02.Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнен..

Интегральное исчисление.
Дифференциальные
уравнения
Элементы интегрального
исчисления
1.Первообразная и неопределенный
интеграл
2.Основные приемы вычисления
неопределенных интегралов
3.Интегрирование функций, содержащих
квадратный трехчлен
4.Интегрирование дробно-рациональных
функций
5.Интегрирование тригонометрических
функций
6.Интегрирование некоторых
иррациональностей
Первообразная и неопределенный
интеграл
Очевидно, если F x  - первообразная
функции f x  , то F x   C , где C некоторая постоянная, также является
первообразной функции f x  .
Если F x  есть какая-либо первообразная
функции f x  , то всякая функция вида
Фx   F x   C также является
первообразной функции f x  и всякая
первообразная представима в таком виде.
Первообразная и
неопределенный интеграл
Определение. Совокупность всех
первообразных функции f x  ,
определенных на некотором
промежутке, называется
неопределенным интегралом от
функции f x  на этом промежутке и
обозначается  f x dx .
Свойства интеграла,
вытекающие из определения
Производная неопределенного
интеграла равна подынтегральной
функции, а его дифференциалподынтегральному выражению.
Действительно:
1.(  f ( x)dx)  ( F ( x)  C )  F ( x)  f ( x);
2.d  f ( x)dx  (  f ( x)dx)dx  f ( x)dx.
Свойства интеграла,
вытекающие из определения
Неопределенный интеграл от
дифференциала непрерывно
дифференцируемой функции равен
самой этой функции с точностью до
постоянной:
3.  d ( x)    ( x)dx   ( x)  C ,
так как  (x )
является первообразной
для  (x).
Свойства интеграла
Сформулируем далее следующие свойства
неопределенного интеграла:
4.Если функции f1 x  и f 2  x  имеют
первообразные, то функция f1 x   f 2 x 
также имеет первообразную, причем
  f1 x   f 2 x dx   f1 x dx   f 2 x dx ;
5.  Kf x dx  K  f x dx ;
6.  f x dx  f x   C ;
7.  f  x  x dx  F  x   C .
Таблица неопределенных
интегралов
1.  dx  x  C .
a 1
x
2.  x a dx 
 C, (a  1) .
a 1
dx
3.   ln x  C .
x
x
a
4.  a x dx 
C .
ln a
5.  e x dx  e x  C .
6.  sin xdx   cos x  C .
7.  cos xdx  sin x  C .
dx
8.  2  ctgx  C .
sin x
dx
9.  2  tgx  C .
cos x
dx
 arctgx  C .
10. 
2
1 x
Таблица неопределенных
интегралов
11.

dx
 arcsin x  C .
1 x 2
dx
1
x
12.  2 2  arctg  C .
a
a
a x
13.

a x
2
 arcsin
2
x
 C ..
a
x2  a
 ln x  x 2  a  C .
17.  shxdx  chx  C .
18.  chxdx  shx  C .
dx
1
xa

ln
C
2
2
2a x  a
x a
19.
dx
1
ax

ln
 a 2  x 2 2a a  x  C .
20.
14. 
15.
dx
dx
16. 
dx
 ch 2 x  thx  C .

dx
 cthx  C .
2
sh x
Интегрирование по частям
Этот метод основан на формуле  udv  uv   vdu .
Методом интегрирования по частям берут такие интегралы:
а)  x n sin xdx , где n  1,2...k ;
б)  x n e x dx , где n  1,2...k ;
в)  x n arctgxdx , где n  0,1,2,...  k . ;
г)  x n ln xdx , где n  0,1,2,... k .
При вычислении интегралов а) и б) вводят
n 1
обозначения: x n  u , тогда du  nx dx , а, например
sin xdx  dv ,тогда v   cos x .
При вычислении интегралов в), г) обозначают за u функцию
arctgx , ln x , а за dv берут x n dx .
Метод замены переменной
Пусть требуется найти  f x dx , причем
непосредственно подобрать первообразную
для f x  мы не можем, но нам известно, что
она существует. Часто удается найти
первообразную, введя новую переменную,
по формуле
 f x dx   f  t  t dt , где x   t  , а t - новая
переменная
Задача о вычислении площади
плоской фигуры
Решим задачу о вычислении площади
фигуры, ограниченной графиком
функции y  f x, отрезками прямых
x  a, x  b и осью Ox.Такую фигуру
называют криволинейной трапецией
a
xi 1 xi
b
Задача о вычислении площади
плоской фигуры
Разобьем отрезок a, b на n частей
точками a  x0 , x1, x2 ,..., xi 1, xi ,..., xn  b .
При этом криволинейная трапеция разобьется
на n элементарных криволинейных
трапеций. Заменим каждую такую
криволинейную трапецию прямоугольником с
основанием xi  xi  xi 1 , где i  1,2,.., n и

высотой h  f xi , где xi -произвольно
выбранная внутри отрезка xi 1, xi  точка.
Задача о вычислении площади
плоской фигуры
Площадь прямоугольника будет
 
равна Si  f xi xi , а площадь
всей криволинейной фигуры
приблизительно будет равна
сумме площадей всех
прямоугольников:
n
n
i 1
i 1

S   Si   f xi xi .
Определенный интеграл
Определение.
n

Выражение  f xi xi , где
i 1
xi  xi  xi 1 , называется
интегральной суммой функции f x 
на отрезке a, b .
Определенный интеграл
Определение.
Если существует конечный
n
lim
 
 f xi xi , не
max xi 0 i 1
зависящий ни от способа разбиения отрезка
a, b на части, ни от выбора точек xi  xi 1 , xi  ,
то этот предел называется определенным
интегралом функции f x  на отрезке a, b и
b
обозначается  f x dx .
a
Определенный интеграл
Замечание.
С геометрической точки зрения
b
при f x   0  f x dx равен
a
площади криволинейной
трапеции
Теорема о существовании
определенного интеграла
Теорема.
Если функция f x  непрерывна на
отрезке a, b , то
n
 
 f xi xi
lim
max xi 0 i 1
существует и конечен, т.е.
b
существует и конечен  f x dx .
a
Свойства определенного
интеграла
a
1.  f x dx  0 ;
a
b
2.  dx  b  a ;
a
b
a
3.  f x dx    f x dx ;
a
b
b
4.   f1 x   f 2 x dx   f1 x dx   f 2 x dx ;
a
b
b
a
a
Свойства определенного
интеграла
b
b
a
b
a
5.  Kf x dx  K  f x dx ;
c
b
a
c
6.  f x dx   f x dx   f x dx ;
a
b
7.  f x dx  0 , если f x   0 .
a
Теорема о среднем
Если функция непрерывна на [ a, b],то
существует
такая точка   [a, b],
b
что  f ( x)dx  f ( )(b  a).
a
y  f (x)
a

b
Вычисление определенного
интеграла
Теорема.
Пусть F x  - первообразная функции f x  .
b
Тогда  f x dx  F b   F a  .
a
Эту формулу называют формулой
Ньютона-Лейбница, из которой следует,
что для вычисления определенного
интеграла необходимо найти
первообразную подынтегральной функции.
Вычисление площадей
Площадь фигуры в декартовых
координатах.
y
y  f x 
x
0
a
b
Площадь такой
фигуры, называемой
криволинейной
трапецией,
вычисляют по
b
формуле S   f x dx .
a
Обыкновенные
дифференциальные
уравнения
Уравнение первого порядка
Функциональное уравнение
F(x,y,y) = 0 или y= f(x,y), связывающее
между собой независимую
переменную, искомую функцию y(x) и
ее производную y(x), называется
дифференциальным уравнением
первого порядка.
Общее решение дифференциального
уравнения 1-го порядка
Общим решением дифференциального
уравнения первого порядка называется
такая функция y = (x,C), которая при
любом значении параметра C является
решением этого дифференциального
уравнения.
Уравнение Ф(x,y,C) =0, определяющее
общее решение как неявную функцию,
называется общим интегралом
дифференциального уравнения первого
порядка.
Постановка задачи Коши
Задача отыскания решения
дифференциального уравнения
,
y   f ( x, y )
удовлетворяющего начальному условию
y  y0 при x  x0 , называется
задачей Коши для уравнения 1-го
порядка.
Уравнение с разделяющимися
переменными
Дифференциальное уравнение
f ( x)dx  g ( y )dy
называется уравнением с
разделенными переменными.
Уравнение с разделяющимися
переменными
Дифференциальное уравнение 1-го порядка
называется уравнением с разделяющимися
переменными, если оно имеет вид:
M1 ( x ) N1 ( y )dx  M 2 ( x ) N 2 ( y )dy  0
.
Для решения уравнения делят обе его части
на произведение функций
N1 ( y)M 2 ( x)
,
а затем интегрируют.
Однородные уравнения
Дифференциальное уравнение первого
порядка называется однородным, если
y
его можно привести к виду y= f ( )
x
или к виду M ( x , y )dx  N ( x , y )dy  0
где M ( x, y ) и N ( x , y ) – однородные
функции одного порядка .
Линейные уравнения 1-го
порядка
Дифференциальное уравнение первого
порядка называется линейным, если оно
содержит y и y в первой степени, т.е.
имеет вид
y   P( x ) y  Q( x ) .
Решают такое уравнение с помощью
подстановки y=uv, где u и vвспомогательные неизвестные функции,
которые находят, подставляя в уравнение
вспомогательные функции и на одну из
функций налагают определенные условия.
Уравнение Бернулли
Уравнением Бернулли называется
уравнение 1-го порядка, имеющее вид
m
y   P( x ) y  Q( x ) y,
где m  0 и m  1
Его, как и линейное уравнение решают
с помощью подстановки
y  uv
Основные понятия
Уравнение 2-го порядка имеет вид
F(x,y,y ,y )  0
Или
y   f ( x, y , y  )
Общим решением уравнения второго порядка
называется такая функция y   ( x , c1 , c2 ) ,
которая при любых значениях параметров c1 ,c2
является решением этого уравнения.
Задача Коши для уравнения 2го порядка
Если уравнение 2-го порядка разрешить
относительно второй производной, то для
такого уравнения имеет место задача: найти
решение уравнения y   f ( x, y, y ) ,
удовлетворяющее начальным условиям:
y( x0 )  y 0 и y ( x0 )  y 0
Эту задачу называют задачей Коши для
дифференциального уравнения 2-гопорядка.
Теорема существования и
единственности решения
уравнения 2-го порядка
Если в уравнении y   f ( x, y, y )
функция f ( x, y, y ) и ее частные
производные по аргументам y и y 
непрерывны в некоторой области,
содержащей точку ( x0 , y 0 , y 0 ) ,
то существует и притом единственное
решение y  y (x ) этого уравнения,
удовлетворяющее условиям
y( x0 )  y 0 и y ( x0 )  .y 0
Уравнения 2-го порядка,
допускающие понижение
Простейшее уравнение
2-го порядка
порядка
y   f ( x ) решают двукратным
интегрированием.
Уравнение F ( x , y , y  )  0, не
содержащее явно у, решают с помощью
подстановки y   p , y   p 
Уравнение F ( y, y , y  )  0, не
содержащее х, решают заменой
dp
y  p ,
y   .  p
dy
Линейные однородные уравнения
Линейным однородным
дифференциальным уравнением
второго порядка называется уравнение
. y   p( x ) y   q( x ) y  0
Если все коэффициенты этого
уравнения постоянны, то уравнение
называется уравнением с постоянными
коэффициентами .
Линейное однородное уравнение 2-го
порядка с постоянными
коэффициентами
Уравнение k  pk  q  0 называется
характеристическим уравнением
линейного уравнения y   py   qy  0 .
Оно получается из ЛОУ заменой
соотстветствующей порядку
производной степенью k
.
2
Вывод формул общего
решения ЛОУ 2-го порядка
Корни характеристического уравнения
k1, 2
p
 
2
p2
q
4
p2
Случай 1. Если
, то
q 0
4
характеристическое уравнение имеет два
различных действительных корня k1  k 2  R
В этом случае общее решение имеет вид
k1 x
k2 x
y  C1e  C 2 e .
p2
q 0
4
Случай 2. Если
, то
характеристическое уравнение имеет
одинаковые корни k1  k 2  k
.
Частные решения ЛОУ выбираем так,
чтобы они были линейно независимыми:
kx
kx
y1 e
y 2  xe .
и
Общее решение ЛОУ 2-го порядка будет
kx
y

e
(C1  xC2 ) .
иметь вид
2
p
q 0
Случай 3. Если
4
, то
характеристическое уравнение имеет два
комплексно-сопряженных корня
p
k1    i и k 2    i , где   
2
2
p
и   q
.
4
Общее решение ЛОУ 2-го порядка в
действительной форме можно записать
в виде y  ex (C cos x  C sin x)
1
2