Тейлора 1 2 1 4 1 3 1 5 5 (ax bx cx o( x ))(1 x x o( x )) x x x o( x 5 ) 2 24 6 120 3 5 5 ax bx 3 cx 5 1 3 1 5 ax bx 2 2 1 5 1 3 1 5 5 ax o( x ) x x x o( x 5 ) 24 6 120 1 1 1 1 1 1 2 a 1, b a , c b a a 1, b , c 2 6 2 24 120 3 15 Ответ: 1 3 1 5 tg x x x x o( x 5 ) 3 15 Формула Тейлора Пример 2. Вычислить с точностью до 0,0001 значение 3 30 f ( x) 3 27 x (27 x)1/ 3 1 2 10 80 f ' ( x) (27 x) 2 / 3 , f ' ' ( x) (27 x) 5 / 3 , f ' ' ' ( x) (27 x) 8 / 3 , f (IV) ( x) (27 x) 11/ 3 3 9 27 81 f (0) 3, f ' (0) 3 3 1 2 10 80 , f ' ' (0) 7 , f ' ' ' (0) 11 , f ( IV ) (ξ) 27 3 3 81(27 ξ)11/ 3 x x 2 5x3 10 x 4 27 x 3 7 12 27 3 3 243(27 ξ)11/ 3 3 9 5 33 1 1 5 30 3 7 12 3 3,1072 27 3 3 9 243 19683 10 34 10 10 0,00002 11 12 243 3 3 531441 Ответ: 3 30 3,1072 Условие постоянства функции на промежутке Виды промежутков: ( a, b) {x : a x b} [a , b) {x : a x b} ( a, b] {x : a x b} [a , b] {x : a x b} ( , b) {x : x b} ( , b] {x : x b} ( a, ) {x : x a} [a , ) {x : x a} ( , ) {x : x R} Любые две точки промежутка являются концами отрезка целиком лежащего в этом промежутке. Условие постоянства функции на промежутке Функция постоянна на промежутке тогда и только тогда, когда ее производная равна нулю на этом промежутке. (1) f ( x ) const f '( x ) (const ) ' 0 (2) f '( x ) 0 f ( x1 ) f ( x2 ) f '(ξ)( x1 x2 ) 0 f ( x1 ) f ( x2 ) Следствие. Производные двух функций равны тогда и только тогда, когда эти функции отличаются на постоянную. Длина дуги кривой Пример. Найти длину окружности x y 1 2 y 1 x2 , y ' 2 1 x 1 x x , x2 s '( x ) 1 ( y '( x )) 1 2 1 x 1 (arcsin x ) ' 2 1 x 2 y 2 1 s ( x ) arcsin x C s (0) 0 C 0 s ( x ) arcsin x s s(1) arcsin1 4 2 s 2 Длина дуги кривой Пример. Найти длину дуг кривой y x , 0 x4 3/2 y '( x ) 3 x 2 s '( x ) 1 ( y '( x )) 2 1 d 2 9 1 x dx 3 4 8 3/2 9 x 4 3/2 4 d 8 9 1 x 9 dx 27 4 3/2 s( x ) 4 8 9 s( x ) 1 x C 27 4 8 s(0) 0 C 27 3/2 8 9 8 s( x ) 1 x 1 s s (4) 10 10 1 27 4 27 Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ Математический анализ. Обзорная лекция. Лекция 14 завершена. Спасибо за внимание!