Дифференциальное исчисление

Вариант 4.11
1.Найти производные от данных функций
1  x2

(1  x) 2
а) f ( x)  
 sin x 
 cos x   e  x 1 , (881.5П), f  1 ;
 2

2


x
б) f ( x)  arctg
, (П71), f  3 ;
5
2
1 1 x

в) f ( x)  3 2  ln  e x  1  e2 x  , (201), f (0) .


2. Дана функция u  x 2  y 2  z 2 . Найти:
а) (291.РП) координаты вектора grad u в точке M 0 (1,  2, 2) ;
u
б) (971)
в точке M 0 в направлении вектора a  ( 8,  4,1) .
a
3. Дана функция f ( x)  4 ctg 2 x  8 ln sin x . Найти f (x ) . Вычислить (ПД1) 3  f   .
3

4. Доказать, что функция z  x  7 y  xy 2  2 x 2 y удовлетворяет
уравнению
2z
2z
2z
y
 2( x  y ) 
 2(2 x  y ) 
0.
x y
x 2
y 2
 esin x 


5. Дана вектор-функция одной переменной f ( x)   tgx  .


 2 sin 2 x 


Найти f (x) и f (x ) . Вычислить (2П1.РП) f   и (2А1.РП)
f  .
6.
Дана
вектор-функция
двух
переменных
 5  x2  y2 
 . Найти f ( x, y ) . Вычислить (Д81)
f ( x, y )  
 2  ln 4 x  3 y 


1
1
f  , . В ответ ввести сумму элементов матрицы f  1 , 1 .
4 3
4 3
 x  t  sin t ,
 , если 
7.Найти y x и y xx
Вычислить (061) yx (t0 ) и
 y  2  cos t.
 (t0 ) , если t0   .
(8С2) yxx
2
8.Функция z  z ( x, y) задана неявно уравнением
 
 
x 2 yz  3 y z 2  2 z  4 x  0 .
z
z
(1, 0, 2) .
Вычислить: а) (281)
(1, 0, 2) ; б) (821)
y
x
1
9. На графике функции f ( x) 
взята точка A . Касательная к
x
графику в точке A наклонена к оси Ox под углом, тангенс которого равен  4 . (342) Найти ординату точки A .
10.Найти dy , если y ( x)  x 2  5 . (П41) Вычислить значение
dy , если x  2 , x  0,03 .
11. Дана функция z  2 x 2  3xy 2 и точки M 0 (1;1) и
M1 (1,02; 0,97 ) . Вычислить (Б91.Д7) z и (961.Д8) dz при переходе из точки M 0 в точку M 1 (ответы округлить до тысячных).
x2 8
  8 . Найти её (С54) наибольшее и
2 x
(ОА1) наименьшее значения на отрезке  4,  1 .
12. Дана функция y  
13. Дана функция z ( x, y )  y 2  2 xy  x 2 . Найти её (ОД1)
наибольшее и (191) наименьшее значения на замкнутом множестве, ограниченном линиями x  y  4  0 , x  0 , y  0 .
14. Провести полное исследование функции y 
ить её график.
e2 x
и постро4x
Вариант 4.12
1.Найти производные от данных функций
а) f ( x)  2 arctg x  1  x 2   x 2  2 x  2 e 2 x , (8С2) f 0  ;


sin x 1 2
б) f ( x) 
 tg 3x , (863) f ( ) ;
cos2 x 2
 x2 1 


в) f ( x)  3  ln  2  , (ДА2) f  1  .
2  x 1
 2
2.Дана функция u  ln( 2  xyz) . Найти:
а) (832.РП) координаты вектора grad u в точке M 0 ( 1,1,1) ;
u
б) (2А4)
в точке M 0 в направлении вектора a  (  2, 3, 6) .
a
3.Дана функция f ( x)  tgx  1 tg3 x  1 tg5 x . Найти f (x ) . Вы5
3

числить (882) f  .
4
4.Доказать, что функция z  x  cos(x  2 y) удовлетворяет урав-



нению
2 z 2 z 2 z


 3z  0 .
x 2 x y y 2
 ln x 2 


5. Дана вектор-функция одной переменной f ( x)   x 2  1  .


 2x 1 


Найти f (x) и f (x ) . Вычислить (5Т2.РП) f 1 и (4Д2.РП)
f 1 .
 e2 x 2 y 
.
6.Дана вектор-функция двух переменных f ( x, y )   2
2
x

y




Найти f ( x, y ) . Вычислить (9А2) f (1,1) . В ответ ввести сумму
элементов матрицы f (1,1) .
 x  t  1,

 , если 
7.Найти y x и y xx
Вычислить (П42) yx (t0 ) и
t
y

.

t 1

 (t 0 ) , если t0  2 .
(342) y xx
8. Функция z  z ( x, y) задана неявно уравнением
4 xz  3 y 2 z 2  2 y  3  0 .
z
z
(1,1,1) .
(1,1,1) ; б) (842)
y
x
9. К графику функции f ( x)  4 ln  x  2 в точке с абсциссой
x  3 проведена касательная. (2А2) Найти ординату той точки
касательной, абсцисса которой равна 2 .
1
10.Найти dy , если y ( x) 
. (7Т2.Д6) Вычислить значе2x 1
ние dy в виде десятичной дроби, если x  1,5 , x  0,08 .
Вычислить: а) (383)
x2 y

и точки M 0 ( 0,5; 0,25) и
y x
M1 ( 0,45; 0,27 ) . Вычислить (А22.Д6) z и (С22.Д6) dz при переходе из точки M 0 в точку M 1 (ответы округлить до тысячных).
4x
12. Дана функция y ( x) 
. Найти её (3С2) наибольшее и
4  x2
(2А4) наименьшее значения на отрезке  4, 2 .
11. Дана функция
z
13. Дана функция z ( x, y )  x 2  3 y 2  x  y  2 . Найти её (942)
наибольшее и (362) наименьшее значения на замкнутом множестве, ограниченном линиями x  1 , y  1 , x  y  1 .
14. Провести полное исследование функции y 
построить её график.
2x2  x  1
и
2( x  1)
Вариант 4.13
1.Найти производные от данных функций
а) f ( x) 

ex 
x  cos x
, (34С) f   ;
1  ctg  
2
2
 
2
 sin x
e


x2
б) f ( x)   ln
 2 arctgx  , (5Т3) f (1) ;


x2 1


в) f ( x)  3  arcsin 1  x 2 , (ЖМ2) f   1 .
2
 
2.Дана функция u  e2 x  y  2 z . Найти:
а) (АП3.РП) координаты вектора grad u в точке M 0 ( 1, 6, 2) ;
u
б) (П83)
в точке M 0 в направлении вектора a  (  2,  2,1) .
a
f (x ) .
3.Дана функция f ( x)  cos 2 x  2 sin x  cos3 x . Найти
Вычислить (983) f   .
2
x y
4.Доказать, что функция z  
удовлетворяет уравнению
y x

x 2 z y 2 z
2 z
 2   2  2
0.
y x
x y
x y
1


 4 x 
5. Дана вектор - функция одной переменной f ( x )   2(3 - 4x)  .


 6 3  4x 


1
Найти f (x) и f (x ) . Вычислить (БП3.РП) f 
и (СО3.РП)
4
f  1 .
4
 ln x 2 y 
.
6.Дана вектор-функция двух переменных f ( x, y )  
2 
ln
xy




 
 
 
Найти f ( x, y ) . Вычислить (203) f  1 , 1 . В ответ ввести сумму
3 2
1
1
элементов матрицы f  , .
3 2
 x  t  sin t ,
 , если 
7.Найти y x и y xx
Вычислить (323) yx (t0 ) и
 y  2  cos t.
 (t0 ) , если t0   .
(863) yxx
2
8. Функция z  z ( x, y) задана неявно уравнением
 
z 5  3xyz  x 3  3 y 2  0 .
z
z
( 2,1,1) .
Вычислить: а) (П23)
( 2,1,1) ; б) (793)
y
x
x2
9. К графику функции f ( x) 
в точке с абсциссой
x 1
x  ( 3  1) проведена касательная. (С73) Найти острый угол (в
градусах) между касательной и осью Ox .
3
10.Найти dy , если y ( x)  x3  7 x . (Б03.Д7) Вычислить значение dy , если x  1 , x  0,012 .
11. Дана функция z  x 2 y  2 xy 2  6 x  4 y  2 и точки M 0 (1;  1)
и M1 ( 0,98;  0,97 ) . Вычислить (2П3.Д5) z и (ПТ3.Д6) dz при
переходе из точки M 0 в точку M 1 (ответы округлить до тысячных).
12. Дана функция y( x)  x  x  2  8 . Найти её наибольшее и
наименьшее значения на отрезке  1, 7 .
13. Дана функция z ( x, y )  xy  2 x 2  y  3 . Найти её (8Д3)
наибольшее и ()983) наименьшее значения на замкнутом множестве, ограниченном линиями x  0 , x  3 , y  0 , y  8 .
2 1
14. Провести полное исследование функции y  2 
и поx
x
строить её график.
Вариант 4.14
1.Найти производные от данных функций
а) f ( x)  tg x  ctg x  5 sin 2 2 x , (С54) f    ;
2
2
2
б) f ( x)  8x  1  ln 1  8x  1 , (СТ4) f 1 ;

 

в) f ( x)  x  25  x 2  25 arcsin x , (4Б4) f (3) .
5
2
2
2.Дана функция u  3xy  xz  z 2 . Найти:
а) (Т14.РП) координаты вектора grad u в точке M 0 ( 2,1,  1) ;
u
б) (454)
в точке M 0 в направлении вектора a  (  1, 2, 2) .
a
3 cos x
3.Дана функция f ( x) 
. Найти f (x ) . Вычислить (824)
sin 2 x
f   .
3

4.Доказать, что функция z  e 2 x
2 z 2 z
y 2  2  2  (4 xy) 2  z  2 z .
x
y
2
 y2
удовлетворяет уравнению
 e1 x 2 


2 

5. Дана вектор - функция одной переменной f ( x)  ln x
.


 2 arctgx 


Найти f (x) и f (x ) . Вычислить (974.РП) f 1 и (1Б4.РП)
f 1 .
x y
 .
6. Дана вектор-функция двух переменных f ( x, y )  
 y x
Найти f ( x, y ) . Вычислить (6Т4) f  1 ,  1 . В ответ ввести
4 2
сумму элементов матрицы f  1 ,  1 .
4 2




 , если
7.Найти y x и y xx
 x  cos t  sin t ,
Вычислить (264)

 y  sin 2t.
 (t0 ) , если t0   .
yx (t0 ) и (CШИ) yxx
8. Функция z  z ( x, y) задана неявно уравнением
sin( 2 x  z )  cos( y  2 z )  0 .
z   
z   
( , , ).
Вычислить: а) (С95)
( , , ) ; б) (2А4)
4
2
2
y 4 2 2
x
9. К графику функции f ( x)  x 2  2 x  2 в точке с абсциссой
x  1 проведена касательная. (8Д4) Найти абсциссу той точки
касательной, ордината которой равна 2 .
10.Найти dy , если y( x)  1  x  5  x 2  . (964.Д5)Вычислить
2

значение dy , если x  1 , x  0,02 .
11. Дана функция z  x3  4 xy  2 y 2  4 x  5 y и точки M 0 ( 2;  1)
и M1 (1,94;  1,07 ) . Вычислить (804.Д5) z и (С24.Д6) dz при
переходе из точки M 0 в точку M 1 (ответы округлить до тысячных).
12. Дана функция f ( x)  2 x  1  x  2 . Найти её (СНШ)
наибольшее и (СКИ) наименьшее значения на отрезке 1,10  .
13. Дана функция z ( x, y )  x 2  xy  3 x  y  1 . Найти её (С74)
наибольшее и (244) наименьшее значения на замкнутом множестве, ограниченном линиями x  0 , x  2 , y  0 , y  4 .
14. Провести полное исследование функции y 
строить её график.
x2 1
и поx2  1
Вариант 4.15
1. Найти производные от данных функций
1
1
а) f ( x) 
, (695) f   ;

2
2
16
cos 2 x sin 2 x
 x2 1  x 
 , (СН5) f  3 ;
б) f ( x)  4 arctgx  ln 
 2

 x 1  x 
 
 
в) f ( x)  ( x  1) 2  e  x
2
2x
, (П45) f 2  .
xy 2
. Найти:
z
а) (555.РП) координаты вектора grad u в точке M 0 ( 1,  4, 2) ;
u
б) (Д55)
в точке M 0 в направлении вектора a  (1,  4, 8) .
a
3.Дана функция
f ( x)  x  ln  x  1  x 2   1  x 2 . Найти


f (x ) . Вычислить (ПД5) f  3 .
2. Дана функция u 
 
4. Доказать, что функция z  3 x 2 y  2 y 2  y  2 удовлетворяет
уравнению
2 2z
2z

 y
 0.
3 x 2
y 2
 ln(sin x) 


5. Дана вектор - функция одной переменной f ( x)   ln(cos x)  .
 tgx 


Найти f (x) и f (x ) . Вычислить (895.РП) f  3 и (Д35.РП)
4
3

.
f 
4
6. Дана вектор-функция двух переменных
 2 sin 3 x  4 y  
 .
f ( x, y )  
 4 cos5 x  2 y 
 
 
 
Найти f ( x, y ) . Вычислить (8А5) f  0,  .В ответ записать
12

сумму элементов матрицы f  0,
.
12
 x  2(t  sin t ),
 , если 
7.Найти y x и y xx
Вычислить (ДАТ)
 y  4(2  cos t ).
 (t0 ) , если t0   .
yx (t0 ) и (С35) yxx
2
8. Функция z  z ( x, y) задана неявно уравнением
 
ex y z  x z  y z  0 .
Вычислить: а) (С2Р)
z
z
( 0,1,1) .
( 0,1,1) ; б) (68Р)
y
x
3
9. К графику функции f ( x)  6  x 2  1 в точке с абсциссой
x  3 проведена касательная. Найти (74С) абсциссу точки пересечения этой касательной и прямой y  9 .
10.Найти dy , если y( x)  3 x 2  2 x  5 . (025.Д6) Вычислить
значение dy , если x  1 , x  0,03 .
11. Дана функция z  5 x 2  2 xy 2  7 y  4 и точки M 0 (1;  2) и
M1 (1,06;  2,04) . Вычислить (ОА5.Д6) z и (Б05.Д7) dz при
переходе из точки M 0 в точку M 1 (ответы округлить до тысячных).
x2
12. Дана функция f ( x)    2 x  5 . Найти её (4П5) наиболь2
шее и (245) наименьшее значения на отрезке  2, 4 .
13. Дана функция z ( x, y )  3x 2  6 xy  y 2 . Найти её (025)
наибольшее и (2С5) наименьшее значения на замкнутом множестве, ограниченном линиями x  1 , x  1 , y  1 , y  1 .
14. Провести полное исследование функции y 
строить её график.
e x
и по2( x  1)
Вариант 4.16
1. Найти производные от данных функций
1
1
а) f ( x) 
, (Д56) f   ;

2 x
2 x
6
sin
cos
2
2
 x4 
1




ln
б) f ( x) 
 1  x 4  , (ТТ6) f 1 ;
1  x4




8x
8 arccos x
в) f ( x) 
, (Д66) f  1  .
 1  x2 


 2
2. Дана функция u  2 arctg( xy  z  1) . Найти:
а) (4А6.РП) координаты вектора grad u в точке M 0 ( 1, 0, 0) ;
u
б) (ДА6)
в точке M 0 в направлении вектора a  ( 4,  1,  8) .
a
3. Дана функция f ( x)  (2 x 2  7)  ln( x  1) . Найти (ОД6) f (x ) .
Вычислить f 2  .
4. Доказать, что функция z  xy sin( xy) удовлетворяет уравне-

2
2 z
2  z

y

 0.
x 2
y 2
5.
Дана
вектор
функция
одной
переменной
 ( x  1)  sin x 


f ( x)   ( x  1)  cos x  . Найти f (x) и f (x ) . Вычислить
 x2 1 


нию x 2 
(СА6.РП) f 0  и (446.РП) f 0  .
6.
Дана
вектор-функция
двух
переменных
 3 tg2 x  y  
 . Найти f ( x, y ) . (5Т6) Вычислить
f ( x, y)  
 ctg 3 x  2 y 
2




f   , .В ответ ввести сумму элементов матрицы f    ,  .
6 2
6 2






1

x 
 , если 
7. Найти y x и y xx
sin 2 t Вычислить (2СА) yx (t0 )
 y  2 ln tgt.
 (t0 ) , если t 0  3 .
и (2СД) yxx
4
8. Функция z  z ( x, y) задана неявно уравнением
ln( x y  y z  x z)  2 x  2 y  z  0 .
z
z
(1,1, 0) .
Вычислить: а) (Д46)
(1,1, 0) ; б) (33П)
y
x
9. К графику функции f ( x)  x 2  4 x в точке A проведена касательная, которая параллельна прямой 4 x  2 y  3  0 . Найти
(ТТК) абсциссу точки A .
10.Найти dy , если y ( x)  1  x  sin x . Вычислить значение dy
в виде десятичной дроби, если x  0 , x  0,01.
11. Дана функция z  4 x 2  3xy  8 x  9 y  1 и точки M 0 ( 2;  3) и
M1 ( 2,03;  3,06) . Вычислить (П66.Д6) z и (С86.Д7) dz при
переходе из точки M 0 в точку M 1 (ответы округлить до тысячных).
12. Дана функция f ( x)  x 4  2 x 2  3 . Найти её (ДД6) наибольшее и (Т56) наименьшее значения на отрезке  2,1 .
13. Дана функция z ( x, y)  2 x  y  xy . Найти её (7Б6) наибольшее и (ОС6) наименьшее значения на замкнутом множестве,
ограниченном линиями x  0 , x  4 , y  0 , y  4 .
14. Провести полное исследование функции y 
строить её график.
x2
x2 1
и по-
Вариант 4.17
1.Найти производные от данных функций
5
4
3
а) f ( x)  3
, (Д77) f 0  ;
x 1
x 1
3  x2
sin x
 cos x  2 x 
, (717) f 3 ;
sin 3
sin 3
 x 2  1
 ln x 2  1 , (067) f  2 .
в) f ( x)  5 2  arctg 2  
2
 x 1 
б) f ( x) 


 
x2  z 2
. Найти:
y2
а) (ПА7.РП) координаты вектора grad u в точке M 0 (  1,1, 2) ;
u
б) (2Т7)
в точке M 0 в направлении вектора a  (  1,  2,  2) .
a
2.Дана функция u 


3.Дана функция f ( x)  8 1  x  x 2  e
Вычислить f 1 .
4.Доказать, что функция
x 1
2
z  x 2 y  xy 2
. Найти (П97) f (x ) .
удовлетворяет уравне-
 2z 2z 
2z
нию  x  y    2  2    y  x  
.

x

y

x

y


 1 4x2



2
5. Дана вектор - функция f ( x)   5 5  1  x  .Найти f (x) и


 2 x  12 


f (x ) . Вычислить (А27.РП) f  1 и (167.РП) f  1 .
2
2
 4x 2 


 x  y2 
6.Дана вектор-функция двух переменных f ( x, y )  
.
2 
 4y 
 2

x  y


Найти f ( x, y ) . Вычислить (537) f 1,1 . В ответ ввести сумму
элементов матрицы f 1,1 .
 x  2 ln tgt ,

 , если 
1
7.Найти y x и y xx
Вычислить (Д47) yx (t0 ) и
y
.
2

sin t

 (t0 ) , если t0  .
(517) yxx
4
8. Функция z  z ( x, y) задана неявно уравнением
( z  x) 2  ( z  y ) 2  x3  1  0 .
z
z
( 2,1,1) .
Вычислить: а) (Т37)
( 2,1,1) ; б) (797)
y
x
9. К графику функции f ( x)  5 x  6  3 x 2  1 в точке с абсциссой
x  3 проведена касательная. (Ш3П) Найти абсциссу точки пересечения этой касательной и прямой y  7 .
10.Найти dy , если y ( x)  x 2  x  3 . (157.Д5) Вычислить значение dy в виде десятичной дроби, если x  2 , x  0,03 .
11. Дана функция z  2 x 2  4 xy  3 y 2  7 x  y и точки M 0 ( 2;  1)
и M1 (1,96;  1,07 ) . Вычислить (Б87.Д5) z и (БТ7.Д6) dz при
переходе из точки M 0 в точку M 1 (ответы округлить до тысячных).
4  x2
12. Дана функция f ( x) 
. Найти её (Т3Л) наибольшее и
4  x2
(ЛНЛ) наименьшее значения на отрезке  2,1 .
13. Дана функция z ( x, y )  2 x 2  y 2  xy . Найти её (127)
наибольшее и (78Т) наименьшее значения на замкнутом множестве, ограниченном линиями x  1 , x  2 , y  0 , y  4 .
14. Провести полное исследование функции y 
строить её график.
x2
x2  1
и по-
Вариант 4.18
1. Найти производные от данных функций
а) f ( x)  4  3 ctg 2 x  3 ctg8 x  1 x , (ОТ8) f   ;
4
3
2 arcsin x 1  1  x 


б) f ( x) 
   ln 
 , (ОА8) f  1  ;
2
1 x 
 2
  1 x

2x

 2 sin 3x  3 cos 3x  , (О88) f   .
6
 x y
2. Дана функция u  arctg
 . Найти:
 z 
а) (СП8.РП) координаты вектора grad u в точке
M0 ( 1 ,  1 ,  1) ;
2 2 2
u
б) (ОТ8)
в точке M 0 в направлении вектора a  ( 2, 2,1) .
a
sin 2 x
3. Дана функция f ( x) 
. Найти f (x ) . (2С8) Вычисx  cos 2


лить f  1  .
 2
1
4. Доказать, что функция z  2
удовлетворяет уравнению
x  y2
в) f ( x)  e
3
2 z 2 z

 2z 2 .
x 2 y 2
 sin 2 x 


5. Дана вектор-функция одной переменной f ( x)   cos2 x  .


 ctgx 



Найти f (x) и f (x ) . Вычислить (4П8.РП) f 
и (1Т8.РП)
2
f   .
2
 x y 
.
6. Дана вектор-функция двух переменных f ( x, y )  

16 y x 


Найти f ( x, y ) . Вычислить (208) f 4,1 . В ответ ввести сумму
элементов матрицы f 4,1
 x  cos 2t ,




2
7.Найти y x и y xx , если 
Вычислить (ДС8) yx (t0 ) и
y
.
2

cos t



(ОБ8) y xx (t0 ) , если t0  .
4
8. Функция z  z ( x, y) задана неявно уравнением
2 x 2 z  3x y 2 z  z 2  0 .
z
z
(1, 0, 2) .
Вычислить: а) (8Б8)
(1, 0, 2) ; б) (О58)
y
x
4
9. К графику функции f ( x)   2 в точке с абсциссой x  2
x
проведена касательная. (О48) Найти абсциссу точки пересечения этой касательной и прямой y  2 x .
1
10.Найти dy , если y ( x) 
. (9С8.Д5) Вычислить
2x2  x  1
значение dy в виде десятичной дроби, если x  1 , x  0,016 .
x  y2
и точки M 0 (  2; 2) и
x  y2
M 1 (  2,04; 2,03) . Вычислить (ОП8.Д6) z и (Б88.Д7) dz при
переходе из точки M 0 в точку M 1 (ответы округлить до тысячных).
11.
Дана
функция
z
3
12. Дана функция f ( x)  2 x 2  1. Найти её (278) наибольшее и
(2Т8) наименьшее значения на отрезке  2,1 .
13. Дана функция z ( x, y)  xy  3x  2 y . Найти её (058)
наибольшее и (68С) наименьшее значения на замкнутом множестве, ограниченном линиями x  0 , x  4 , y  0 , y  4 .
14. Провести полное исследование функции y 
строить её график.
( x  1) 2
и по( x  1)3
Вариант 4.19
1. Найти производные от данных функций
 1  sin x 
а) f ( x)  3 ln 
, (ОА9) f 0  ;
2  1  sin x 
1 x 
б) f ( x)  2  3  x   1  2 x  x 2  4 2  arcsin
 ,
 2 
(299) f  1 ;
 
1 x 
в) f ( x)  3  arctg
 , (239) f  2 .
 1 x 
ln  x  y  z 
2. Дана функция u 
. Найти:
x yz
а) (П79.РП) координаты вектора grad u в точке M 0 (1,1,  1) ;
u
б) (8Т9)
в точке M 0 в направлении вектора a  ( 4,  1,  8) .
a
ln  x  1
3. Дана функция f ( x) 
. Найти f (x ) . (ОС9) Вычисx 1
лить f 2 .
4. Доказать, что функция z  ln  xy  1 удовлетворяет уравнению
1 2 z 1 2 z
2 z




2

 0.
x y
y 2 x 2 x 2 y 2
 x2  4 


5. Дана вектор-функция одной переменной f ( x)  1 4 x  1  .

2 
 e2 2 x 


Найти f (x) и f (x ) . Вычислить (Б39.РП) f 0  и (СД9.5П)
f 0  .
6. Дана вектор-функция двух переменных
 5  ln( x 2  y 2 ) 
 . Найти f ( x, y ) . Вычислить (О19)
f ( x, y )  
 3  ln( x 2  y 2 ) 


f 2,1 . В ответ ввести сумму элементов матрицы f 2,1
 x  t  3 ,
 , если 
7. Найти y x и y xx
Вычислить (Ж3Н) yx (t0 )
 y  ln( t  2).
 (t0 ) , если t0  4 .
и (О99) yxx
8. Функция z  z ( x, y) задана неявно уравнением
xyz 3  y 3 z  4 x  2 y  0 .
z
z
( 0,1, 2) .
( 0,1, 2) ; б) (Д69)
y
x
9. К графику функции f ( x)  ln 2 x  3 в точке с абсциссой
x  1 проведена касательная. (819) Найти ординату той точки
касательной, абсцисса которой равна 1 .
10.Найти dy , если y ( x)  4 2 x  sin x . (5О9.Д7) Вычислить в
2
виде десятичной дроби значение dy , если x  1 , x  0,02 .
Вычислить: а) (О29)
11. Дана функция z  7 x 2  y 2  2 xy  4 x  2 y и точки
M 0 (  1;  2) и M1 (  0,98;  1,91) . Вычислить (Т29.Д7) z и
(Б89.Д7) dz при переходе из точки M 0 в точку M 1 (ответы
округлить до тысячных).
 6x
12. Дана функция f ( x)  2
. Найти её (2П9) наибольx  4x  9
шее и (Т2Т) наименьшее значения на отрезке  4,  1 .
13. Дана функция z ( x, y )  4  2 x 2  y 2 . Найти её (М1Н)
наибольшее и (ХПН) наименьшее значения на замкнутом множестве, ограниченном линией x 2  y 2  1 .
14. Провести полное исследование функции y  x 3e  x и построить её график.
Вариант 4.20
1.Найти производные от данных функций
1 tg 1
а) f ( x)  2  e x  cos2 1x , (8АО) f  1 ;


б) f ( x)  3
4
5  x 2  1x
, (9ТО) f 2  ;




в) f ( x)  5 2  arcctg x2  , (2СО) f  1  .


 2
2. Дана функция u  2  arcsin  xyz  1 . Найти:
а) (82О.РП) координаты вектора grad u в точке M 0 (1, 1 , 2) ;
2
u
б) (3ТО)
в точке M 0 в направлении вектора a  ( 3, 6,  2) .
a
3. Дана функция f ( x)  3  ln tgx  ctgx  . Найти f (x ) . (75О) Вычислить f   .
6
y
4. Доказать, что функция z  arctg x удовлетворяет уравнению
2 z
y 2 z x 2 z
.




2

x x 2 y y 2
x y


 cos 2 x 


5. Дана вектор-функция одной переменной f ( x)   ctgx  .


  sin 2 x 



Найти f (x) и f (x ) . Вычислить (8ПО.РП) f 
и (ДОО.РП)
4
f   .
4
 x2 y 
6. Дана вектор-функция двух переменных f ( x, y )   2  .
 y x




Найти f ( x, y ) . Вычислить (26О) f  1 ,  1 . В ответ ввести
2 2
1
1
сумму элементов матрицы f  , 
2 2
 x  cos 2 t ,
 , если 
7. Найти y x и y xx
Вычислить (84П) yx (t0 ) и
 y  tg 2t.


 (t0 ) , если t0   .
(35О) yxx
8. Функция z  z ( x, y) задана неявно уравнением
xy 2  y 2 z  x 2 z  1  0 .
z
z
(1, 0,1) .
Вычислить: а) (86О)
(1, 0,1) ; б) (П5О)
y
x
4
9. К графику функции f ( x)  2
в точке с абсциссой x  1
x 1
проведена касательная. (26П) Найти ординату точки пересечения этой касательной и прямой x  y  8  0 .
10. Найти dy , если y( x)  3 3x  cos x . (Т2О.Д7) Вычислить в
виде десятичной дроби значение dy , если x  0 , x  0,01.
11. Дана функция z  4 x  3 y  xy 2  2 x 2 и точки M 0 ( 2; 3) и
M 1 ( 2,03; 2,96) . Вычислить (83О.Д5) z и (6СО.Д6) dz при переходе из точки M 0 в точку M 1 (ответы округлить до тысячных).
16
12. Дана функция f ( x)  x 2  2 x 
 13 . Найти её (95О)
x 1
наибольшее и (МКО) наименьшее значения на отрезке 2, 5 .
13. Дана функция z ( x, y )  x 2  y 2  xy  x  y . Найти её (8ОО)
наибольшее и (П9П) наименьшее значения на замкнутом множестве, ограниченном линиями x  0 , y  0 , x  y  3  0 .
14. Провести полное исследование функции y 
строить её график.
x4
и по(1  x)3