2_06

2.6. Метод Монте-Карло
для модели Изинга
Модель Изинга в приближении среднего
поля. Точное решение модели Изинга.
Метод Монте-Карло для модели Изинга
Модель Изинга
 Модель Изинга:
 На каждом узле есть только две степени
свободы
 В
основном состоянии при нулевой
температуре спины либо «заморожены» и
ориентированы вдоль поля (ферромагнитное
состояние),
либо
чередуются
(антиферромагнитное состояние). В обоих
случаях основное состояние модели Изинга
является упорядоченным состоянием со
спонтанной намагниченностью
 При
достаточно большой температуре,
называемой температурой Кюри для
ферромагнетика и температурой Нееля для
антиферромагнетика, происходит фазовый
переход в неупорядоченное, парамагнитное
2 состояние
Модель Изинга в приближении
среднего поля (ферромагнетик)
 Самосогласованное уравнение для среднего магнитного момента:
 Температура Кюри
1
 Предельные случаи малых температур
0.9
0.8
и температур вблизи температуры Кюри
При нулевом внешнем поле:
0.7
R
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
3
0
0.5
1
1.5
T
2
2.5
Модель Изинга в приближении
среднего поля (ферромагнетик)
 Магнитная восприимчивость
 Вблизи
точки фазового перехода магнитная
ферромагнетика подчиняется закону Кюри
 При нулевом внешнем поле
восприимчивость

 Предельные случаи:
4
1.9
1.92
1.94
1.96
1.98
2
T
2.02
2.04
2.06
2.08
2.1
Модель Изинга в приближении
среднего поля (антиферромагнетик)
 Средний магнитный момент в упорядоченном состоянии равен нулю
 Для описания системы ее искусственно разделяют на две подрешетки
(со спином +1 и со спином –1)
 Восприимчивость
испытывает не расходимость, а только излом
производной
 Предельные случаи:
5
Точное решение модели Изинга
 Модель Изинга при Jij=J решена точно для одномерного и
двумерного случаев
 В одномерном случае для бесконечной системы фазовый переход
«ферромагнетик – парамагнетик» отсутствует, и магнитный момент
является аналитической функцией температуры и внешнего поля
1
0.9
0.8
0.7
R
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
6
0
0
0.5
1
1.5
T
2
2.5
3
Точное решение модели Изинга
 В
температурной
зависимости
восприимчивости
отсутствуют
особенности как для ферромагнетика, так и для антиферромагнетика:
0.2
a
0.16
4
0.14
3.5
0.12
3
0.1
2.5
0.08
2
0.06
1.5
0.04
1
0.02
0.5
0
x 10
9
b
4.5


0.18
0
0
2
4
6
T
7
5
8
10
0.1
0.11
0.12
0.13
T
0.14
0.15
Точное решение модели Изинга
 Зависимость
теплоемкости
от
температуры
также
не
имеет
особенностей. При нулевом магнитном
поле
0.45
0.4
0.35
0.3
 В
0.25
C/N
двумерном случае в плоской
квадратной
решетке
существует
фазовый переход при температуре,
удовлетворяющей уравнению
0.2
0.15
0.1
0.05
 В этом случае теплоемкость в точке
фазового перехода имеет
логарифмическую особенность:
8
0
0
0.5
1
1.5
2
T
2.5
3
3.5
4
Метод Монте-Карло для
модели Изинга
 Гамильтониан модели Изинга в узельном базисе диагонален:
 Уравнение детального баланса:
 Интенсивность переходов
 Алгоритм Метрополиса:
 Алгоритм тепловой ванны:
 Функция Глаубера:
9
Метод Монте-Карло для
модели Изинга
 Если
учитывается только взаимодействие между ближайшими
соседями, то при расчете энергии новой конфигурации, получающейся
из предыдущей конфигурации переворотом спина на узле i, достаточно
лишь пересчитать изменение энергии вблизи спина i
 Вне зависимости от принятия или непринятия новой конфигурации
необходимо на каждом шаге МК вычислять искомую физическую
величину A по данной мгновенной конфигурации
10
Схема алгоритма Монте-Карло
для модели Изинга
11
Моделирование двумерной
модели Изинга
 Моделирование двумерной системы 50х50; внешнее поле H=0.03
 Результаты хорошо согласуются с теоретическим результатом Онзагера для
двумерной модели
-2000
2500
b)
a)
2000
-3000
E
M
1500
1000
-4000
500
-5000
12
0
1.6
2
T
2.4
2.8
1.6
2
T
2.4
2.8
Моделирование двумерной
модели Изинга
4000
c)
3000
2000
d)
20000

C
15000
10000
1000
900
800
700
5000
600
500
400
13
1.6
2
T
2.4
2.8
0
1.6
2
T
2.4
2.8