Теория без практики мертва или бесплодна, практика без теории невозможна или

Теория без практики мертва
или бесплодна, практика без
теории невозможна или
пагубна. Для теории нужны
знания, для практики, сверх
всего того, и умение.
А.Н. Крылов
Функции и их графики
Х
У
Понятие функции
• Функция – зависимость переменной y
от переменной x, при которой каждому
значению x соответствует единственное
значение y.
y = f(х), где
x– независимая переменная или
аргумент
y – зависимая переменная
ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
• Функция определена на множестве Х со
значениями на множестве У, если задано
правило (закон) по которому каждому
элементу из множества Х ставится в
соответствие единственный элемент из
множества У.
f : X Y
Функция f , определённая на
множестве Х со значениями во
множестве У
7
Для функции находят:
• Область определения функции – все
значения, которые принимает
независимая переменная.
Обозначается : D (f).
• Область (множество) значений
функции – все значения, которые
принимает зависимая переменная.
Обозначается : E (f).
Способы задания функции
1.Формулой
f : R  R, f x  4 x  5
3. Диаграммой
2.Таблицей
х
-2 -1 0
у
5
7
3
-3 -5
4. Графиком
У
х
0
Определение графика функции
График функции – множество всех
точек координатной плоскости,
абсциссы которых равны значениям
аргумента, а ординаты равны
соответствующим значениям функции.
“Чтение” графика
•
•
•
•
•
•
•
•
Область определения функции
Область значений функции
Четность (нечетность) функции
Периодичность (наименьший положительный
период) функции
Точки пересечения графика с осями
Промежутки знакопостоянства
Промежутки возрастания (убывания) функции
Максимумы (минимумы)
Линейная функция и ее график
y = kx + b, где k и b - некоторые
действительные числа
Графиком линейной
функции является
прямая.
у
k – угловой
коэффициент прямой
α
х
0
k=tq α
Частные случаи линейной
функции
• 1. Если b = 0, то линейная функция
называется прямой пропорциональностью.
• 2.Если k = 0, то линейная функция
называется постоянной.
у
у
y=b
х
0
0
х
у=kх
График функции
у=kx²
y
y  x2
yx
2
y  x2
x
yx
2
y  x
2
y  2x
2
Функция вида : у = kх ².
х
-3
-2
-1
0
1
2
3
у
9
4
1
0
1
4
9
Графиком квадратичной
функции у= kх² является
парабола ,вершина которой
находится в начале
координат.
Если к > 0 , то ветви,
параболы направлены
вверх.
Y
10
9
9
9
8
7
6
5
4
4
4
3
2
1
1
0
1
0
X
Свойства данной функции при к >0 :
1. Область определения ( - ∞ ; +∞) .
2. у=0 при х = 0 , у >0 при х ≠ 0 .
3. у= к х² является непрерывной функцией ( т.е график сплошная
линия.)
4. Уmin = 0 при х = 0 ; у max не существует .
5. Возрастает данная функция у= к х² при х ≥ 0 ; убывает при х ≤0.
6. Данная функция ограничена снизу , но не ограничена сверху.
1
-1
1 0
0
у
-1
-1
-2
-4
-3
-4
Графиком функции является
парабола , вершина которой
проходит через начало
координат.
Если к < 0 , то ветви параболы
направлены вниз.
х
-4
-5
-6
-7
-9
-8
-9
-9
-10
-11
х
-3
-2
-1
0
1
2
3
у
9
4
1
0
1
4
9
-12
-13
-14
-16
-15
-16
-16
Свойства данной функции:
1. Область определения ( - ∞ ; +∞) .
2. у=0 при х = 0 , у < 0 при х ≠ 0 .
3. у= к х² является непрерывной функцией ( т.е график сплошная
линия.)
4. у наиб. = 0 при х = 0 ; у наим. не существует .
5.Возрастает данная функция у= к х² при х ≤0 ; убывает при х ≥ 0.
6. Данная функция ограничена сверху, но не ограничена снизу.
y  2x 2
2
yx
y
y
1 2
y
x
2
1
1
Чем больше коэффициент, тем круче график
•
х=1,у=0.5
к=0,5
•
Х=1,у=1
к=1
•
Х=1,у=2
к=2
x
Решить уравнение
x  x2
2
yx
у
2
y  x2
Ответ: Х=-1; Х=2
В
А
х
-1
2
Решите графически систему
уравнений
 y  2x2

 y  2
х 0 1 2 -1 -2
у 0 1 4 1 4
 x1  1  x2  1
Ответ:

y

2
 1
 y2  2
у
y  2x 2
А 2
В
У=2
х
-1
1
Квадратичная функция
и ее график
у = ах2+bх + с, где а, b, с – некоторые
числа, причем а ≠ 0
а) а > 0
б) а < 0
у
у
0
х
0
График - парабола
ветви вверх
ветви вниз
план построения параболы
у=ах2+bх+с.
1) Найдем координаты вершины.
b
x0  
; y0 - удобно найти путем
2a
подстановки.
У
2) Проведем ось симметрии х=х0
3) Найдем точки пересечения с Ох.
Для этого решим уравнение у=0
4) Найдем дополнительные точки.
В этом нам и поможет ось
симметрии.
График построен.
Опишите свойства
данной функции по
графику.
1
-1
-2
1 2 3
Х
Проверь себя:
1. D(y): R
У
2. у=0, если х=1; -3
3. у>0, если х    ;3  1;
у<0, если х   3 ;1

  1;
4. у↓, если х    ;1
у↑, если х
5. унаим= -8, если х= -1
унаиб – не существует.
6. Е(y):  8 ;
1
-1
-2
1 2 3
Х
Степенная функция и ее график
y = xn, где n – натуральное число
1) n – четное,
2) n - нечетное
у
0
у
х
0
х
Степенная функция
у = хР, где р - заданное
действительное число.
1. Показатель р=2n - четное натуральное число. В этом
случае степенная функция у = х2n, где n - натуральное
число, обладает следующими свойствами:
- область определения - все действительные числа, т. е.
множество R ;
- множество значений - неотрицательные числа, т. е. y≥ 0;
- функция у=х2n четная, так как (-х)2n = х2n;
- функция является убывающей на промежутке x≥O и
возрастающей на промежутке x≤ O.
График функции у = хР имеет такой же вид, как, например,
график функции у = х4 (рис. 1).
Рис. 1
2. Показатель р=2n-1 - нечетное
натуральное число.
В этом случае степенная
функция y=х2n-1, где 2n-1 натуральное число, обладает
следующими свойствами:
- область определения множество R;
- множество значений множество R;
- Функция y=х2n-1 нечетная,
так как (-х)2n-1=- х2n-1;
- функция является
возрастающей на всей
действительной оси.
Рис.2
3. Показатель р = - 2n, где n натуральное число.
В этом случае степенная функция
y=х2n обладает следующими
свойствами:
- область определения - множество
R, кроме х= 0;
- множество значений положительные числа у>0;
- Функция y=х2n- четная, так как (х)2n =х2n;
-функция является возрастающей
на промежутке х<0 и убывающей
на промежутке х>0.
График функции y=х2nимеет такой
же вид, как, например, график
функции y=х-2(рис.3).
Рис.3
4. Показатель р = - (2n - 1), где
n - натуральное число.
В этом случае степенная функция
y=х-(2n-1) обладает следующими
свойствами:
- область определения - множество
R, кроме х=0;
- множество значений - множество R,
кроме у=0;
- функция нечетная, так как (-х)-(2n-1)
= х-(2n-1);
- функция является убывающей на
промежутках х<0 и х>0.
График функции y=х-(2n-1) имеет
такой же вид, как, например, график
функции y=х-3 (рис. 4).
Рис.4
В этом случае функция у=хР обладает следующими
свойствами:
• область определения - неотрицательные числа х;
• множество значений - неотрицательные числа у;
• функция является возрастающей на промежутке (x; ∞).
График функции у=хР, где р - положительное нецелое число,
имеет такой же вид, как, например, график функции у=х
(при 0<р< 1) или как, например, график функции y=x (при
p>1) (рис.5 a, б)
Рис.5
Функция обратная
пропорциональность и ее график
k
y=
, где k – число, отличное от 0. (x ≠ 0)
x
у
Графиком является гипербола
у
k>0
k<0
0
х
х
0
Функция
y = √¯x
D (y) = [0;+∞) ; E (y) = [0;+∞).
y
0
x
Функция y = | x|
D (y) = R ; E (y) = [0;+∞) .
y
0
x
Свойства функции:
ФУНКЦИЯ y = sin x
График функции y = sin x
1. D(sin x) = R
2. y = sin x – нечетная функция,
график симметричен
относительно
начала координат
3. периодичноть: T = 2π
4. sin x = 0 при х = πn, nZ (нули
функции)
5. промежутки знакопостоянства:
sin x > 0 при
0 + 2πn < x < π+ 2πn,
nZ
sin x < 0 при
π + 2πn < x < 2π+ 2πn,
nZ
6. промежутки монотонности:
x [- π /2 + 2πn; π /2 + 2πn], nZ –
возрастает
x [ π /2 + 2πn; 3π /2 + 2πn], nZ–
убывает
7. экстремумы:
y max = 1 при х = π /2 + 2πn, nZ
y min = - 1 при х = - π /2 + 2πn, nZ
8. E(sin x) = [- 1 ; 1]
9. производная:
(sin x )´ = cos x
Построение функции y = sin x ±b
y
y = sin x +1
1
x
y = sin x
-2π
y = sin x -1
-3π/2
-π
-π/2
0
-1
π/2
π
3π/2
2π
Построение функции y = sin (x ±b)
y
y = sin(x +π/2)
1
x
y = sin x
-2π
y = sin(x -π/2)
-3π/2
-π
-π/2
0
-1
π/2
π
3π/2
2π
ФУНКЦИЯ y = cos x Свойства функции:
График функции y = cos x
1. D(cos x) = R
2. y = cos x – четная функция,
график симметричен относительно
оси ординат
3. периодичноть: T = 2π
4. cos x = 0 при х = π /2 + πn, nZ (нули
функции)
5. промежутки знакопостоянства:
cos x > 0 при - π /2 + 2πn < x < π /2 + 2πn,
nZ
cos x < 0 при π /2 + 2πn < x < 3π /2 + 2πn,
nZ
6. промежутки монотонности:
x [ π+ 2πn; 2π+ 2πn], nZ –
возрастает
x [0 + 2πn; π+ 2πn], nZ– убывает
7. экстремумы:
y max = 1 при х = 2πn, nZ
y min = - 1 при х = π+ 2πn, nZ
8. E(cos x) = [- 1 ; 1]
9. производная:
(cos x )´ = - sin x
Построение функции y = cos x ±b
y
y = cos x +1
1
x
y = cos x
-2π
y = cos x -1
-3π/2
-π
-π/2
0
-1
π/2
π
3π/2
2π
Построение функции y = cos(x ±π/2)
y
1
y = cos(x -π/2)
x
y = cos x
-2π
y = cos(x +π/2)
-3π/2
-π
-π/2
0
-1
π/2
π
3π/2
2π
Свойства функции:
ФУНКЦИЯ y = tg x
График функции y = tg x
1. D(tg x) = x R/ π /2 + πn, nZ
2. y = tg x – нечетная функция
график симметричен
относительно
начала координат
3. периодичноть: T = π
4. tg x = 0 при х = πn, nZ (нули
функции)
5. промежутки
знакопостоянства:
tg x > 0 при 0 + πn < x < π /2 + πn,
nZ
tg x < 0 при - π /2 + πn < x < 0 + πn,
nZ
6. промежутки монотонности:
x [- π /2 + πn; π /2 + πn], nZ –
возрастает
7. экстремумов нет
8. E(tg x) = R
9. производная:
(tg x )´ = 1/cos 2 x
ФУНКЦИЯ y = ctg x Свойства функции:
График функции y = ctg x
1. D(ctg x) = x R / πn, nZ
2. y = ctg x – нечетная функция
график симметричен
относительно
начала координат
3. периодичноть: T = π
4. ctg x = 0 при х = π /2 + πn, nZ
(нули функции)
5. промежутки
знакопостоянства:
ctg x > 0 при 0 + πn < x < π /2 +
πn, nZ
ctg x < 0 при π /2 + πn < x < π +
πn, nZ
6. промежутки монотонности:
x [0+ πn; π+ πn], nZ –
убывает
7. экстремумов нет
8. E(ctg x) = R
9. производная:
(ctg x )´ = - 1/sin 2 x
Определение.
Функцию вида
у  а , а  0, а  1
х
называют показательной функцией
Основные
свойства
а>1
0<а<1
D(f)=(-∞; +∞)
D(f)=(-∞; +∞)
Е(f)=(0; +∞)
Е(f)=(0; +∞)
Возрастает
Убывает
Непрерывна
Непрерывна
Ограничена снизу
Ограничена снизу
Выпукла вниз
Выпукла вниз
Дифференцируема
Дифференцируема
График функции
Кривая называется экспонентой
а>1
0<а<1
Геометрическая особенность графика
функции
Ось Ох является горизонтальной
асимптотой графика функции у  а х
• при х→ -∞, если а >1
• при х→ +∞, если 0<а<1
Функция у = lоgа х, где а — заданное число, а > 0,
а 1, называется логарифмической функцией.
Свойства и график логарифмической функции
Область определения функции — множество всех
положительных чисел (х > 0).
• Область значений функции — множество R всех
действительных чисел.
• Монотонность функции:
• если а > 1, то функция является возрастающей;
• если 0 < а < 1, то функция является убывающей.
• Промежутки знакопостоянства :
1
Значения аргумента a > 1 0 < а < 1
2 0< х < 1
у< 0
у>0
3 х>1
у> 0
у<0
График логарифмической
функции
2.Какие из перечисленных логарифмических
функций являются возрастающими,
убывающими:
• y=log2(x+1)
• Б)y=log0,9x
• В)y=log2xгy=3logx3.Найти область
определения
функцииаy=log2x+1бy=log5+3x5вy=logx-1(83x)гy=log2(3-0,5x)4. Определить какие
выражения имеют смыслаlog3(-3)бlog530,5вlog0,7sinгlog3cos2дlog6(-2,1)45. Сравнить
значения выраженийаlog 32,5-log31.5 и log
34-1бlog70,3 и log60,3вlog235 и 5log23
Экстремумы
функции
Критические точки функции
Внутренние точки области
определения, в которых
производная равна нулю или не
существует, называют
критическими точками функции
Точки минимума и точки
максимума называются ТОЧКАМИ
ЛОКАЛЬНОГО ЭКСТРЕМУМА
В этих точках производная меняет
знак с «+»на «-» или с
«-» на «+»
Значение функции в этих
точках называется
ЭКСТРЕМУМАМИ функции
Найти экстремумы функции
Определение экстремумов по
графикам функций
Определение экстремумов по
графикам функций
Прояви смекалку
•
•
•
•
Чем дальше в лес, тем больше дров.
Выше меры конь не скачет.
Тише едешь, дальше будешь.
Пересев хуже недосева.
Пословицы – это отражение устойчивых
закономерностей, выверенных многовековым
опытом.
Количество дров
Чем дальше в лес, тем больше дров
Продвижение в лес
Выше меры конь не скачет
Высота прыжка
Мера
Расстояние
Расстояние
Тише едешь, дальше будешь
Скорость движения
Урожай
Пересев хуже недосева
f(a)-максимум функции
Точка
максимума
Плотность посева
1.Назовите промежутки
убывания функции
1)(-3;2)
2)[-5;3]
3)[-3;2]
4)(-5;3)
2.Назовите критические
точки функции
1) -3
2) 2
3) -3 и 2
4) -5 и 3
3.Назовите точку максимума
функции
1) -3
2) 6
3) 6
4) 4
6.Найти область
определения функции
3 õ
ó
õ 2
1) [0;+∞)
3) [0;2)и(2 ;+∞)
2) (-∞;2)и(2;+∞)
4) R
7.Найти область
определения функции
3õ
ó
õ5
1) (- ∞;5)и(5;+∞)
3) (0 ;+∞)
2) R
4) (-∞;-5)и(-5;+∞)
8.Найти область
определения функции
ó õ 4
2
1) [-2;2]
3) R
2) (-∞;-2]и[2;+∞)
4) [4; +∞)