Современные компьютерные технологии в экономической науке

Современные
компьютерные технологии
в экономической науке и
практике
ВГУЭС
Владивосток
Кийкова Елена Валерьевна
Ст. преподаватель кафедры ИСПИ
1
Технологии применения табличного
процессора для решения экономических
задач с использованием аналитических,
табличных и графических моделей.
 Технологии выполнения операций с массивами,
векторами и матрицами.


Решение систем линейных уравнений.
Модель многоотраслевой экономики Леонтьева.
1 Технологии решения систем
эконометрических уравнений
1.1 Операции с массивами в табличном процессоре
Массив - это набор данных одного типа. Массив в MS Excel
может храниться в диапазоне ячеек.
Диапазон – адресуемая совокупность смежных ячеек в области
рабочего листа. В одной ячейке диапазона может храниться
один элемент данных массива.
MS Excel позволяет оперировать одномерными, двумерными
и трехмерными массивами.
Одномерный и двумерный диапазоны создаются на одном
рабочем листе. Адресная ссылка на такой диапазон имеет
формат:
Имя_РЛ!Адрес_первой_ячейки : Адрес_последней_ячейки.
Адресная ссылка на трехмерный диапазон (одноимённые
ячейки на нескольких смежных листах)
= Лист1:Лист2!$A$1:$B$4
Если массив содержит данные арифметического типа,
то с таким массивом можно выполнять арифметические
операции такие, как:
 операции, в которых в качестве операндов участвуют
массив и единственная переменная, например умножение
элементов массива на число;
 операции, в которых в качестве операндов участвует
двумерный массив и одномерный массив, например,
почленно-построчное умножение;
 операции, в которых участвуют массивы одинаковой
размерности.
Например, массивами в электронной таблице задаются
значения векторов и матриц.
Операции над массивами указываются комбинацией
клавиш
<Ctrl>+<Shift>+<Enter>
Пример:
Дан массив размерностью 2х2. Необходимо
умножить элементы массива на 5.
Исходный массив
<Ctrl>+<Shift>+<Enter>
Исходный диапазон
Результат
1.2 Технологии операций с векторами
 Вычисление суммы векторов:
 Пример: Вычислить сумму двух векторов:
<Ctrl>+<Shift>+<Enter>
Исходные векторы
Результат
1.2 Технологии операций с векторами
 Вычисление скалярного произведения векторов:
 Пример: Вычислить скалярное произведение двух
векторов:
<Ctrl>+<Shift>+<Enter>
Исходные векторы
Результат
1.3 Технологии операций с матрицами
 Умножение матрицы на число:
по аналогии с массивами.
 Суммирование и вычитание матриц:
Пример: Сложить матрицы:
<Ctrl>+<Shift>+<Enter>
Исходные векторы
Результат
Встроенные функции для работы с матрицами
Русифицированное имя
функции
Выполняемое действие
МОБР (параметр)
обращение матрицы
МОПР (параметр)
вычисление определителя матрицы
МУМНОЖ (список параметров)
умножение матриц
ТРАНСП (параметр)
транспонирование матриц
Параметрами
приведенных функций
могут быть адресные
ссылки на массивы,
содержащие элементы
матриц, или имена
диапазонов, например
МОБР (А1: B2), или
МОПР (матрица_1).
9
Технология вычисления произведения матриц
Произведение матриц может быть вычислено, если
количество столбцов умножаемой матрицы равно количеству
строк матрицы множителя. Если А=(аij) m x n, и B=(bij) n x p, то
матрица С, полученная умножением матрицы А на матрицу В
будет иметь размер m x p, а каждый ее элемент будет равен
сумме произведений i-й строки матрицы А на соответствующие
элементы j-го столбца матрицы В:
cij =ai1b1j+ai2b2j+ …aipbpj =
, i=1, 2, …, m; j= 1, 2, …, n.
Пример: Умножить матрицу А на матрицу В:
<Ctrl>+<Shift>+<Enter>
А 2х3
В 3х2
С 2х2
10
1.4 Решение систем линейных уравнений
 метод обратной матрицы
Система линейных уравнений в матричном виде может быть
представлена в виде: А х Х = В. В частном случае, когда число
уравнений (m) в системе равно числу неизвестных (n), т.е. m=n, то
решение такой системы можно найти методом обратной матрицы в
виде X=A-1 х B, где A-1 -матрица, обратная по отношению к А.
Пример: Решить систему линейных уравнений:
<Ctrl>+<Shift>+<Enter>
11
1.4 Решение систем линейных уравнений
 метод наименьших квадратов
В общем случае m может быть не всегда равно n. Возможны
три случая: m<n, m=n, m>n.
При решении задачи в электронной таблице удобнее
применить более общий подход - метод наименьших квадратов.
Для этого обе части уравнения нужно умножить на
транспонированную матрицу системы : АтАХ=АтВ.
Затем обе части уравнения нужно умножить на (АтА)-1.
Если матрица (АтА)-1 существует, то система определена.
С учетом того, что (АтА)-1 х АтА=Е, где Е – единичная матрица,
получаем решение системы в виде Х=(АтА)-1 х АтВ.
Пример: Решить систему линейных уравнений:
12
Пример
Шаг 1
Шаг 3
Шаг 2
Шаг 4
1.5 Решение систем линейных уравнений с
использованием инструмента Поиск решения
Концепция решения системы с использованием
этого инструмента заключается в поиске таких
значений аргументов целевой функции, при которых
функция принимает нужное значение при заданных
ограничениях. Т.е. решается задача математического
программирования.
В качестве целевой функции при этом выступает
одно из уравнений системы. Оставшиеся уравнения
выполняют роль ограничений.
Инструмент Поиск решения использует
итерационный алгоритм по методу сопряженных
градиентов. Точность решения определяется
задаваемой относительной погрешностью.
14
Пример для случая m=n
П. Мельников
15
Пример для случая, когда m<>n
П. Мельников
16
Приложение технологии использования матриц в макроэкономике
Технология исследования линейной модели многоотраслевой
экономики Леонтьева
Известно, что рациональное функционирование многоотраслевого хозяйства
предполагает соблюдение баланса между отраслями. Каждая отрасль
многоотраслевого хозяйства является, с одной стороны, производителем
определенной продукции, а с другой — потребителем
продукции, выпускаемой другими отраслями. Макроэкономика функционирования
многоотраслевого хозяйства требует, чтобы соблюдался баланс по производству и
потреблению между отдельными отраслями.
Балансовый принцип связи различных отраслей состоит в том, что валовой выпуск i-й
отрасли должен быть равен сумме объемов потребления. В простейшей форме
балансовые соотношения имеют вид
xi = xi1 + xi2 + … + xin + yi , i = 1, 2, …, n,
где xi — общий объем выпускаемой продукции i-й отрасли;
xij — объем продукции i-й отрасли, потребляемый j-й отраслью при производстве
объема продукции xj;
yi — объем продукции i-й отрасли конечного потребления (для реализации в
непроизводственной сфере).
П. Мельников
17
Для производства продукции j-й отрасли объемом xi нужно использовать
продукцию i-й отрасли объемом aijxi , где аij — постоянное число, характеризующее
прямые затраты.
Это допущение позволяет представить модель многоотраслевой экономики (модель
Леонтьева) в виде системы линейных уравнений, которая в матричной форме имеет
вид x = Ax + y, (А= П/xт, П- матрица потребления),
где x— вектор валового выпуска;
y— вектор объема продукции конечного потребления;
A — матрица коэффициентов прямых затрат.
Приведенная система уравнений может быть представлена в виде
(E – A)x= y,
где E — единичная матрица.
Если существует обратная матрица (E – A)–1 (матрица полных затрат), то
существует единственное решение системы x = (E – A)–1 y.
Из экономической теории известно несколько критериев продуктивности матрицы
А:
— матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда матрица
(E – A)–1 существует и ее элементы неотрицательны;
— матрица А с неотрицательными элементами продуктивна, если сумма элементов
по любому ее столбцу (строке) не больше единицы, причем хотя бы для одного
столбца (строки) строго меньше единицы.
П. Мельников
18
Пример
В таблице приведены данные по балансу за некоторый период времени между пятью
отраслями
№ Отрасль
Потребление
1
2
3
4
5
Конечный
Продукт
(потребляе
мый самой
отраслью)
Валовой выпуск
1
Станкостроение
15
12
24
23
16
10
100
2
Энергетика
10
3
35
15
7
30
100
3
Машиностроение
10
5
10
10
10
5
50
4
Автомобильная
промышленность
10
5
10
5
5
15
50
5
Добыча и
переработка
углеводородов
7
15
15
3
3
50
100
Требуется найти векторы конечного потребления и валового выпуска, а
также матрицу коэффициентов прямых затрат и определить ее
продуктивность
П. Мельников
19
Решение
П. Мельников
20