1.5. Антиферромагнетизм и ферримагнетизм Антиферромагнетизм. Основное состояние. Спектр и термодинамика возбуждений в антиферромагнетиках. Классическая антиферромагнитная модель. Понятие о ферримагнетизме Антиферромагнитное упорядочение . H 1 / 2 Jij Si S j i j Если обменный интеграл отрицательный, то имеет место антиферромагнитное упорядочение Возникают две подрешетки, в каждой из которых спины сонаправлены, а сами они ориентированы в противоположные стороны. В результате средний суммарный магнитный момент равен нулю, однако упорядочение тем не менее имеет место, и существует точка перехода, в которой антиферромагнитное упорядочение исчезает (ее обычно называют температурой Нееля TN, а основное состояние антиферромагнетика - неелевским состоянием) 2 Модель Изинга . Рассмотрим для простоты модель Изинга. Разделим систему на две вложенные друг в друга противоположные стороны: подрешетки, ( ) направленные в ( ) Введем два эффективных поля: H J Z H, H J Z H Система описывается уравнениями: H ZJ H ZJ th , th T T Температурная зависимость средних магнитных моментов на подрешетках такая же, как и в случае ферромагнетика 3 Z | J | th T Модель Изинга . Суммарный магнитный момент в антиферромагнетике равен нулю Рассмотрим случай больших температур: H ZJ , T H ZJ T В слабых полях: dM / dHH0 , ( ) В 4 JZ 2H , T T 2 2 . T | J | Z T точке фазового перехода в отличие от ферромагнетика расходимости восприимчивости нет (хотя есть излом производной), т.е. фазовый переход тем не менее должен чувствоваться при измерении температурной зависимости восприимчивости, что связано с взаимной компенсацией спинов в подрешетках Приближение среднего поля . Рассмотрим антиферромагнитный гамильтониан Изинга: H 1 / 2 20 Jij SiS j 0 SiH, Si 1 ij i Разбивая на две подрешетки, получаем с учетом приближения ближайших соседей: 1 2 0 R H0 i Свободная энергия: H F 0 S i (H H0 ) , i N 0H0R / 2 T ln 2ch{ 0 (H H0 )} 2 Уравнения на параметры порядка: R th[ 0 (H0 H)], R th[ 0 (H0 H)] Критическая температура: 20 ZJ 1 R ZJR 0 Tc 20 ZJ 2 1 0 ZJ 5 2 0 Приближение среднего поля . Теплоемкость: 0N 20NZJ C H0 R T H 0 R2 T 2 2 Восприимчивость: (1 R 2 ) T (1 R 2 ) 2 0 4 20 exp( 2 ), T T 2 T 0 (1 y ), y , 2 20 , T T 0; T 0; T 0. При малых полях 6 R (H) R( T) [ TH 20 ]( T) Ферримагнетизм . Гамильтониан ферримагнетика: 1 H J S iS j S i H S i H, 2 ij i i S i 1, . В приближении среднего поля: H 1 2 R H0 i S i (H H0 ) , H0 ZJR i Статистическая сумма и свободная энергия ферримагнетика: Q exp{N H0 R / 4} 2ch{ (H H0 )} F N/2 N H0 R / 2 T ln 2ch{ (H H0 )} . 2 Уравнения для равновесных значений параметра порядка: R th[ (H0 H)], R th[ (H0 H)] 7 Ферримагнетизм . Критическая температура ферримагнетика: Tc ZJ Теплоемкость и восприимчивость: T 1 R2 C ZJ , R R |H 0 R |H 0 th[ c R ]. 2 T T 1 R2 4 ( ) 2 ( ) 2 2 2 T T ( 1 R ) T T ( 1 R ) c c Вблизи критической температуры: 1 8 T c 8 2 2 1 T ( ) 2 Tc ; T Tc ; 2 2 2 T Tc P (2) 2 P ( 4 ) ( 1 T T ) P ( 22 ) ; T T c 0 , c 5 (1 T Tc ) P () 2 2 . Антиферромагнитная модель Гейзенберга . В модели Гейзенберга взаимная ориентация спинов и внешнего поля не обязательно совпадает. Появляется понятие оси легкого намагничивания – преимущественного кристаллографического направления, по которому располагаются вектора спонтанной намагниченности при нулевой температуре и в пределе слабого поля Гамильтониан антиферромагнитной модели Гейзенберга: H 2 0 2 Jij Si S j 0 H Si i j i В приближении среднего поля N H 0 S i (H H0 ) H0 R , 4 i H0 ZJ R 9 Антиферромагнитная модель Гейзенберга . Свободная энергия: F Уравнения для параметров порядка: R 0 SFL [ 0 (H H0 )], R 0 SFL [ 0 (H H0 )] Критическая температура в нулевом поле: R R 0 SFL [ 0 SZJR ], ZJ( 20 S) 2 3 Теплоемкость: C 10 N 1 { H0R T ln 4 (sh{0 (H H0 )S} [0 (H H0 )S]) }. 2 2 N NZJ H R T R2 T 0 H0 2 2 Антиферромагнитная модель Гейзенберга . Восприимчивость: 20 S 2 T 0; T, 2 9 2 2 T S 0 (1 y ), y , T 0; 6 20 S 2 , T 0. 3 ( T ) Зависимость параметров порядка от внешнего поля: R (H) R( T) [ TH 20 ]( T) Статистическая сумма: Q exp{ R H / 2 } d exp{ SH ' cos } 0 i 0 i i N/2 exp{ R H / 2 } 4 ( sh { H ' S } [ H ' S ]) . 0 0 0 11 0 H' H H Антиферромагнитная модель Гейзенберга . Свободная энергия: F T ln Q N 1 R H0 T ln4 (sh{0H' S} [0H' S]) . 2 2 Уравнения для равновесных намагниченностей: R H H 0 0 S F [ 0 S | H0 H |] L | H0 H | Тензор магнитной восприимчивости: 1 M F H {R R } 2N 1 d {R R } |H 0 , 2 dH 12 , x , y , z; Антиферромагнитная модель Гейзенберга . t P t l P l , Pl H' H' H' H' , 2 2 H' H' 0 H' H |H0 , P t I Pl , ( 0 S) 2 FL ' ( 0H0 S) t 1 2ZJ , l , 2 T ( 0 S) ZJFL ' ( 0H0 S) H0 H0 |H 0 ZJR . В случае ориентации оси легкого намагничивания в плоскости xy (например, по оси x) тензор диагонален. Это же наблюдается, если ось легкого намагничивания направлена по оси z 13 Антиферромагнитная модель Гейзенберга . Температура, при которой все компоненты тензора магнитной восприимчивости (в главных осях) совпадают: T ( 20 S 2 ZJ) 3 , 0 1 2ZJ t Равновесное значение угла между R и H при нулевой температуре: N E H 0 S i (H H0 ) H0 R 4 i 1 HNS 0 sin zJN 20 S 2 cos 2. 2 sin 14 H 0 S2ZJ Антиферромагнитная модель Гейзенберга . Квантовая антиферромагнитная модель Гейзенберга: H 1 / 2 Jij Si S j , Jij 0 i j Спектр возбуждений: (q ) 2 [ 20 SJ]2 [Z 2 B 2 (q)] B(q) exp[i q(ri rl )] i il Спектр антиферромагнитных магнонов на трехмерной кубической решетке в длинноволновом пределе: q0 q S Z 2 Z 2 cos qa 2 15 SZJqa 3