Многослойная оптика

Спецкурс
Многослойная оптика
Профессор А.В.Тихонравов
1. Введение
1.1 Общие сведения
Общий вид
многослойного покрытия
тонкие слои
d
Подложка:
d – от
подложка
долей мм до нескольких см
Поперечные размеры от долей мм до метров
Слои: толщина от нескольких мм до нескольких мкм
1.2 Области применения
-
Просветляющие покрытия для оптики
Зеркала (R до 99.9995% - лазерные гироскопы)
Фильтры (полосовые, отрезающие, ... )
Поляризаторы, светоделители, ...
Элементы WDM технологий
Защитные покрытия (например, Euro)
Декоративные покрытия (Swarowski)
Архитектурные покрытия, стекла автомобилей, ...
Спектральные диапазоны
1 мкм = 103 нм = 104 Å
200
400
700
10.6
мкм
ВУФ
ДУФ
УФ
Видимый
Ближний
ИК
Дальний
ИК
1.3 История развития
Первое покрытие (просветление оптики) – Германия 30-ые годы
Первая монография – А.Власов, Просветление оптики, 1946
Начало бурного развития – после появления лазеров
С начала 90-х годов – широчайшее использование, от новейших
технологий до бытовых приложений
Литература:
1. М.Борн, Э.Вольф Основы оптики, М., 1973
2. A.Thelen, Optical Interference Coatings, N.Y., 1989
3. Sh.Furman, A.Tikhonravov, Basicas of Optics of Multilayer Systems,
Editions Frontiers, 1992
1.4 Немного о технологии
Ранние процессы: sol-gel, химическая обработка поверхности
С середины 40-х годов: напыление в вакууме
До начала 80-х годов: различные модификации PVD
Последнее десятилетие: десятки новых высокоэнергетических
процессов
Основные тонкопленочные материалы: оксиды, фториды,
металлы
1.5 Экспериментальные методы
исследования тонких пленок и покрытий
Спектральная фотометрия (начиная с ВУФ)
Спектральная эллипсометрия (видимая область и ближний ИК)
Атомная силовая микроскопия
Электронная микроскопия
......
1.6 Основные задачи
Расчет и исследование спектральных коэффициентов
заданного покрытия.
Синтез (проектирование) покрытий с заданными
спектральными свойствами.
Исследование параметров тонких слоев по
спектральным данным.
Исследование параметров многослойных покрытий по
спектральным данным.
2. Спектральные характеристики
сплошной среды
2.1. Вывод основных уравнений
Рис.1. Модель слоистой среды
Уравнения для поля в слоистой среде


  E   1c H ,
t





E
4

H  c
 c E
t
 
E , H - электрический и магнитный векторы.
Рассмотрим монохроматическую волну с частотой :
 
E  E exp(it),
 
H  H exp(it)
Уравнения для поля примут вид:


   4 

  E  i c H,   H  i c  E  c E
Введем обозначения
c
  2
k
2


- длина волны в вакууме

c
~    i 4
c
- волновое число
- комплексная диэлектрическая проницаемость
Уравнения для поля запишутся в виде:


  E  ikH,


~
  H  ik ( z)E
Разложение на S- и P-волны.
Рис.1.2. Ориентация электрического и магнитного векторов в S- и P-случаях.
Покоординатная форма уравнения поля (S-случай)
E x
Hx  0 ,
 ikH y ,
z
Hz H y


 ik ( z ) E x ,
y
z
E x
 ikHz ,
y
H y
Hz
0,
0
x
x
Из 2-го, 3-го и 4-го уравнения следует
 2 Ex  2 Ex 2 ~
 2  k  ( z) E x  0
2
y
z
Ищем
Ex
в виде (метод разделения переменных)
Ex ( y, z)  u( z) g( y)
Получим

1 d 2g
1  d 2u
2~


 k  ( z)u( z)   const

2
2
g( y ) dy
u( z)  dz

Постоянную в м.р.п. положим равной k 2 2. Тогда
d 2g  k 2 2g( y)  0
dy2
Решение этого уравнения возьмем в виде
g( y)  exp(iky)
При этом E x запишется так:
Ex ( y, z)  u( z) exp(iky)
Из 3-го уравнения в покоординатной записи уравнений поля следует что
H Z ( y, z)   u( z) exp(iky)
Из 2-го уравнения в покоординатной записи следует что
такую же зависимость от y как и E x . Положим
H y имеет
H y  v( z) exp(iky)
где  ( z ) - неизвестная функция (знак минус взят для удобства).
В целом имеем следующее представление для поля


E   u( z), 0, 0 exp(iky) , H   0,  v( z), u( z) exp(iky)
При этом 1-ое, 3-е. 5-е и 6-е уравнение в покоординатной записи уже
выполняются.
Из 2-го и 4-го уравнений получаем
du  ikv , dv  ik ~( z)  2  u


dz
dz


Это и есть основные уравнения, связывающие поля E и H в S–случае.
Для определения постоянной a рассмотри поле падающей волны
 

E  E A exp(i k r  i t)
Волновой вектор в однородной среде равен

 
k  k  a l , l   0, sin a, cos a 

Здесь l - единичный направленный вектор.
Падающее поле в координатном виде
 
E  Ea expik  a ( z cos a  y sin  a )  i t 
С другой стороны зависимость поля от
y есть exp(ikay) откуда
   a sin  a
Поскольку зависимость поля от y должна быть одинакова во всех
средах, то
 a sin  a   s sin  s
Это соотношение есть закон Снеуллиуса
Покоординатный вид уравнений поля
Ez  E y  ikH , Ez  0 , E y  0 ,
x
y z
x
x
Ex  0 , H x  ik~( z)E y , H x  ik~( z)Ez
z
y
Ищем H x и Ex в виде
H x ( y, z)  v( z) exp(iky) ,
E y ( y, z)  u( z) exp(iky)
Из 5-го уравнения следует, что
Ez ( y, z)   ~ v( z) exp(iky)
 ( z)
Это означает, что
 



E   0, u( z),  ~ v( z) exp(iky) ,

 ( z)

 
H   v( z), 0, 0 exp(iky)
Подставляя в уравнения для поля, получаем основные уравнения в P-случае
du  ik 1  2  v,
~( z) 

dz



dv  ik~( z) u
dz
2.2 Амплитудные коэффициенты отражения и пропускания
S-случай
Из основных уравнений получаем, что во внешней среде
d 2u  k 2 (  2 ) u  0
a
dz 2
Положим
qa = ea - a2 = ea cos ga (a = ea sin ga )
Во внешней среде есть два решения:

u( z) ~ exp(ikqa z)  ( E ) x ~ exp(ikqa z  it ) - падающая волна

u( z) ~ exp( ikqa z)  ( E ) x ~ exp( ikqa z  it ) - отраженная волна
Из основных уравнений в случае падающей волны
u( za )  E A , v( za )  qa E A
и в случае отраженной
u( za )  E R ,  ( za )  qE R
EA , ER - амплитуды тангенциальных компонент электрического
вектора падающей и отраженной волн на внешней границе
На границе с подложкой
u(0)  ET ,
где
v(0)  qs ET
qs   s  2   s cos s
Амплитудные коэффициенты пропускания и отражения задаются
соотношениями
t
ET
,
EA
r
ER
EA
Положим ET 1 . Отсюда получим граничные условия для основных
уравнений поля:
u(0, k ) 1 ,
v(0, k )  qs
Из непрерывности u , v на внешней границе следует, что
u( za , k )  E A  ER , v( za , k )  qa (E A  ER )
Отсюда
ER  qau( za , k )  v( za , k ) ,
2qa
E A  qau( za , k )  v( za , k )
2qa
Окончательно для амплитудных коэффициентов получаются следующие
выражения
t (k ) 
2qa
,
qau( za , k )  v( za , k )
r (k )  qau( za , k )  v( za , k )
qau( za , k )  v( za , k )
P-случай
Из основных уравнений поля следует, что для падающей волны
u(za )  E A ,
v( za )  qa E A ,
а для отраженной
u( za )  ER , v( za )  qa ER
где
qa 
a
,

 a  2
 cosa
a
Аналогично для прошедшей волны
u(0)  ET , v(0)  qS ET
где
qs 

S
  2
 cos
S
S
S
Как и в S-случае определяем
t , r через отношения тангенциальных
компонент электрического вектора.
EA , ER , ET - тангенциальные компоненты электрического вектора
падающей, отраженной и прошедшей волн.
Положим ET 1 . Отсюда следуют граничные условия для основных
уравнений поля:
u(0 , k ) 1 , v(0 , k )  qS
На внешней границе
u( za , k )  E A  ER , v( za , k )  qa (E A  ER )
Откуда получаем
t (k ) 
2qa
,
qau( za , k )  v( za , k )
r (k )  qau( za , k )  v( za , k )
qau( za , k )  v( za , k )
Замечание: Формулы для и внешне одинаковы в S и P-случае.
При этом в S-случае
du  ikv , dv  i k ~( z)  2  u


dz
dz
и в P-случае
du  ik 1  2  v,

dz
~( z) 

dv  ik~( z) u
dz
Граничные условия для этих уравнений также внешне одинаковы
u(0 , k ) 1 , v(0 , k )  qS ,
но
qa   a   2 , q s   s   2 , в S-случае
qa 
a
a  
2
, qs 
s
s  
2
,
в P-случае
2.3. Формулы Френеля
Введем показатель преломления n~ ( z ) равенством
~( z)  n~ 2 ( z)
~ - комплексная величина: n~  n  i .
Замечание: В общем случае n
Закон Снеллиуса, выраженный через показатели преломления
na sin  a  ns sin  s
Параметры q в расчетных формулах
qa  na cos a , qs  ns cos s , ( S - случай )
na , q  ns ,
qa  cos
( P - случай )
s cos

a
s
В случае наличия только одной границы раздела
2q
q q
t  q aq , r  qa  qs
a
s
a
s
Отсюда следуют формулы Френеля:
2n cos a
na cos a  ns cos s
t  n cosa  n cos
,
r

( S - случай)

n
cos


n
cos

a
s
a
s
a
s
a
s
2n cos s
na cos s  ns cos a
t  n cosa  n cos
,
r

( P - случай )

n
cos


n
cos

a
s
a
s
s
a
s
a
2.4. Энергетические коэффициенты отражения и пропускания
 c
  

S  ReE, H* 

8 
- вектор Пойнтинга
Поток энергии вдоль нормали к слоистой среде определяется величиной S z .
В S– и P-случаях
S z  c Re(uv*)
8
Поэтому падающий и отраженный потоки энергии пропорциональны
соответственно  Reqa | E A |2 и Reqa | ER |2 .
Отсюда следует, что энергетический коэффициент отражения равен
2
E
R R  r2
EA
Проходящий поток энергии пропорционален
 Reqs | ET |2
Отсюда следует, что энергетический коэффициент пропускания равен
2
Reqs  ET
Reqs  2
T

t
Reqa  E A
Reqa 
Из закона сохранения энергии поглощение в среде равно
A 1 R T
В случае поляризованной волны, определяемой углом поляризации 
R  Rs sin 2  R p cos2 , T  Ts sin 2  T p cos2
Для неполяризованного света при наклонном падении
R  1  Rs  R p  , T  1 Ts  T p 
2
2
2.3. Матричный метод расчета
Рис.3. Многослойное покрытие состоящее из m однородных слоев
Вывод расчетных формул в S-случае
Уравнения для поля в j–ом слое имеют вид
du
d
 ikv ,
 ik n~j2   2 u
dz
dz


Откуда следует уравнение
d2u
2 ~2
2

k
n


u0
j
2
dz


Определим угол распространения волны в j–ом слое 
j
равенством
~
n j sin  j    n a sin  a
При этом уравнение для
u
запишется в виде
d2u
~ j cos j 2 u  0

kn
dz2


Это уравнение имеет два линейно независимых решения





~ j cos j z  z j1 , u 2 ( z)  sin kn
~ j cos j z  z j1
u1 ( z)  cos kn

Общее решение в слое записывается в виде





~ cos z  z j1  c2 cos kn
~ cos z  z j1
u( z)  c1 cos kn

Полагая z  z j , находим константы c1 и c 2 :
i ( z j 1 )
c1  u( z j 1 ), c2 
n~j cos j
Дифференцируя выражение для u( z ) находим v ( z ) . Далее,
полагая z  z j , получаем
u( z j )  u( z j1)cos j  qi v( z j1)sin j ,
j
v( z j )  i q ju( z j1)sin j  v( z j1)cos j ,
где
 j  k n j cos  j d j , d j  z j  z j 1 , q j  n j cos  j .
Введём в рассмотрение матрицу

 cos  j
Mj 
 i q sin 
j
 j
i

sin  j 
qj

cos  j 
Эта матрица называется характеристической матрицей слоя.
С её помощью можно записать
u
u

M
j 
v 
  zz
 v  zz
j
Переходя от слоя к слою, получим, что
u
u

M
v 
v 
  z  za
  z 0
где
M
M  M m M m1...M1
- характеристическая матрица слоя.
j1
Используя начальные условия
u(0, k )  1 , v(0, k )  qs
получим, что
u( za , k )  m11  m12qs , v( za , k )  m21  m22qs .
Подставляя эти соотношения в общее выражение для
t (k ) 
r и
t , получим
2qa
qa m11  qs m22  qa qs m12  m21
qa m11  qs m22  qa qs m12  m21
r (k ) 
qa m11  qs m22  qa qs m12  m21
Таким образом, матричный метод расчета дает эффективный рекуррентный
алгоритм расчета амплитудных коэффициентов отражения и пропускания.
При нормальном падении матрица j–го слоя равна
i
sin  j 
nj

cos j 
 cos
j

Mj 
 in j sin  j
где  j  kn j d j - фазовая толщина j–го слоя.
При наклонном падении n j заменяется на эффективный показатель
преломления
q j = n j cos j = n 2j -  2
qj 
nj
cos 

j
n 2j
n 2j

2
- в S-случае
- в P-случае
При этом фазовая толщина слоя в S- и P–случае одинакова и равна
 j = kn j cos j d j .
2.4 Адмитансный метод расчета
Отношение тангенциальных компонент магнитного и электрического
векторов называется адмитансом:
A( z , k ) 
 ( z, k )
u ( z, k )
Импеданс вводится соотношением
Z ( z, k ) 
1
u ( z, k )

A( z , k )  ( z , k )
Амплитудный коэффициент отражения выражается через
адмитанс на внешней границе покрытия:
r(k ) =
qa - A( za , k )
qa + A( za , k )
qa - эффективный показатель преломления внешней среды.
Дифференциальные уравнения для адмитанса
В S-случае
dA
= ik {~( z) -  2 - A2 }
dz
В P-случае

  2  2 
dA
 ik  ( z )  1 
A 
dz

(
z
)


 
Начальное условие задается на границе с подложкой
A(0, k )  q s
,
где q s - эффективный показатель преломления подложки
( q s различается в S- и P–случаях).
Рекуррентные формулы адмитансного метода расчета.
iq j sin  j  A j 1 cos j
Aj 
, A0  q s
i
cos j 
A j 1 sin  j
qj
A j - адмитанс на правой границе j–го слоя,
qj
- эффективный показатель преломления j–го слоя,
 j  2 kn~ j cos  j d j
- фазовая толщина j–го слоя.
Амплитудный коэффициент отражения выражается через адмитанс
на внешней границе последнего (m-го) слоя
r
qa  Am
qa  Am
Фазовая плоскость адмитанса
Адмитанс – комплексная величина, которую можно изобразить точкой
на комплексной плоскости (фазовой плоскости адмитанса).
Рекуррентную формулу для адмитанса можно преобразовать к виду
q j  iA j 1
Aj 
A j 1
i 
qj
где
  ctg j
Когда фазовая толщина слоя  j изменяется от 0 до  ,  пробегает
значения от  до  . При этом A j движется по окружности в фазовой
плоскости.
2.5. Однослойное просветляющее покрытие
(случай нормального падения волны)
Фазовая толщина слоя
Применим для расчета
  knd 
2

nd
r адмитансный метод:
n  ins ctg
na  A1
A0  ns , A1 
,r
.
ns
n

A
a
1
ictg 
n
Коэффициент отражения равен нулю, если
A1  n a
n s и заканчивается n a )
(фазовая траектория адмитанса начинается с
Это условие выполняется если
2
n  na ns ,  

2
 nd 

4
Второе условие связывает толщину слоя с длиной волны, на которой
достигается полное просветление.
Просветляющие покрытия (общие замечания)
Как правило не существует материалов с
Типичные значения:
n s  152
. , 146
. , ...
n  na ns
.
n  138
. , 146
. , 165
. , 2.05 , ...
Поэтому однослойное покрытие не может обеспечить просветление даже
на одной длине волны.
Двухслойные покрытия могут обеспечить просветление на одной длине волны
(достаточно для лазеров).
Для большинства других приложений необходимо просветление в широком
диапазоне длин волн. Этого можно достичь лишь с помощью многослойных
покрытий.
2.7. Формальная запись многослойного оптического покрытия.
d
Замечание 1: Во всех формулах мы имеем только
.
Поэтому при пропорциональном изменении всех толщин слоев спектральные
характеристики лишь сдвигаются по спектру.
Замечание 2: В случае нормального падения физические толщины слоев входят
в формулы лишь в сочетании nd .
Величина
nd
называется оптической толщиной.
Выберем и фиксируем некоторую длину волны
Измерим оптическую толщину слоя в долях
измерения называется QWOT.
Пример:
0  600 nm , 1 QWOT
0
0 (основная длина волны).
4
. Соответствующая единица
соответствует оптической толщине 150 nm.
Рассмотрим покрытие состоящее из слоев с двумя чередующимися показателями
преломления n L и n H .
Оптическая толщина
для слоев с
nH
1 QWOT для слоев с
- H .
nL
обозначается
L,
Пример: Двухслойное покрытие
n s  152
.
Пусть
Тогда
n H  2.0
n L  138
.
n a  100
.
d H  150 nm
d L  200 nm
0  600 nm
n H d H  300 nm  2QWOT
n L d L  276 nm  184
. QWOT
Формульная запись этого покрытия:
или
или
2 H184
. L
2H
184
. L
Замечание : Если материалов больше чем два, по L и H приписываются тем,
у которых наименьший и наибольший показатель преломления,
остальным приписываются буквы M, A , B, ...
4 H0.5LMH - четырехслойное покрытие с оптическими толщинами
4, 0.5 , 1
и 1 QWOT с показателями преломления n H , n L , n M , n H
Пример:
слоев
Замечание : Повторяющиеся группы слоев объединяются в круглые скобки и число
повторений дается показателем степени этих скобок.
Примеры:
HLHLHLHLH  ( HL) 4 H
HLHLHL4 HLHLHLH  ( HL) 3 4 H ( LH ) 3
.
2.8. Четвертьволновые диэлектрические зеркала.
nH
nL ,
все слои имеют одинаковую оптическую толщину 1 QWOT
Структура: чередующиеся показатели преломления
(при этом основную длину волны 0
центральной длиной волны зеркала).
и
называют также
Характерные спектральные свойства:
Зона высокого отражения в окрестности
0
Более узкие зоны высокого отражения в окрестности
0 3 , 0 5, ...
Осциллирующий коэффициент пропускания между этими зонами.
Приближенные формулы для четверть волновых зеркал
Первый от подложки слой имеет высокий показатель преломления и
число слоев m нечетно
R ( 0 )  1  4
число слоев
m четно
R ( 0 )  1  4
Пример:
na ns  n L 
 
nLnH  nH 
m
ns  n L 
 
nL  nH 
m
na  1.00, ns  1.52, nH  2.35, nL  1.45
m  11  R  0.88%, m  15  R  0.13%
Ширина основной зоны высокого отражения
upper 1  2 arcsin  

lower 1  2 arcsin  
, где
Замечание : ширина растет с увеличением

nH  nL
nH  nL
nH nL