Современная теория фазовых переходов II рода

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
( ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
___________Ю.А. Самарский
31 мая
2012 г.
ПРОГРАММА
по курсу ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
по направлению 010900 «Прикладные математика и физика»
факультет: все факультеты
кафедра теоретической физики
курс V
семестр 9
трудоемкость: базовая часть – 3 зач. ед.
вариативная часть – 1 зач. ед.
по выбору студента – 1 зач. ед.
лекции – 34 часа
Экзамен – 9 семестр
практические (семинарские)
занятия – 34 часа
Зачет –
нет
лабораторные занятия – нет
Самостоятельная работа –
2 часа в неделю
ВСЕГО ЧАСОВ – 68
Программу и задание составили д.ф.-м.н., проф. Р.О. Зайцев,
к.ф.-м.н., доц. Ю.В. Михайлова,
Программа принята на заседании
кафедры теоретической физики
19 мая 2012 года
Заведующий кафедрой
_______________ Ю.М. Белоусов
СОВРЕМЕННАЯ ТЕОРИЯ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ
II РОДА
1. Одномерные решетчатые системы. Теорема об отсутствии фазовых переходов при T  0 в системах малой
размерности (одномерных и двумерных) и условия ее
применимости. Решетчатый газ с бесконечным радиусом
действия.
2. Фазовые переходы. Теория Ландау. Ферро- и антиферромагнетизм. Сегнетоэлектрики. Cверхпроводимость. Переход жидкого гелия в сверхтекучее состояние. Переходы
металл-диэлектрик. Ферромагнетизм металлов. Теория
самосогласованного поля.
3. Представление Мацубары. Температурные функции Грина. Диаграммная техника для ферми- и бозе-операторов.
Диаграммная техника для неравновесных процессов.
4. Уравнения Горькова. Система основных уравнений при
конечной температуре. Уравнения при наличии внешнего
магнитного поля. Термодинамика сверхпроводящего состояния. Сверхпроводник в слабом магнитном поле. Дифференциальные уравнения сверхпроводимости вблизи
температуры сверхпроводящего перехода (уравнения
ГЛАГ).
5. Модель Изинга. Низкотемпературное и высокотемпературное разложение для изотропной модели. Температуры
ферромагнитного перехода. Двумерная модель Изинга –
решение Вдовиченко и решение Кауфман. Использование
теории пфаффианов для расчета статистической суммы.
Расчет намагниченности вблизи точки перехода. Расчет
магнитной восприимчивости при температуре перехода
для малых магнитных полей. Универсальность критических индексов.
6. Вершинные модели. Модель Изинга как верщинная модель: низкотемпературное разложение в анизотропном
случае. Определение вершинной модели. Матрица пере2
хода (трансфер-матрица). Уравнения Янга-Бакстера. Модель
жестких
гексагонов.Тождества
РоджерсаРамануджвана. Модель льда на квадратной решетке.
Связь с одномерной моделью Гейзенберга.
7. Восьмивершинная модель. Решение Бакстера. Метод угловых трансфер-матриц. Неуниверсальность критических
индексов.
8. Термодинамика сильно флуктуирующих систем.Теория
ОрнштейнЦернике. Критические индексы. Точно решаемые одномерные и двумерные модели.
9. Фазовый переход в пространстве 4- измерений. Фазовый переход в четырехмерном пространстве Эвклида.
Уравнения Судакова в четырехмерном пространстве. Гипотеза универсальности и гипотеза Вильсона. Вычисление
критических индексов в трехмерном пространстве.
Литература
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Абрикосов А.А., Горьков Л.П., Дзялошинский И.Е. Методы
квантовой теории поля в статистической физике. — М.:
Наука, 1962.
Покровский В.Л., Паташинский А.З. Флуктуационная теория фазовых переходов. — M.: Haука, 1992.
Изюмов Ю.А., Скрябин Ю.Н. Статистическая механика магнитоупорядоченных систем. — М.: Наука, 1987.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. Т. III  М.: Физматлит, 2001.
Беляев С.Т. Теория конденсированного состояния:
учеб.
пособие.  М.: МФТИ, 1982.
Зайцев Р.О. Введение в современную статистическую физику. — М.: УРСС, 2006.
Зайцев Р.О., Михайлова Ю.В. Основы теории сверхпроводимости: учеб.-метод. пособие.  М.: МФТИ, 2004.
Зайцев Р.О. Введение в теорию эффекта Джозефсона: 
учеб.-метод. пособие.  М.: МФТИ, 2006.
3
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. Ч. 1. 
М.: Физматлит, 2002.
Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Статистическая физика. Ч. 2
 М.: Физматлит, 2001.
Белавин А.А., Кулаков А.Г., Усманов Р.А., Лекции по теоретической физике, М: МЦНМО, 2001
Бакстер Р. Точно решаемые модели в статистической физике.  М.: Мир, 1985.
Рюэль Д. Статистическая механика. Строгие результаты. 
М.: Мир, 1971.
Ма Ш. Современная теория критических явлений.  М.:
Мир, 1980.
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ КУРСА
Взаимодействие частиц во вторичном квантовании
Оператор числа частиц:
ˆ  r 
ˆ  r dr   aˆ , p aˆ , p .
N  

p,  
Гамильтониан невзаимодействующих электронов:


1
p2   

H0 
a , p a , p .
  pk  r  pk  r dr  
2m  , k
p ,    2m


Нерелятивистское взаимодействие с внешним полем U r  :

1
 
U     r U r   r dr 
 U pp '  a ,p a ,p'.
V p, p '

 
Нерелятивистское электрон-электронное взаимодействие:
4

V
1



  r1   r 2  r1r 2   r 2   r1  dr1dr2 
2
2
1
2  1, 2  1

1

2V p1 p 2
 


  p3  p1   a ,p a ,p a ,p a ,p .
1 1
2 2
2 4
1 3
 1 , 2
p3
p1  p 2  p 3  p 4
-потенциал:
   0  T ln Sˆ 1 / T  .
0
Температурная S -матрица:
 

Sˆ    Tˆ exp    Vˆ  'd '  ,
 0

ˆ
ˆ
где Vˆ    eH0 Vˆe H0 – оператор взаимодействия в представлении Мацубары, T̂  символ упорядочения по параметру  .
УРАВНЕНИЯ ГОРЬКОВА
5
Графическое изображение уравнений Горькова.
i   p  G G  p  F  p  1 ,
 i   p  G F  p  *G  p  0 ,
где G  ,   2n  1T ,  p  p 2 / 2m   .
  * 
gT
  F  p dp .
23 

НЕСТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ГИНЗБУРГА-ЛАНДАУ
AT  Tc  
ˆ
1 ˆ ˆ
1  
2
~      0 ,
     B    
 2ie

4m
4mD  t
4mD



E
ie
, j   E  
 * ˆ    ˆ *  * ,
t
2m
~  A , div E  4  4  
~  ,
h  rot A, E  
t
D
roth  4j 
6


~ 

ie
 ~ A 

 D div 

 * ˆ 0   ˆ *0  * ,

t t
t  2m


~,   divj  0, c    1 .
ˆ      2ieA , ˆ 0   2ie
t
t
РАССЕЯНИЕ СПИНОВЫХ ВОЛН
Амплитуда рассеяния спиновых волн, вычисленная в борновском приближении, определяется компонентой Фурье от обменного интеграла J(k).
( p1, p2; p3, p4) = J(p3  p1) J(p4  p1) + J(p3) + J(p4).
Борновские амплитуды рассеяния спиновых волн.
ПАРКЕТНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Уравнение Судакова — случай p1  p2 p3 p4 << pmax:
pmax
  p   g  3   2  p ' 
p
где  = 1/8 .
2
7
dp'
,
p'
Уравнение для угловой вершинной части (p)q << pmax и для
поляризационного оператора (q):
pmax
  p   1     p'  p'
p
pmax
dp'
dp'
,  q     2  p '
.
p'
p'
q
ТЕОРИЯ ФЕРРОМАГНЕТИЗМА МЕТАЛЛОВ
Обобщенное уравнение Хартри–Фока–Дайсона:
1
Gˆ 1 p,   Gˆ 0 p,   ˆ   p  ,
€  p






 f t , p   T



, ,,,q




 q .
g , ; ,  t , p  G

Уравнение состояния:

n   T , , H   T  D  p e i , где D  p    f   G   p   .

,p
Определение магнитного момента:
M T , , H    B  n  T , , H  .

8


Однопетлевые собственно энергетические части.
ЗАДАНИЕ
1. Доказать, что при любой температуре, отличной от нуля, одно- или двумерная решетка спинов, описываемая изотропным гамильтонианом Гейзенберга с обменным взаимодействием и конечным радиусом действия, не будет ни ферромагнитной, ни антиферромагнитной (теорема МерминаВагнера).
2. Найти
решение
одномерного
уравнения
( x > 0) ,
ЛандауГинзбурга
для
сверхпроводника
( x < 0) ,
граничащего
с
другим
сверхпроводником
предполагая, что температура T близка к температурам
перехода обоих сверхпроводников. Причём она меньше
температуры сверхпроводящего перехода Tc
правого
1
сверхпроводника, но больше температуры сверхпроводящего
перехода Tc левого сверхпроводника, т.е. Tc < T < Tc .
2
2
1
Получить решение в области x < 0 , если на границе имеются
отличные от нуля линейные граничные условия,
связывающие значения волновой функции и её производной
слева и справа от границы.
9
3. Получить граничные условия к уравнению ГинзбургаЛандау.
4. Произвести обобщение уравнений ГинзбургаЛандау
на случай временной зависимости параметра порядка.
5. Произвести вычисление сверхпроводящего тока при
наличии пространственной дисперсии (эффект Пиппарда).
6. Рассмотреть возможность изменения максимального
критического поля для полубесконечного сверхпроводника в
поле, направленном параллельно границе.
7. Двумерная модель Изинга на квадратной решетке
N
H   J   i  i 1
i 1
была первой моделью, для которой полу-
чено точное решение, обнаруживающее ферромагнитный фазовый переход. В предположении, что ферромагнитное упорядочение возможно, определить температуру перехода.
8. С помощью преобразования звезда-треугольник определить температуру перехода для модели Изинга на треугольной и шестиугольной решетках.
9. В простейшем случае одномерный магнетик
представляет собой цепочку спинов с S  1 / 2 , в которой
взаимодействуют лишь соседи (одномерная модель
Гейзенберга). Гамильтониан такой системы в присутствии
внешнего магнитного поля B , приложенного вдоль оси z ,
имеет вид
N


y y
Hˆ    J x ˆ ix ˆ ix1  J y ˆ i ˆ i 1  J z ˆ iz ˆ iz1  Bˆ iz .
i 1
10
10. Здесь   магнитный момент,  i  матрицы Паули,
J x , J y , J z  константы обменного взаимодействия. С
помощью
преобразования
ЙорданаВигнера
найти
зависимость намагниченности и магнитной восприимчивости
от приложенного магнитного поля B . Ограничиться наиболее
простым случаем J x  J y  J / 2  0, J z  0 .
11. При T  Tc для модели Изинга на квадратной решетке
определить
корреляционную
длину
и
спонтанную
намагниченность.
12. При T  Tc для модели Изинга на квадратной решетке
определить корреляционную длину.
13. Определить критические
двумерной модели Изинга.
показатели
, , 
для
14. Определить критические индексы в трёхмерной
модели Изинга и Гейзенберга с помощью -разложения.
15. Найти соотношения подобия в случае сильного
критического поля. Вычисление критического индекса .
11
Срок сдачи задания: 13.12 – 20.12 2012г.
Подписано в печать 25.05. 2012. Формат 6084 116. Бумага офсетная.
Усл. печ. л. 0,7. Тираж 120 экз. Заказ №139
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Московский физико-технический институт (государственный университет)
141700, Моск. обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9
12