§8 Интегрирование иррациональных и тригонометрических выражений 8.1 Интегрирование иррациональных выражений Основным методом вычисления неопределенных интегралов от иррациональных функций является метод рационализации подынтегрального выражения, т.е. метод нахождения таких подстановок, которые приводят данный интеграл к интегралу от рациональной функции. R( x p1 q1 p2 q2 p , x ,...x )dx, где pi, qiZ, n qn i 1..n. Пусть q =НОК(q1, q2,…qn). Вводим замену x = t q, тогда dx = qt q-1dt и исходный интеграл преобразуется к виду mn m1 m2 * * R ( t , t , t ,... t ) dt R (t )dt , где miZ, i 1..n и R*(t) – рациональная функция от t. Пример: 3 dx (2 x 1) 2 2 x 1 dx (2 x 1) 2 / 3 (2 x 1)1/ 2 dx . 2/3 1/ 2 (2 x 1) (2 x 1) Т.к. НОК(3, 2)=6, то 2 x 1 t 6 , t 6 2 x 1, 3t 5 dt 4 3 t 6 1 1 5 5 t t x , dx 6 t dt 3 t dt 2 2 t 5 dt t 2 dt t 2 11 (t 1)(t 1) 1 3 3 3 3 dt 3 dt t (t 1) t 1 t 1 t 1 dt t2 3 (t 1)dt 3 3 3t 3 ln t 1 c t 1 2 33 2 x 1 36 2 x 1 3 ln 6 2 x 1 1 c. 2 8.2 Интегрирование тригонометрических выражений Для нахождения интеграла вида R(sin x, cos x)dx используют x универсальную тригонометрическую подстановку t tg . 2 Тогда x = 2arctgt, dx 2dt2 , 1 t x 1 tg 2 2t 2 sin x , cos x 2 x 1 t 1 tg 2 1 tg 2 2 2tg и x 2 2 1 t , x 1 t 2 2 * *– рациональная функция. где R R (sin x , cos x ) dx R ( t ) dt , Пример: dx 4 cos x 3 sin x 5. Введем подстановку t tg dx 4 cos x 3 sin x 5 x , тогда 2 dt 1 t 2 2t 4 3 5 2 2 1 t 1 t d (t 3) 2 2 2 c c. 2 x (t 3) t 3 tg 3 2 2 dt 2 2 2 1 t 9 t 6t 8.3 Дробно-рациональные функции. Простейшие дроби Рациональной дробью (дробно-рациональной функцией) называется отношение двух многочленов c действительными коэффициентами степени m и n соответственно Pn ( x) a0 x n a1 x n 1 .. an 1 x an , a0 0, b0 0 m m 1 Qm ( x) b0 x b1 x .. bm 1 x am Если m>n, то дробь называется правильной, в противном случае – неправильной. Из неправильной дроби всегда можно выделить целую часть, так что оставшаяся дробь будет правильной. Пример: 3x 3 2 x 2 11x 8 8 x 10 3 2 2 3 x 2 x 11 x 8 ( 3 x 2 )( x 1 ) 8 x 10 3 x 2 . 2 2 x 1 x 1 Интегрирование неправильной рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена Sm-n(x) и правильной рациональной дроби Rl ( x ) . Qm ( x ) Среди правильных дробей различают четыре типа простейших дробей: A , I. xa III. Mx N , 2 x px q II. IV. A , k 2, k ( x a) x Mx N 2 px q k , k 2, где A, M, N, a, p, q – const, kN, дискриминант D=p2 -4q<0. Рассмотрим интегрирование простейших дробей. A d ( x a) x a dx A x a A ln x a c. I. 2 d ( x 3) dx 2 x3 x 3 2 ln x 3 c. Пример: II. A dx ( x a) Пример: III. k A ( x a) k d ( x a) A (1 k )( x a) k 1 c. 5dx 5 3 ( x 2)3 5 ( x 2) d ( x 2) 2( x 2)2 c. ( Mx N )dx x 2 px q . Пример: Найти 2 3x 1 dx. x 2x 5 1. выделим в числителе производную знаменателя: 3 (2 x 2) 4, 2 3 3 (2 x 2) 4 (2 x 2) 3x 1 4 2 2 dx dx dx x2 2x 5 x2 2x 5 x 2 2 x 5 x 2 2 x 5dx, ( x 2 2 x 5) 2 x 2, 3 x 1 2. знаменатель второй дроби представим в виде суммы квадратов: 3 (2 x 2) 2 4 3 d ( x 2 x 5) 4 2 x 2 2 x 5dx x 2 2 x 5dx 2 x 2 2 x 5 ( x 1) 2 22 dx 3 1 3 x 1 x 1 2 2 ln x 2 x 5 4 arctg c ln x 2 x 5 2arctg c. 2 2 2 2 2 8.4 Определенный интеграл, его геометрический смысл Пусть функция f(x) задана на отрезке [a, b]. Разобьем отрезок [a, b] произвольным образом на n частей, где a=x0< x1<… <xi<…<xn-1< xn=b. Обозначим xi= xi- xi-1, i 1..n y и пусть =max{xi}. На каждом отрезке [xi-1, xi] выберем точку ci[xi-1, xi] и составим сумму n n=f(c1)x1+…+ f(cn)xn= f (ci )xi i 1 О а i-1сi i b которая называется интегральной суммой функции f(x), она зависит от способа разбиения и выбора точек ci. Если существует n lim f (ci )xi I , не зависящий от способа 0 i 1 разбиения отрезка [a, b] и выбора промежуточных точек ci, то говорят, что функция f(x) интегрируема по Риману на отрезке [a, b], b а сам предел называют определенным интегралом I f ( x)dx. a Назовем криволинейной трапецией фигуру, ограниченную графиком функции f(x), прямыми х = a, x = b и осью Ох. Тогда произведение f(ci)xi равно площади прямоугольника с основанием n xi и высотой f(ci), а сумма n= f (ci )xi представляет собой i 1 площадь заштрихованной ступенчатой фигуры. n b Если существует lim f (ci )xi I , то I f ( x)dx называют 0 i 1 a площадью криволинейной трапеции (геометрический смысл определенного интеграла). Свойства определенного интеграла 1. a f ( x)dx 0, a 3. 2. a b b a f ( x)dx f ( x)dx, b dx b a a b b b a a a f ( x) g ( x)dx f ( x)dx g ( x)dx, 4. , R 5. a, b, cR, если все три интеграла существуют, то b с b a a с f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx, b 6. b f ( x ) dx F ( b ) F ( a ) F ( x ) a a – формула Ньютона-Лейбница. 8.5 Методы вычисления определенных интегралов 1. метод подстановки b a t ( x ), dt ( x ) dx f (( x))( x)dx f (t )dt. (a), (b) (1) Пример: sin x t , d (sin x) dt 0 sin x cos xdx 0 sin xd(sin x) a 0 0, b / 2 1 / 2 / 2 3 3 1 4 t t 3 dt 4 0 1 0 1 1 0 . 4 4 2. метод замены переменной b a x ( t ), dx ( t ) dt f ( x)dx f ((t ))(t )dt. (2) 1 1 (a), (b) Пример: 2 x t , x t 2 , dx 2tdt 2 2tdt dx 1 0 1 x a 0 0, b 4 2 0 1 t 20 1 1 t dt 4 2t ln t 1 02 2(2 ln 3) (0 ln 1) 4 2 ln 3. Важным в формулах (1) и (2) является то, что одновременно с заменой подынтегрального выражения изменяются соответствующим образом и пределы интегрирования. 3. интегрирование по частям b b a a b udv uv a vdu Пример: u x, du dx 0 x cos xdx dv cos xdx, v cos xdx sin / 2 sin x x / 2 0 / 2 sin xdx (sin x x cos x) 0 / 2 0 x 1. 2 8.6 Применение определенного интеграла Из геометрического смысла определенного интеграла следует, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x), прямыми х = a, x = b и осью Ох находится по формуле b при f(x)0 и S f ( x)dx a b b a a S f ( x)dx f ( x)dx при f(x)0 х[a, b]. Если криволинейная трапеция ограничена кривыми y = f1(x) и y = f2(x), причем f1(x) f2(x) на [a, b], то b S ( f 2 ( x) f1 ( x)) dx. a y О а f2(x) 1 2 f (x) 1 Пример: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = х и у = 2-х2. у=х у = 2-х2 x 0 1 -1 2 -2 y 2 1 y 1 у=х f1(x) = х пересекаются при х1=-2 и х2=1. О 1 -2 y -2 1 -2 -2 В данном случае функции f2(x) = 2-х2 и 1 -2 x -2 1 у=2-х Следовательно, 2 3 2 1 x x 2 S 2 x x dx 2 x 2 3 2 2 1 1 (8) 9 2 4 2 . 3 2 3 2 1