Вариант №1 - Reshaem.Net

Вариант №6
1. Потенциал некоторого электростатического поля имеет вид
 ( x, y, z )  a  x 2  y 2   bz 2 , где “а” и “b” - константы. Найти модуль
и направление вектора напряженности поля. Какую форму имеют
эквипотенциальные поверхности в случае a > 0, b > 0?
2. Найти производную скалярных полей u ( x, y, z )  xz 2  x 3 y в точке
М  2,2,4  по направлению нормали к поверхности
S: x 2  y 2  3z  12  0 , образующей острый угол с положительным
направлением оси Oz .
3. Показать, что поле вектора


1  
z 
1 
а   yz  z 2  y  2  i   xz  x  1  2  j   xy  2 xz   k
x y 
xy 
xy 


потенциально, найти потенциал поля.
4. Найти векторные линии поля вектора a  yi  xj   x  y  k .
2
5. Вычислить работу вектора силы F   y  z  i   z  x  j   x  y  k
 x 2  y 2  16,
при перемещении по линии 
.
x

4
z

4

6. Вычислить поток поля a   x  2 z  i  xj  y 2 k через часть
поверхности x 2  y 2  4, лежащую в II октанте и отсеченную
плоскостями z = 0, z = 1 в направлении внешней нормали.
7. Найти поток поля a  xzi  xyj  z 2k через часть поверхности
z   x 2  y 2 , отсеченную плоскостью z = -2, в направлении
внешней нормали.
8. Проверить формулу Стокса для поля вектора a  yi  xj   x  y  k ,
принимая за поверхность интегрирования – поверхность, лежащую
в первом октанте, образованную параболоидом x  4  z 2  y 2 , а за
контур интегрирования – линию пересечения этой поверхности с
плоскостью x = 0.
9. Доказать, что div  ua   udiva  agradu, где u  u( х, y, z ) дифференциальная функция.
10.Найти   a и   a , для поля вектора a  sin r  xi  2 yj  3zk  , где
r r,
r - радиус-вектор точки.
ЗАДАЧА 1. Изменить порядок интегрирования.
4
y2
8
2
 dy  f ( x, y)dx ;
4
y2
4
4
ЗАДАЧА 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями.
x  2 y  z  4, x  2 y 2 , y  0, z  0 ;
ЗАДАЧА 3. Вычислить массу неоднородной фигуры с функцией плотности
.
Часть плоскости, ограниченная кривой x 2  y 2  16 ;  
1
2
25  x  y
2
.
ЗАДАЧА 4. Вычислить площадь заданной поверхности или ее части.
Плоская область, ограниченная кривыми в плоскости
XOY 3x 2  25 y ,
5 y 2  9x .
ЗАДАЧА 5. Найти координаты центра тяжести заданной фигуры.
Однородная дуга y  ch x, 0  x  ln 2 .
Задача 6. Вычислить длину дуги кривой.
x  2a cos t  a cos 2t , y  2, z  2a sin t  a sin 2t 0  t  2 .
ЗАДАЧА 7. Найти момент инерции относительно начала координат:
Тело, ограниченное поверхностями x 2  y 2  a 2 , x  z  a , z  0 при   1 .
ЗАДАЧА 8. Найти среднее значение функции f   на фигуре.
f ( x, y, z )  2 z  1 на поверхности x  y  1 , ограниченной
x  0, y  0, z  0, z  4 ;
плоскостями