Основы теории управления Раздел 3. Математическое описание объектов и систем управления Лекция 4. Описание систем в динамическом режиме Лектор Цветков Александр Владимирович, к.т.н., доцент кафедры автоматики и информационных технологий УГТУ-УПИ Авторы-разработчики : • Цветков А.В. • Ванеева Л.А. • Страшинин Е. Э. Екатеринбург 2007 Основы теории управления, Раздел 3 Математическое описание объектов и систем управления, лекция 4 2 Цель лекции Изучение лекции 4 даёт представление об: • описании объектов и систем в динамическом режиме (дифференциальные уравнения); • о линеаризации уравнений; • видах записи линеаризованных уравнений. Основы теории управления, Раздел 3 Математическое описание объектов и систем управления, лекция 4 3 Содержание лекции • Описание объектов и систем в динамическом режиме • Основные понятия: объект, модель • Тезисы относительно модели • Линеаризация уравнений движения • Векторно-матричное описание линейных систем • Линеаризация векторно-матричных уравнений Основы теории управления, Раздел 3 Математическое описание объектов и систем управления, лекция 4 4 Формы записи уравнения движения Динамика – изменение во времени координат системы Существует две формы записи уравнения движения: 1. Дифференциальное уравнение (ДУ) n-го порядка 2. Система дифференциальных уравнений первого порядка. Векторно-матричные дифференциальные уравнения. Основы теории управления, Раздел 3 Математическое описание объектов и систем управления, лекция 4 5 Основные понятия: объект, модель Составление уравнений движения происходит по правилам конкретной технической дисциплины, которая занимается данным классом устройств. Например: двигатели – электродинамика; электрические цепи – электротехника; летательные аппараты – аэродинамика и т.д. Основы теории управления, Раздел 3 Математическое описание объектов и систем управления, лекция 4 6 Тезисы относительно модели 1. Модель есть известное понятие, определяемое жизненной практикой. 2. Модель является приближенной, часто уточняющейся по мере исследования системы. 3. Построение модели – творческий процесс. 4. Проверка правильности модели осуществляется на практике. Основы теории управления, Раздел 3 Математическое описание объектов и систем управления, лекция 4 7 Описание одномерной системы Электрическая цепь с индуктивностью, активным сопротивлением и конденсатором L y (t ) q (t ) - заряд конденсатора R e(t ) u L (t ) u R (t ) uC (t ) C e(t) u C (t ) i (t ) u e(t) y q(t) q (t ) C dq (t ) dt u R (t ) R i (t ) R uL L di(t ) dt dq (t ) dt d 2 q(t ) dq(t ) 1 L R q(t ) e(t ) dt C dt 2 Основы теории управления, Раздел 3 Математическое описание объектов и систем управления, лекция 4 8 Описание одномерной системы В общем случае уравнение будет иметь вид: d n y (t ) dy(t ) d m u (t ) du (t ) an a a y ( t ) b b b u (t ) m n m dt dt dt dt n – порядок. Для физически реализуемых систем n ≥ m. F ( y((tm) ) ,..., y(t ), u((tm) ) ,..., u(t ), t ) - используется и неявная запись уравнения. В общем случае уравнение является нелинейным, т.е. может содержать произведения координат, нелинейные функции от координат и т.п. Основы теории управления, Раздел 3 Математическое описание объектов и систем управления, лекция 4 9 Линеаризация уравнений движения Уравнения движения являются нелинейными. Уравнение содержит входные и выходные сигналы. F ( y ( n ) (t ),..., y () (t ), y (t ), u ( m ) (t ),..., u (t ), t ) в ыходные в ходные Для упрощения проводят линеаризацию. В основе линеаризации лежит разложение функции в ряд Тейлора. Учитываются только первые два члена ряда. 1 df 1 d2 f f ( x0 x) f ( x0 ) x x0 x 2 1 ! dx 2 ! dx 2 x x x0 tg 1 y0 y y0 a1x 1 tg y a1x Коэффициент 1 зависит от рабочей точки. Основы теории управления, Раздел 3 Математическое описание объектов и систем управления, лекция 4 10 Линеаризация уравнений движения Графическая иллюстрация линеаризации y f(x0) α x0 x Основы теории управления, Раздел 3 Математическое описание объектов и систем управления, лекция 4 11 Линеаризация уравнений движения Пусть неявная функция содержит вторую и первую производные выхода, тогда: F ( y ( 2) (t ), y (1) (t ), y(t ), u (t )) 0 u (t ) u 0 u(t ) y(t ) y0 y(t ) y (1) (t ) dy (t ) y (t ) dt y ( 2) (t ) y(t ) F (y(t ), y (t ), y0 y (t ), u0 u (t )) F F F y(t ) y (t ) F (0,0, y0 , u0 ) u (t ) y y u 0 0 0 (*) смешан. произв. произв. 2порядка ... 0 Основы теории управления, Раздел 3 Математическое описание объектов и систем управления, лекция 4 12 Линеаризация уравнений движения В качестве базового решения принимается статика u 0 const и y0 const .Вычтем из уравнения (*) уравнение статики F (0,0, y0 , u 0 ) 0 , пренебрегаем элементами второго и более высокого порядка малости: a2 y(t ) a1y (t ) a0 y(t ) b0 u(t ) 0 где y и u - приращения (отклонения); F (y(t ), y (t ), y0 y (t ), u0 u (t )) F F F y(t ) y (t ) (*) F (0,0, y0 , u0 ) u (t ) y 0 y 0 u 0 смешан. произв. произв. 2порядка ... 0 Основы теории управления, Раздел 3 Математическое описание объектов и систем управления, лекция 4 13 Виды записи линеаризованных уравнений 1. Стандартная форма записи дифференциальных уравнений d 2 y (t ) dy (t ) a2 a1 a0 y (t ) b0 u (t ) 2 dt dt u y Основы теории управления, Раздел 3 Математическое описание объектов и систем управления, лекция 4 14 Виды записи линеаризованных уравнений b0 a2 a1 y(t ) y (t ) y(t ) u (t ) 2. С использованием постоянных a0 a0 a0 времени постоянная a1 a1 a1 y T y сек времени a0 a0 a0 сек вторая a2 y a2 2 y сек постоянная a 2 T 2 2 a сек 0 2 a0 a 0 времени y 0 и y 0 В установившемся режиме b0 b y y u (t ) 0 a0 a0 u b0 k, a0 где k-коэффициент передачи T22 y(t ) T1 y (t ) y(t ) ku(t ) Основы теории управления, Раздел 3 Математическое описание объектов и систем управления, лекция 4 15 Векторно-матричное описание линейных систем u Звено, система x y u – вектор входа, размерностью m; x – вектор состояния, размерностью n; y – вектор выхода, размерностью r. Система описывается в общем случае нелинейными уравнениями: . x(t ) f [ x(t ), u (t ), t ] – векторное дифференциальное уравнение состояния; y (t ) g[ x(t ), u (t ), t ] – векторное уравнение выхода. Основы теории управления, Раздел 3 Математическое описание объектов и систем управления, лекция 4 16 Линеаризация векторно-матричных уравнений u 0 (t ) – входная переменная, x0 (t ) – известное решение, удовлетворяет уравнению . x(t ) f [ x(t ), u (t ), t ] u (t ) , x (t ) – малые отклонения (приращения) координат системы. u(t ) u 0 (t ) u(t ) x(t ) x0 (t ) x(t ) x(t 0 ) x0 (t 0 ) x(t 0 ) Подставим эти значения в уравнение состояния и разложим в ряд Тейлора: x 0 (t ) x (t ) f [ x0 (t ), u0 (t ), t ] J x [ x0 (t ), u0 (t ), t ]x(t ) J u [ x0 (t ), u 0 (t ), t ]u(t ) h(t ) Основы теории управления, Раздел 3 Математическое описание объектов и систем управления, лекция 4 17 Линеаризация векторно-матричных уравнений Где ( J x ) ij f i / x j A(t ) – матрица из частных производных от функции f по переменным состояния, dim A n n ; ( J u ) ij f i / u j B(t ) – матрица из частных производных функции f по входной переменной, dim B n m ; h(t ) – члены второго и более высокого порядка малости. Вычитаем базовое решение, пренебрегаем малыми элементами и получаем линейную связь для отклонений: x (t ) A(t )x(t ) B(t )u (t ) Основы теории управления, Раздел 3 Математическое описание объектов и систем управления, лекция 4 18 Линеаризация векторно-матричных уравнений Линеаризация уравнения выхода: y(t ) y0 (t ) y(t ) y0 (t ) g[ x0 (t ), u 0 (t ), t ] y 0 (t ) y (t ) g[ x0 (t ), u 0 (t ), t ] J yx [ x0 (t ), u 0 (t ), t ]x(t ) J yu [ x0 (t ), u 0 (t ), t ]u (t ) h y (t ) Где - матрица частных производных функции выхода по состоянию, dim C r n , ( J yu ) ij g i / u j D(t ) - матрица частных производных функции выхода по переменным входа, dim D r m. После вычитания базового решения, исключения компонент малости получим уравнение выхода: ( J yx ) ij g i / x j C (t ) y (t ) C (t )x(t ) D(t )u (t ) Основы теории управления, Раздел 3 Математическое описание объектов и систем управления, лекция 4 19 Линеаризация векторно-матричных уравнений Графическое представление векторно-матричных дифференциальных уравнений D u B x ∫ x C y A А – матрица динамики системы, её собственные значения определяют характер процессов в системе; В – матрица входа; C – матрица выхода; D – матрица обхода. Основы теории управления, Раздел 3 Математическое описание объектов и систем управления, лекция 4 20 Выводы и заключение 1. 2. 3. Динамический режим описывает поведение системы во времени с использованием дифференциальных уравнений. Для упрощения уравнений проводят линеаризацию которая справедлива для малых приращений переменных. Линеаризованные уравнения записываются в виде дифференциальных уравнений n-го порядка, либо системы из n уравнений первого порядка (векторноматричные дифференциальные уравнения ) Основы теории управления, Раздел 3 Математическое описание объектов и систем управления, лекция 4 21 Перечень источников, список дополнительной литературы • • • • Юревич Е.И. Теория автоматического управления: Учебник для вузов. СПб.: БХВ-Петербург, 2007. 560 с. (Допущено Министерством образования и науки в качестве учебника для студентов вузов). Мирошник И.В. Теория автоматического управления. Линейные системы: Учебное пособие для вузов. СПб.: Питер, 2005. 336 с. (Рекомендовано УМО по университетскому политехническому образованию в качестве учебного пособия). Никулин Е.А. Основы теории автоматического управления. Частотные методы анализа и синтеза систем: Учебное пособие для вузов. СПб.: БХВ-Петербург, 2004. 640 с. (Допущено УМО по университетскому политехническому образованию в качестве учебного пособия). Страшинин Е.Э. Основы теории автоматического управления. Часть 1: Линейные непрерывные системы управления: Учебное пособие. Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2000. 214 с. Основы теории управления, Раздел 3 Математическое описание объектов и систем управления, лекция 4 22