14501_no09

Вынужденное рассеяние на крыльях
релеевской линии
Спонтанное рассеяние: Анизотропные молекулы с осью симметрии.
В электрическом поле ось молекул стремится к ориентации вдоль
электрической напряженности поля. Температурные флуктуации
препятствуют идеальной ориентации.
q
Вынужденное рассеяние. Интерференция двух волн (возбуждающего
лазерного излучения и рассеянного излучения) переориентирует и
перераспределяет молекулы в пространстве, что усиливает рассеянное
излучение (ориентационная нелинейность).
Поляризуемость
Дипольный момент молекулы

ˆ   0
0

0

0
p  ̂ E
0
0

  
E  ( E x ,0,0)
p   xx E x e x
1
 2
 xx   cos q    sin q   0    cos q  
3

0  (  2 ) / 3,     
2
2
Восприимчивость
В отсутствие поля ориентация молекул хаотическая. При наличии
(монохроматического) поля равновесная функция распределения
по ориентации дается распределением Больцмана
 ( p, E)  1
 2 xx | E |2 
1
f (q )  exp  
  exp  

Z
k BT 
 k BT  Z

Восприимчивость
ˆ  N ˆ   0 Iˆ  ˆ
0  N0 ,
2
1
 xx  N  Q,  yy   yy   N  Q
3
3
Ориентационная нелинейность
Q0
Степень ориентации Q: для хаотического распределения
2
При малых интенсивностяхQ ~| E |
Нелинейная поляризация P
NL

2
N QEe x
3
(кубическая нелинейность)
Если поле не монохроматично (биения), то равновесная функция
распределения не устанавливается. Тогда степень ориентации определяется
релаксационным уравнением, которое в пренебрежении членами с высшими
степенями интенсивности имеет вид
Релаксационное уравнение
dQ
Q 4
    | E |2
dt
 3
ν – коэффициент вязкости для молекул в жидкости,
   /(5k BT )
- время релаксации, для жидкостей – единицы или десятки пс.
Две волны – лазерного излучения и стоксовой волны с одинаковыми
линейными поляризациями (вдоль оси x), распространяющимися в
противоположных направлениях
E ( z, t )  EL exp[i(k L z  Lt )]  ES exp[i ( k S z  S t )]  к.с.
  L  S
Интенсивность: перекрестный член с частотой биений
q  kL  kS
и пространственной частотой
В установившемся режиме соответствующая составляющая Q:
4 
Q
EL ES* exp[i ( qz  t )]  к.с.
3 1  i
Стоксова компонента
Нелинейная поляризация (опущены члены, отвечающие самовоздействию)
P NL   | EL |2 ES ,
8 N  2 
8 N  2 1  i


9 1  i
9 1  ( ) 2
Уравнение для интенсивности стоксовой компоненты
I L ,S
n0c

| EL,S |2
2
dI S
 g RW I L I S
dz
g RW  g
max
RW
2
32 2  S N  2 
max
~ Im  , g RW 
I
2 2
2 2
2 2 L
1  
45 c n k BT 1   
Усиление
max
g RW
~ 103
см/МВт
Максимум достигается при разности частот
  1/ 
Частотная зависимость - рис.
Рассмотрение приближенно справедливо для импульсов лазерного излучения,
если ширина его спектра много меньше соответствующих спектральных ширин
(для различных видов рассеяния).
Фоторефрактивный эффект
Фоторефрактивный эффект - изменение показателя преломления за счет
вызванного оптическим излучением перераспределения носителей
(электронов и дырок) в кристалле, обладающем электрооптическим эффектом.
Эффект принципиально нелокален и не описывается нелинейной
восприимчивостью χ – необходимо привлечение дополнительных уравнений,
отражающих динамику среды. Характерны сильные нелинейности, в типичных
условиях эксперименты проводятся с лазерными пучками мощностью мВт.
Время отклика велико, достигает сек и более.
Механизм фоторефрактивного эффекта: Кристалл облучается двумя оптическими
волнами с одинаковой частотой. Интерференция приводит к периодической модул
суммарной интенсивности. В кристалле генерируются свободные носители
(считаем, что это электроны). Максимум генерации – в максимумах суммарной
 ( x)
интенсивности, но вследствие диффузии носителей решетка их плотности
не повторяет решетку интенсивности излучения
I ( x)
Неоднородность распределения плотности заряда в силу уравнения Максвелла
div D  4
E st ( x )
порождает неоднородное электростатическое поле
– тоже периодическая решетка, максимумы которой сдвинуты на ¼ периода относительно
решетки плотности заряда (в данном случае
dE / dx  4 / 
st
st
Электростатическое поле вызывает вследствие эффекта Поккельса появление периодическо
распределения показателя преломления δn(x). Сдвиг по фазе решетки показателя преломле
приводит к перекачке энергии между двумя оптическими волнами
Модель среды
(уравнения Кухтарева-Маркова-Одулова)
В кристалле имеются валентная зона (ВЗ), зона проводимости (ЗП). Рис.
N D0
Между ними на энергетической шкале располагаются доноры с концентрацией
и акцепторы с концентрациейN a
N a  N D0
Акцепторные уровни полностью заполнены электронами, поступившими с донорных
уровней, и акцепторы нельзя ионизировать (оторвать электроны) термически или оптически
При температуре Т = 0 в отсутствие оптического излучения концентрация ионизованных дон
Na
, концентрация
Na
электронов в акцепторных неоднородностях тоже
концентрация нейтральных доноров, способных участвовать в фоторефрактивном процесс
N D0  N a
Переход электронов с донорных уровней в ЗП происходит
как термически, так и оптически.
Кинетические уравнения
Обозначения
ne , N D , N D
- концентрации электронов в ЗП, ионизированных доноров и нейтральных доноров.
N D  N D  N D0
N D
 ( sI   )( N D0  N D )   ne N D ,
t
ne N D 1

 div j.
t
t
e
Постоянная s пропорциональна сечению ионизации доноров,
I – интенсивность оптического излучения,
β – скорость тепловой ионизации доноров,
γ – постоянная рекомбинации,
e – абсолютная величина заряда электрона,
j – плотность электрического тока.
Последнее уравнение – уравнение непрерывности.
Ток
Плотность тока
j  ne e Est  eDne  j ph
μ – подвижность электрона,
D  k BT  / e
j ph
- коэффициент диффузии,
- фотовольтаическая составляющая тока, например,
j ph  pIe a
ea
- единичный вектор вдоль оси кристалла.
Статическое и оптическое поля
Электростатическое поле подчиняется уравнению Максвелла
 st div Est  4 e(ne  N A  N D )
 st
- статическая диэлектрическая проницаемость кристалла.
Это поле вызывает сдвиг оптической диэлектрической проницаемости
(эффект Поккельса). При фиксированной поляризационной структуре света
   2 reff Est
Волновое уравнение
Eopt
1 2
 2 2 [(   ) Eopt ]  0
c t
Двухволновое взаимодействие
Рис.
Задача - усилить слабый сигнальный пучок (амплитуда
за счет интенсивного пучка накачки (амплитуда
Es
Ep
Монохроматическое оптическое излучение
Eopt  [ E p ( z )exp(ik pr)  Es ( z )exp(ik sr)]exp( it )  к.с.
Амплитуды
E p ,s ( z )
- медленно меняющиеся. Интенсивность света
I  I 0  ( I1  к.с.)  I 0 [1  m cos( qx   )]
n0 c
n0 c
2
2
I0 
(| E p |  | Es | ), I1 
E p Es* (e p , e s ),
2
2
2n 
q  k p  k s  qe x , q  0 sin q
c
m  2 | I1 | / I 0 ,   arc tg(Im I1 / Re I1 )
Электростатическое поле
Ввиду нелинейности задачи для ее упрощения считаем глубину модуляции решетки
малой, m << 1. Ищем решение первых четырех уравнений фоторефрактивности
в виде (точнее, их надо выразить через оптические переменные)
Est  E0  [ E1 exp(iqx )  к.с.],
j  j0  [ j1 exp(iqx )  к.с.],
ne  ne 0  [ne1 exp(iqx )  к.с.], N D  N D 0  [ N D 1 exp(iqx )  к.с.],
Est  Est e x , j  je x .
Добавки с индексом 1 считаем малыми, линеаризуем по ним уравнения. Для этих добавок
получаем линейные алгебраические уравнения. В частности, решение для
E1
sI1
ED
E1  i
,
sI 0   1  ED / Eq
qk BT
4 e
N A ( N D0  N A )
ED 
, Eq 
N eff , N eff 
 NA
0
e
 st q
ND
Упрощение
Считаем, что скорость фотоионизации много больше скорости тепловой ионизации
sI 0  
E p Es*
I1
E1  i Em  i
( e p , e s ) Em ,
2
2
I0
| E p |  | Es |
ED
Em 
.
1  E D / Eq
При выполнении неравенства sI 0  
отклик среды оказывается не зависящим от уровня интенсивности оптического
излучения (низкопороговое насыщение)
Нелинейная поляризация
Изменение оптической диэлектрической проницаемости
   reff E1  к.с.
2
Нелинейная поляризация среды
 1

P NL    exp(iqr )  к.с.  [ Es exp(ik sr )  E p exp(ik pr )] 
 4

1 2

 reff [ E1 exp(iqr )  E1* exp( iqr )][ Es exp(ik sr )  E p exp(ik pr)]
4
Компоненты ~ exp(ik s r )
и
exp(ik pr )
PsNL
 2 reff *
 2 reff Em | E p |2 Es

E1 E p exp(ik s r )  i
exp(ik s r ),
2
2
4
4 | E p |  | Es |
PpNL
 2 reff
 2 reff Em | Es |2 E p

E1 Es exp(ik p r )  i
exp(ik p r ).
2
2
4
4 | E p |  | Es |
Амплитуды волн
z
Вводим длину вдоль направлений распространения волн накачки и сигнала
p
dEs
 3
 i n reff E1* E p ,
dzs
2c
dE p
dz p
 i

2c
n 3reff E1Es
| E p | Es
dEs  3
 n reff Em
,
2
2
dzs 2c
| E p |  | Es |
2
dE p
dz p


2c
n 3reff Em
| Es |2 E p
| E p |  | Es |
2
2
.
и
zs
Интенсивности волн
Is I p
dI s

,
dzs
Is  I p
dI p
dz p
 
IsI p
Is  I p
, 

c
3
n reff Em
При Г > 0 интенсивность сигнальной волны при распространении возрастает
за счет перекачки от волны накачки. В пределе слабой сигнальной волны
I s 
I s ( zs )  I s (0) exp( zs )
Ip
Формально инкремент не зависит от интенсивности волны накачки (псевдолинейный режим
В действительности это глубоко нелинейный режим (насыщение нелинейности) ввиду усло
sI 0  
 ~ 10см
Типичное значение скорости нарастания
1
Инерционность
фоторефрактивного отклика
Ep E
E1

 E1  i
(e p , e s ) Em
2
2
t
| E p |  | Es |
*
s
 st
1  ED / EM
 NA
 d
, d 
, EM 
1  ED / Eq
4 ene 0
q
Фоторефрактивный отклик становится более быстрым при увеличении интенсивнос
оптического излучения (так как ne 0 ~ ( sI 0   )  sI 0
Уравнения для продольного изменения амплитуд сохраняют вид
dEs
 3
 i n reff E1* E p ,
dzs
2c
dE p
dz p
 i

2c
n 3reff E1Es